انحنای منحنی‌ها

بازگشت به فرآیند مشتق‌گیری متوالی، ممکن است پرسیده شود: چرا کسی می‌خواهد دو بار مشتق بگیرد؟ می‌دانیم که وقتی کمیت‌های متغیر فضا و زمان باشند، با دو بار مشتق‌گیری شتاب یک جسم متحرک را به‌دست می‌آوریم، و در تفسیر هندسی، همان‌طور که در منحنی‌ها به‌کار می‌رود، $\frac{d y}{d x}$ به معنی شیب منحنی است. اما $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ در این حالت چه معنی می‌دهد؟ واضح است که به معنی نرخ (در واحد طول $x$ ) تغییر شیب است—به‌طور خلاصه، نشان‌دهنده‌ی نحوه‌ی تغییر شیب بخش مورد نظر از منحنی است، یعنی اینکه وقتی $x$ افزایش می‌یابد، شیب منحنی افزایش می‌یابد یا کاهش، یا به عبارت دیگر، منحنی به سمت راست به بالا خم می‌شود یا به پایین.

فرض کنید شیب ثابت باشد، مانند شکل زیر.

در اینجا، $\frac{d y}{d x}$ مقدار ثابتی دارد.

حال، موردی را در نظر بگیرید که در آن، مانند شکل بعدی، خود شیب به سمت بالا بزرگ‌تر می‌شود، آنگاه $\frac{d (\frac{d y}{d x})}{d x}$ ، یعنی $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ، مثبت خواهد بود.

اگر با رفتن به سمت راست شیب کم‌تر شود، همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، آنگاه، حتی اگر منحنی رو به بالا باشد، چون تغییر به گونه‌ای است که شیب آن کاهش می‌یابد، $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ آن منفی خواهد بود.

اکنون زمان آن رسیده است که راز دیگری را برای شما فاش کنیم—چگونه تشخیص دهیم که نتیجه‌ای که با «مساوی صفر قرار دادن $\frac{d y}{d x}$ » به‌دست می‌آورید یک ماکزیمم است یا مینیمم. ترفند این است: پس از آنکه مشتق گرفتید (تا عبارتی به‌دست آورید که با صفر برابر می‌کنید)، مشتق دوم را می‌گیرید و می‌بینید که نتیجه‌ی مشتق‌گیری دوم مثبت است یا منفی. اگر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ مثبت درآید، آنگاه می‌دانید که مقدار $y$ به‌دست آمده یک مینیمم است؛ اما اگر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ منفی درآید، آنگاه مقدار $y$ به‌دست آمده باید یک ماکزیمم باشد. این قاعده است.

دلیل آن باید کاملاً واضح باشد. هر منحنی‌ای را در نظر بگیرید که دارای یک نقطه‌ی مینیمم باشد مانند شکل بعدی، جایی که نقطه‌ی مینیمم $y$ با $M$ مشخص شده و منحنی به سمت بالا مقعر است.¹ در سمت چپ $M$ شیب رو به پایین، یعنی منفی، است و در حال کم‌تر منفی شدن است. در سمت راست $M$ شیب رو به بالا شده و بیش‌تر و بیش‌تر رو به بالا می‌شود. واضح است که تغییر شیب وقتی منحنی از $M$ عبور می‌کند چنان است که $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ مثبت است، زیرا عملکرد آن، وقتی $x$ به سمت راست افزایش می‌یابد، تبدیل یک شیب رو به پایین به یک شیب رو به بالا است.

به‌طور مشابه، هر منحنی‌ای را در نظر بگیرید که دارای یک نقطه‌ی ماکزیمم باشد (مانند شکل 10.11 در همین فصل)، یا مانند شکل زیر، جایی که منحنی به سمت پایین مقعر است،² و نقطه‌ی ماکزیمم با $M$ مشخص شده است. در این حالت، وقتی منحنی از چپ به راست از $M$ عبور می‌کند، شیب رو به بالای آن به شیب رو به پایین یا منفی تبدیل می‌شود، به‌طوری که در این حالت «شیبِ شیب» $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ منفی است.

این آزمون مشتق دوم برای ماکزیمم‌ها و مینیمم‌ها نامیده می‌شود.

به‌طور خلاصه:

اگر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ باشد، منحنی به سمت بالا مقعر (یا محدب) است.

اگر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ باشد، منحنی به سمت پایین مقعر (یا کاو) است.

آزمون مشتق دوم
فرض کنید $\frac{d y}{d x} = 0$ برای یک مقدار خاص از $x$

اگر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ برای این مقدار خاص از $x$ ، آنگاه مقدار $y$ برای این $x$ یک مینیمم است.

اگر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ برای این مقدار خاص از $x$ ، آنگاه مقدار $y$ برای این $x$ یک ماکزیمم است.

اکنون به مثال‌های فصل پیش برگردید و به این روش نتایج به‌دست آمده را در این‌که آیا در هر مورد خاص یک ماکزیمم وجود دارد یا مینیمم، بررسی کنید. در زیر چند مثال حل‌شده خواهید یافت.

مثال 12.1. ماکزیمم یا مینیمم $(a) y = 4 x^{2} - 9 x - 6; (b) y = 6 + 9 x - 4 x^{2};$ را بیابید و مشخص کنید که در هر مورد ماکزیمم است یا مینیمم.

راه‌حل. (الف) مقدار $y$ برای (یا در) $x = 1 \frac{1}{8}$ برابر $- 11.065$ است. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 8; it is~ +; hence it is a minimum.$ (ب)

$\frac{d y}{d x} = 9 - 8 x = 0 \Rightarrow x = 1 \frac{1}{8} .$ مقدار $y$ برای $x = 1 \frac{1}{8}$ برابر $- 11.065$ است. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 8; it is~ -; hence it is a maximum.$

نمودارهای $y = 4 x^{2} - 9 x - 6$ و $y = 6 + 9 x - 4 x^{2}$ در زیر نشان داده شده‌اند.

مثال 12.2. ماکزیمم‌ها و مینیمم‌های تابع $y = x^{3} - 3 x + 16$ را بیابید.

راه‌حل. $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1.$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x; for x = 1; \frac{d^{2} y}{d x^{2}} is +;$ بنابراین $x = 1$ متناظر با یک مینیمم $y = 14$ است. برای $x = - 1$ ، $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $-$ است؛ بنابراین $x = - 1$ متناظر با یک ماکزیمم $y = + 18$ است.

نمودار $y = x^{3} - 3 x + 16$ در زیر نشان داده شده است.

مثال 12.3. ماکزیمم‌ها و مینیمم‌های $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2}$ را بیابید.

راه‌حل. $\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{2} + 2) \times 1 - (x - 1) \times 2 x}{(x^{2} + 2)^{2}} = \frac{2 x - x^{2} + 2}{(x^{2} + 2)^{2}} = 0;$ یا $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ، که جواب‌های آن $x = 1 + \sqrt{3} \approx + 2.73$ و $x = 1 - \sqrt{3} \approx - 0.73$ هستند.

مخرج همواره مثبت است، بنابراین کافی است علامت صورت را تعیین کنیم.

اگر $x = 2.73$ قرار دهیم، صورت منفی است؛ ماکزیمم، $y = 0.183$ .

اگر $x = - 0.73$ قرار دهیم، صورت مثبت است؛ مینیمم، $y = - 0.683$ .

نمودار $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2}$ در زیر نشان داده شده است.

مثال 12.4. هزینه‌ی $C$ جابجایی محصولات یک کارخانه‌ی معین با توجه به تولید هفتگی $P$ طبق رابطه‌ی $C = a P + \frac{b}{c + P} + d$ تغییر می‌کند، که در آن $a$ ، $b$ ، $c$ ، $d$ ثابت‌های مثبت هستند. برای چه مقداری از تولید هزینه کمینه خواهد بود؟

راه‌حل. $\frac{d C}{d P} = a - \frac{b}{(c + P)^{2}} = 0 for maximum or minimum;$ بنابراین $a = \frac{b}{(c + P)^{2}}$ و $P = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} - c$ .

از آنجا که تولید نمی‌تواند منفی باشد، $P = + \sqrt{\frac{b}{a}} - c$ .

اکنون $\frac{d^{2} C}{d P^{2}} = + \frac{b (2 c + 2 P)}{(c + P)^{4}},$ که برای تمام مقادیر $P$ مثبت است؛ بنابراین $P = + \sqrt{\frac{b}{a}} - c$ متناظر با یک مینیمم است.

مثال 12.5. مجموع هزینه‌ی هر ساعت $C$ روشنایی یک ساختمان با $N$ لامپ از نوعی خاص برابر است با $C = N (\frac{C_{l}}{t} + \frac{E P C_{e}}{1000}),$ که در آن $E$ بازده تجاری (وات بر شمع)،

علاوه بر این، رابطه‌ای که طول عمر متوسط یک لامپ را به بازده تجاری که با آن کار می‌کند مرتبط می‌سازد تقریباً $t = m E^{n}$ است، که $m$ و $n$ ثابت‌هایی هستند که به نوع لامپ بستگی دارند.

بازده تجاری را طوری بیابید که مجموع هزینه‌ی روشنایی کمینه باشد.

راه‌حل. داریم برای ماکزیمم یا مینیمم. $E^{n + 1} = \frac{1000 \times n C_{l}}{m P C_{e}},$ و $E = \sqrt[^{n + 1}]{\frac{1000 \times n C_{l}}{m P C_{e}}}$

این مشخصاً برای مینیمم است، زیرا $\frac{d^{2} C}{d E^{2}} = (n + 1) \frac{n C_{l}}{m} E^{- (n + 2)},$ که برای یک مقدار مثبت $E$ مثبت است.

برای نوع خاصی از لامپ‌های $16$ شمعی، $C_{l} = 17$ سنت، $C_{e} = 5$ سنت؛ و معلوم شد که $m = 10$ و $n = 3.6$ است. $E = \sqrt[^{4.6}]{\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5}} = {(\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5})}^{\frac{1}{4.6}} \approx 2.6 watts per candle-power .$

تمرین‌ها

تمرین 12.1. ماکزیمم و مینیمم $y = x^{3} + x^{2} - 10 x + 8.$ را بیابید.

پاسخ

ماکزیمم: $x \approx - 2.19$ ، $y \approx 24.19$ ؛ مینیمم:، $x \approx 1.52$ ، $y \approx - 1.38$ .

راه‌حل

$\begin{matrix} y = x^{3} + x^{2} - 10 x + 8 \\ \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 10 \\ \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 120}}{6} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{31}}{6} \\ Therefore \frac{d y}{d x} = 0 if x = - \frac{1 + \sqrt{31}}{3} \approx - 2.189 or x = \frac{\sqrt{31} - 1}{3} \approx 1.522 \end{matrix}$

برای تشخیص ماکزیمم از مینیمم، مشتق دوم را می‌یابیم:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x + 2$

وقتی $x \approx - 2.19$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6 \times 2.19 + 2 < 0$ بنابراین، منحنی نزدیک $x \approx - 2.19$ به سمت پایین مقعر است و $x \approx - 2.19$ متناظر با یک ماکزیمم $y \approx 24.19 .$ می‌باشد.

وقتی $x \approx 1.52$ بنابراین، منحنی نزدیک $x \approx 1.52$ به سمت بالا مقعر است و $x \approx 1.52$ متناظر با یک مینیمم $y \approx - 1.38$ می‌باشد.

این منحنی در زیر نشان داده شده است:

تمرین 12.2. با فرض $y = \frac{b}{a} x - c x^{2}$ ، عباراتی برای $\frac{d y}{d x}$ ، و برای $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ بیابید، همچنین مقدار $x$ را که $y$ را ماکزیمم یا مینیمم می‌کند پیدا کرده، و نشان دهید که ماکزیمم است یا مینیمم (فرض کنید $c > 0$ ).

پاسخ

$\frac{d y}{d x} = \frac{b}{a} - 2 c x$ ؛ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 2 c$ ؛ $x = \frac{b}{2 a c}$ (یک ماکزیمم).

راه‌حل

وقتی $x = \frac{b}{2 a c}$

$y = \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{2 a c} - c \frac{b^{2}}{4 a^{2} c^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2} c}$ این یک مقدار ماکزیمم است زیرا $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ .

تمرین 12.3. مشخص کنید در منحنی که معادله‌ی آن عبارت است از $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24};$ چند ماکزیمم و چند مینیمم وجود دارد؛ و در منحنی که معادله‌ی آن $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} .$ می‌باشد، چند تا است.

پاسخ

(الف) یک ماکزیمم و دو مینیمم.
(ب) یک ماکزیمم. ( $x = 0$ ؛ نقاط دیگر موهومی هستند.)

راه‌حل

وقتی $x = 0$ ، $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 1 < 0$ بنابراین، $x = 0$ مقدار $y$ را ماکزیمم می‌کند. وقتی $x = 0$ ، $y = 1$ .

وقتی $x = \sqrt{6}$ یا $x = - \sqrt{6}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 1 + 3 = 2 > 0$ بنابراین، $x = \sqrt{6} \approx 2.449$ یا $x = - \sqrt{6} \approx - 2.449$ متناظر با یک مینیمم $y = - \frac{1}{2}$ است.