Voltando ao processo de diferenciação sucessiva, pode-se perguntar: Por que alguém iria querer diferenciar duas vezes? Sabemos que quando as quantidades variáveis são espaço e tempo, ao diferenciar duas vezes obtemos a aceleração de um corpo em movimento, e que na interpretação geométrica, aplicada a curvas, \(\dfrac{dy}{dx}\) significa a inclinação da curva. Mas o que pode \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) significar neste caso? Claramente significa a taxa (por unidade de comprimento \(x\)) na qual a inclinação está mudando — em resumo, é uma indicação da maneira pela qual a inclinação da porção da curva considerada varia, isto é, se a inclinação da curva aumenta ou diminui quando \(x\) aumenta, ou, em outras palavras, se a curva se curva para cima ou para baixo em direção à direita.
Suponha uma inclinação constante, como na figura a seguir.
Aqui, \(\dfrac{dy}{dx}\) tem valor constante.
Suponha, no entanto, um caso em que, como na próxima figura, a própria inclinação está se tornando maior para cima, então \(\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx}\), isto é, \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\), será positivo.
Se a inclinação está se tornando menor à medida que você vai para a direita, como na figura a seguir, então, mesmo que a curva possa estar subindo, como a mudança é tal que diminui sua inclinação, seu \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) será negativo.
Agora é hora de iniciá-lo em outro segredo — como saber se o resultado que você obtém ao “igualar \(\dfrac{dy}{dx}\) a zero” é um máximo ou um mínimo. O truque é este: Depois de ter diferenciado (para obter a expressão que você iguala a zero), você diferencia uma segunda vez e observa se o resultado da segunda diferenciação é positivo ou negativo. Se \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) resultar em positivo, então você sabe que o valor de \(y\) que você obteve era um mínimo; mas se \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) resultar em negativo, então o valor de \(y\) que você obteve deve ser um máximo. Essa é a regra.
A razão disso deve ser bastante evidente. Pense em qualquer curva que tenha um ponto de mínimo nela, como na próxima figura, onde o ponto de mínimo \(y\) está marcado como \(M\), e a curva é côncava para cima.1 À esquerda de \(M\) a inclinação é para baixo, isto é, negativa, e está se tornando menos negativa. À direita de \(M\) a inclinação tornou-se para cima e está se tornando cada vez mais para cima. Claramente, a mudança de inclinação à medida que a curva passa por \(M\) é tal que \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) é positivo, pois sua operação, à medida que \(x\) aumenta para a direita, é converter uma inclinação para baixo em uma para cima.
Da mesma forma, considere qualquer curva que tenha um ponto de máximo nela (como a Fig. 10.11 neste capítulo), ou como na próxima figura, onde a curva é côncava para baixo,2 e o ponto de máximo está marcado como \(M\). Neste caso, à medida que a curva passa por \(M\) da esquerda para a direita, sua inclinação para cima é convertida em uma inclinação para baixo ou negativa, de modo que, neste caso, a “inclinação da inclinação” \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) é negativa.
Isso é chamado de teste da segunda derivada para máximos e mínimos.
Em resumo:
Se \(\dfrac{d^2y}{dx^2}>0\), a curva é côncava para cima (ou convexa).
Se \(\dfrac{d^2y}{dx^2}<0\), a curva é côncava para baixo (ou côncava).
e
O Teste da Segunda Derivada
Suponha \(\dfrac{dy}{dx}=0\) para algum valor particular de \(x\)
Se \(\dfrac{d^2y}{dx^2}>0\) para este valor particular de \(x\), o valor de \(y\) para este \(x\) é um mínimo.
Se \(\dfrac{d^2y}{dx^2}<0\) para este valor particular de \(x\), o valor de \(y\) para este \(x\) é um máximo.
Volte agora aos exemplos do capítulo anterior e verifique desta forma as conclusões alcançadas sobre se em qualquer caso particular existe um máximo ou um mínimo. Você encontrará abaixo alguns exemplos resolvidos.
Exemplo 12.1. Encontre o máximo ou mínimo de \[\text{(a)}\quad y = 4x^2-9x-6; \qquad \text{(b)}\quad y = 6 + 9x-4x^2;\] e verifique se é um máximo ou um mínimo em cada caso.
Solução. (a) \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx}= 8x-9=0\quad \Rightarrow\quad x=1\frac{1}{8}. \end{align}\] O valor de \(y\) para (ou em) \(x=1\frac{1}{8}\) é \(-11.065\). \[\dfrac{d^2y}{dx^2} = 8;\quad \text{é~$+$; portanto, é um mínimo.}\] (b)
\[\dfrac{dy}{dx}= 9-8x=0\quad \Rightarrow\quad x = 1\frac{1}{8}.\] O valor de \(y\) para \(x=1\frac{1}{8}\) é \(-11.065\) \[\dfrac{d^2y}{dx^2}= -8;\quad \text{é~$-$; portanto, é um máximo.}\]
Os gráficos de \(y=4x^2-9x-6\) e \(y = 6 + 9x-4x^2\) são mostrados abaixo.
Exemplo 12.2. Encontre os máximos e mínimos da função \(y = x^3-3x+16\).
Solução. \[\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 = 0\Rightarrow x^2 = 1\Rightarrow x = \pm1.\] \ Agora vamos considerar a segunda função \[y =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}.\] \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =-x+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{120}=\frac{1}{120} x\left(-120+20 x^{2}-x^{4}\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 & \Leftrightarrow x=0 \text { or } x^{4}-20 x^{2}+120=0 \end{align}\] A expressão \(x^{4}-20 x^{2}+120\) é quadrática em termos de \(t=x^{2}\) \[t^{2}-20 t+120=0\] Como o discriminante desta equação, \(20^{2}-4 \times 120=-80\), é negativo, a equação acima não possui raízes. Portanto, \[\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=0\] O valor de \(y\) para \(x=0\) é 1 . Como \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\] é negativo quando \(x=0\), \(y=1\) é um máximo. O gráfico de \(y=1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\) é mostrado abaixo: 
Exercício 12.4. Encontre os máximos e mínimos de \[y=2x+1+\frac{5}{x^2}.\]
Resposta
Mín.: \(x \approx 1.71\), \(y \approx 6.13\).
Solução
\[y=2 x+1+\frac{5}{x^{2}}\] Podemos reescrevê-lo como \[y=2 x+1+5 x^{-2}\] Então \[\frac{d y}{d x}=2-10 x^{-3}=2-\frac{10}{x^{3}}\] A segunda derivada é: \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=30 x^{-4}=\frac{30}{x^{4}}\]
Para encontrar onde \(y\) é um máximo ou mínimo, definimos \(\dfrac{dy}{dx}\) como igual a zero: \[\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{5}\]
Como \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0\), \(x=\sqrt[3]{5}\) corresponde a um mínimo \[y=2 \sqrt[3]{5}+1+\frac{5}{5^ \frac{2}{3}} \approx 6.13.\]
Exercício 12.5. Encontre os máximos e mínimos de \[y=\frac{3}{x^2+x+1}.\]
Resposta
Máx: \(x = -.5\), \(y = 4\).
Solução
\[y=\frac{3}{x^{2}+x+1}\]
Usando a Regra do Quociente
\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=-\frac{3(2 x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{1}{2} \end{align}\]
Para determinar se \(y\) tem um máximo ou um mínimo quando \(x=-\frac{1}{2}\), podemos usar o Teste da Segunda Derivada:
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2\left(x^{2}+x+1\right)^{2}-2(2 x+1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{4}}.\]
Quando \(x=-\frac{1}{2}\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2 (+)-2\times 0 (\dots)}{(+)}=(-)\] Portanto, a curva é côncava para baixo e \(x=-\frac{1}{2}\) corresponde a um máximo \(y=4\).
Alternativamente, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.
Quando \(x<\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{d y}{d x}>0\), a curva ascende
Quando \(x>\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{d y}{d x}<0\), a curva descende.
Assim, \(y=4\) é um máximo que ocorre quando \(x=-\frac{1}{2}\).
O gráfico de \(y=\dfrac{3}{x^{2}+x+1}\) é mostrado abaixo.
Exercício 12.6. Encontre os máximos e mínimos de \[y=\frac{5x}{2+x^2}.\]
Resposta
Máx.: \(x \approx 1.414\), \(y \approx 1.768\).
Mín.: \(x \approx -1.414\), \(y \approx 1.768\).
Solução
\[y=\frac{5 x}{2+x^{2}}\]
Usando a Regra do Quociente:
\[\frac{d y}{d x}=\frac{5\left(2+x^{2}\right)-5 x(2 x)}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}\]
ou
\[\frac{d y}{d x}=\frac{10-5 x^{2}}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}\]
\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow 10-5 x^2=0 \\ & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{2} \end{align}\]
Usando o Teste da Segunda Derivada: \[\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10 x\left(2+x^2\right)^2-2(2 x)\left(2+x^2\right)\left(10-5 x^2\right)}{\left(2+x^2\right)^4}\]
Quando \(x=\sqrt{2}\) \[\frac{d^2 y}{d r^2}=\frac{-10(+)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(-)\] Segue-se do Teste da Segunda Derivada que \(x=\sqrt{2}\) corresponde a um máximo \(y=\dfrac{5\sqrt{2}}{2+2}\approx 1.768\).
Quando \(x=-\sqrt{2}\) \[\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10(-)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(+)\] Isso significa que \(x=-\sqrt{2}\) corresponde a um mínimo \(y=-\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\approx -1.768\).
O gráfico de \(y=\dfrac{5 x}{2+x^{2}}\) é mostrado abaixo.
Exercício 12.7. Encontre os máximos e mínimos de \[y=\frac{3x}{x^2-3} + \frac{x}{2} + 5.\]
Resposta
Máx.: \(x \approx -3.565\), \(y \approx 2.12\).
Mín.: \(x\approx +3.565\), \(y \approx 7.88\).
Solução
\[\begin{align} & y=\frac{3 x}{x^{2}-3}+\frac{x}{2}+5 \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{3\left(x^{2}-3\right)-6 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{-9-3 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{2\left(-9-3 x^{2}\right)+\left(x^{2}-3\right)^{2}}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{-18-6 x^{2}+x^{4}-6 x^{2}+9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{x^{4}-12 x^{2}-9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \end{align}\] \[\frac{d y}{d x} =0 \quad\Leftrightarrow \quad x^4-12x^2-9=0.\] A equação \(x^{4}-12 x^{2}-9=0\) é quadrática em termos de \(x^{2}\). Assim \[x^{2}=\frac{12 \pm \sqrt{144+36}}{2}=\frac{12 \pm \sqrt{180}}{2}\] O valor negativo é inaceitável porque \(x^{2} \geq 0\). Portanto
\[\begin{gathered} x^{2}=\frac{12+\sqrt{180}}{2}=3(\sqrt{5}+2) \\ \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565\ \text{ ou }\ x=-\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx-3.565 \end{gathered}\]
Usando o Teste da Segunda Derivada \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2\left(3 x^{2}-24 x\right)\left(x^{2}-3\right)^{2}-8 x\left(x^{2}-3\right)\left(x^{4}-12 x^{2}-9\right)}{4\left(x^{2}-3\right)^{4}}\]
Quando \(x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565\)
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{3\left(3 \times 3.565^{2}-24 \times 3.565\right)(+)-8(+)(-)(0)}{(+)} \\ & =\frac{3(-)(+)-0}{(+)} \\ & =(-) \end{align}\] Portanto, \(x \approx 3.565\) corresponde a um máximo \(y \approx 7.884\).
Quando \(x \approx-3.565\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{3(+)(+)-0}{(+)}=(+)\]
Portanto, \(x \approx-3.565\) corresponde a um mínimo \(y \approx 2.116\).
O gráfico de \(y=\dfrac{3x}{x^2-3} + \dfrac{x}{2} + 5\) é mostrado abaixo.
Exercício 12.8. Divida um número \(N\) em duas partes de tal forma que três vezes o quadrado de uma parte mais duas vezes o quadrado da outra parte seja um mínimo.
Resposta
\(0.4N\), \(0.6N\).
Solução
Seja
\(x=\) parte um
\(z=\) parte dois
Sabemos que \[x+z=N\] e queremos minimizar \[3 x^{2}+2 z^{2}\]
Como \(z=N-x\), queremos minimizar
\[3 x^{2}+2(N-x)^{2}\]
Seja \[y =3 x^{2}+2(N-x)^{2}\] então \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =6 x+2 \times 2 \times(-1)(N-x) \\ & =10 x-4 N \end{align}\] \[\frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.4 N\]
Será que \(x=0.4\) corresponde a um mínimo \(y\) ou a um máximo \(y\)? Para responder a isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0\]
Segue-se do Teste da Segunda Derivada que \(x=0.4 N\) corresponde a um valor mínimo.
Quando \(x=0.4 N\), \(z=0.6 N\) e
\[\begin{align} & y=3(0.4 N)^{2}+2(0.6 N)^{2} \\ & y=1.2 N^{2} \end{align}\]
Exercício 12.9. A eficiência \(u\) de um gerador elétrico em diferentes valores de saída \(x\) é expressa pela equação geral: \[u=\frac{x}{a+bx+cx^2};\] onde \(a\) é uma constante que depende principalmente das perdas de energia no ferro e \(c\) uma constante que depende principalmente da resistência das partes de cobre. Encontre uma expressão para o valor da saída no qual a eficiência será máxima.
Resposta
\(x = \sqrt{\dfrac{a}{c}}\).
Solução
\[u=\frac{x}{a+b x+c x^{2}\}\]
Usando a Regra do Quociente:
\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{\left(a+b x+c x^{2}\right)-x(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)} \\ & =\frac{a-c x^{2}}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{2}} \end{align}\] \[\frac{d u}{d x} =0 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{\frac{c}{a}}\] \[\frac{d^{2} u}{d x^{2}} =\frac{-2 c x(a+b x+c x)^{2}+\left(a-c x^{2}\right)(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{4}}\]
Quando \(x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}\), \[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c \sqrt{\frac{c}{a}}(+)+0}{(+)}=(-)\] [Note que \(a-c x^{2}\) é zero quando \(x=\sqrt{\frac{c}{a}}\) ]
Portanto, \(x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) torna \(u\) um máximo.
\(x\) não pode ser negativo (Qual é o significado de uma saída negativa de um gerador elétrico?), mas mesmo que \(x<0\) fosse aceitável, quando \(x=-\sqrt{\frac{c}{a}}\), temos
\[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c\left(-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)(+)+0}{(+)}=(+),\] Portanto \(u\) é um mínimo quando \(x=-\sqrt{\dfrac{c}{a}}\).
Exercício 12.10. Suponha que se saiba que o consumo de carvão por um certo vapor pode ser representado pela fórmula \(y = 0.3 + 0.001v^3\); onde \(y\) é o número de toneladas de carvão queimadas por hora e \(v\) é a velocidade expressa em milhas náuticas por hora. O custo de salários, juros sobre o capital e depreciação desse navio são juntos iguais, por hora, ao custo de \(1\) tonelada de carvão. Qual velocidade tornará o custo total de uma viagem de \(1000\) milhas náuticas um mínimo? E, se o carvão custa \(\$132\) por tonelada, qual será o valor desse custo mínimo da viagem?
Resposta
Velocidade \(\sqrt[3]{650}\approx 8.66\) milhas náuticas por hora. Tempo levado \(115.44\) horas.
Custo mínimo \(\$29714.7\).
Solução
\[\frac{\text{no. of tons}}{\text{hr}}=y=0.3+0.001 v^3\] Como o custo de outras despesas é equivalente a \(1\ \frac{\text{ton of coal}}{\text{hr}}\), se a viagem leva \(t\) horas, então o custo total da viagem é \[\text{cost }= a\left(y\cdot t+t\right)=a(y+1)t\] onde \(a\) é o custo do carvão por tonelada.
Se a velocidade do vapor é \(v\), como a viagem é de \(1000\) milhas náuticas, o tempo da viagem é \[t=\frac{1000}{v}\] Portanto, podemos escrever que o custo da viagem é \[\begin{align} \text{cost } &=a\left(1.3+0.001v^3\right)\frac{1000}{v}\\ &=a\left(\frac{1300}{v}+v^2\right). \end{align}\]
Para minimizar o custo, diferenciamos o custo em relação à velocidade e definimos o resultado como igual a zero:
\[\frac{d \text{ cost}}{dv}=a\left(-\frac{1300}{v^2}+2v\right)=0\]
\[\Rightarrow 2v=\frac{1300}{v^2}\] \[\Rightarrow v=\sqrt[3]{650}\approx 8.662\]
8.662 milhas náuticas por hora é a velocidade que tornará o custo total um mínimo.
Se o vapor se move na velocidade \(\sqrt[3]{650}\), a viagem leva \(\dfrac{1000}{\sqrt[3]{650}}\approx 115.442\) horas.
Para encontrar o custo mínimo, temos que calcular \(\text{cost} = a\left(\dfrac{1300}{v}+v^2\right)\) para \(a=132\) e \(v=\sqrt[3]{650}\approx 8.66\): \[\text{cost} \approx 132\left(\frac{1300}{8.662}+8.662^2 \right)\approx 29714.7.\]
Exercício 12.11. Encontre os máximos e mínimos de\[y = \pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}.\]
Resposta
Máx. e mín. para \(x = 7.5\), \(y \approx \pm 5.413\).
Solução
Primeiro considere \[y=\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\] Então \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{d\left\{ \sqrt{x(10-x)} \right\}}{d x}\]
Para diferenciar \(\sqrt{x(10-x)}\), seja \(u=x(10-x)\) e \[\begin{align} \frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d x} & =\frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(10-2 x) \\ & =\frac{1}{\sqrt{x(10-x)}} \cdot(5-x) \end{align}\] Portanto,
\[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{5-x}{\sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{x(10-x)+x(5-x)}{6 \sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{15 x-2 x^{2}}{6 \sqrt{x(10-x)}} \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d y}{d x}=0 \quad &\Leftrightarrow\quad x(15-2 x)=0 \\ &\Leftrightarrow \quad x=0 \text { or } x=7.5 \end{align}\]
Para distinguir entre um máximo ou um mínimo, precisamos do sinal da segunda derivada para \(x=0\) e para \(x=7.5\).
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 x) \sqrt{x(10-x)}-\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x} \cdot\left(15 x-2 x^{2}\right)}{(\sqrt{x(10-x)})^{2}}\]
Note que, para encontrar o sinal de \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\), não precisamos escrever a expressão para \(\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x}\) porque o resultado será multiplicado por \(\left(15 x-2 x^{2}\right)\), que é zero tanto para \(x=0\) quanto para \(x=7.5\).
Quando \(x=0\) \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{15 \cdot \sqrt{10}-0}{10}>0 .\] Portanto, \(x=0\) corresponde a um mínimo \(y=0\).
Quando \(x=7.5\) \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 \times 7.5) \sqrt{7.5 \times 2.5}}{7.5 \times 2.5}<0\] Portanto, \(x=7.5\) corresponde a um máximo \[y=\frac{7.5}{6} \sqrt{7.5 \times(10-7.5)} \approx 5.413\]
Se formos descuidados, poderíamos dizer que \(x=0\) corresponde a um mínimo \(y=0\), mas notamos que \(y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\) é \(>0\) se \(x>0\) (não está definida para \(x<0\) ). No entanto, esta curva tem outro ramo \(y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\) que é \(<0\) quando \(x>0\). Portanto, a curva não tem nem um mínimo nem um máximo se \(x=0\).
Se considerarmos \(y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\), sua derivada também é zero quando \(x=0\) ou \(x=7.5\). A segunda derivada tem o sinal oposto da segunda derivada do outro ramo \(y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\). Portanto, \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0\) quando \(x=7.5\). Assim, \(y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\) tem um valor mínimo de \(y \approx-5.413\) quando \(x=7.5\).
A curva \(y= \pm \dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\) é mostrada abaixo.
Exercício 12.12. Encontre os máximos e mínimos de \[y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1.\]
Resposta
Mín.: \(x = \frac{1}{2}\), \(y= 0.25\); máx.: \(x = - \frac{1}{3}\), \(y\approx 1.407\).
Solução
\[\begin{align} y & =4 x^{3}-x^{2}-2 x+1 \\ \frac{d y}{d x} & =12 x^{2}-2 x-2=2\left(6 x^{2}-x-1\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 &\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{12}=\frac{1 \pm 5}{12} \\ \frac{d y}{d x} =0 & \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1}{2} \quad \text { or } \quad x=-\frac{1}{3} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =2(12 x-1) \end{align}\]
Quando \(x=\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0\), a curva é côncava para cima e \(y\) tem um valor mínimo de \(4 \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)+1=\dfrac{1}{4}\) quando \(x=\dfrac{1}{2}\).
Quando \(x=-\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=-10<0\), a curva é côncava para baixo e \(y\) tem um valor máximo de \(\dfrac{38}{27} \approx 1.407\) quando \(x=-\dfrac{1}{3}\).
O gráfico de \(y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1\) é mostrado abaixo.
