Courbure des Courbes

En revenant au processus de différenciation successive, on peut se demander : Pourquoi quelqu'un voudrait-il dériver deux fois ? Nous savons que lorsque les quantités variables sont l'espace et le temps, en dérivant deux fois, nous obtenons l'accélération d'un corps en mouvement, et que dans l'interprétation géométrique, appliquée aux courbes, $\dfrac{dy}{dx}$ signifie la pente de la courbe. Mais que peut signifier $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ dans ce cas ? Clairement, cela signifie le taux (par unité de longueur $x$) auquel la pente change – en bref, c'est une indication de la manière dont la pente de la partie de courbe considérée varie, c'est-à-dire, si la pente de la courbe augmente ou diminue lorsque $x$ augmente, ou, en d'autres termes, si la courbe se courbe vers le haut ou vers le bas vers la droite.

Supposons une pente constante, comme dans la figure suivante.

Dans ce cas, $\dfrac{dy}{dx}$ conserve une valeur constante.

Supposons, cependant, un cas dans lequel, comme dans la figure suivante, la pente elle-même s'accroît vers le haut, alors $\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx}$, c'est-à-dire, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, sera positive.

Si la pente diminue à mesure que l'on se dirige vers la droite, comme dans la figure suivante, alors, même si la courbe peut aller vers le haut, puisque le changement est tel qu'il diminue sa pente, sa $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ sera négative.

Il est maintenant temps de vous initier à un autre secret — comment déterminer si le résultat que vous obtenez en "équilibrant $\dfrac{dy}{dx}$ à zéro" est un maximum ou un minimum. Le truc est le suivant : après avoir dérivé (afin d'obtenir l'expression que vous égalisez à zéro), vous dérivez ensuite une deuxième fois et regardez si le résultat de la deuxième dérivation est positif ou négatif. Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ est positif, alors vous savez que la valeur de $y$ que vous avez obtenue était un minimum; mais si $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ est négatif, alors la valeur de $y$ que vous avez obtenue doit être un maximum. C'est la règle.

La raison en est évidente. Pensez à n'importe quelle courbe ayant un point minimum comme dans la figure suivante, où le point minimum $y$ est marqué $M$, et la courbe est concave vers le haut.¹ À gauche de $M$, la pente est descendante, c'est-à-dire, négative, et devient de moins en moins négative. À droite de $M$, la pente est devenue montante, et devient de plus en plus montante. Clairement, le changement de pente lorsque la courbe passe par $M$ est tel que $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ est positif, car son effet, à mesure que $x$ augmente vers la droite, est de convertir une pente descendante en une pente montante.

De même, considérez toute courbe ayant un point maximum (comme Fig. 10.11 dans ce chapitre), ou comme la figure suivante, où la courbe est concave vers le bas,² et le point maximum est marqué $M$. Dans ce cas, lorsque la courbe passe par $M$ de gauche à droite, sa pente ascendante est convertie en une pente descendante ou négative, de sorte que dans ce cas, la “pente de la pente” $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ est négative.

Cela s'appelle le test de la seconde dérivée pour les maxima et les minima.

En résumé :

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}>0$, la courbe est concave vers le haut (ou convexe).

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}<0$, la courbe est concave vers le bas (ou concave).

Le Test de la Seconde Dérivée
Supposons $\dfrac{dy}{dx}=0$ pour une valeur particulière de $x$

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}>0$ pour cette valeur particulière de $x$, la valeur de $y$ pour ce $x$ est un minimum.

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}<0$ pour cette valeur particulière de $x$, la valeur de $y$ pour ce $x$ est un maximum.

Retournez maintenant aux exemples du dernier chapitre et vérifiez de cette manière les conclusions auxquelles on est parvenu pour savoir si, dans un cas particulier, il y a un maximum ou un minimum. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples travaillés.

Exemple 12.1. Trouvez le maximum ou le minimum de \[\text{(a)}\quad y = 4x^2-9x-6; \qquad \text{(b)}\quad y = 6 + 9x-4x^2;\] et voyez s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum dans chaque cas.

Solution. (a) \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx}= 8x-9=0\quad \Rightarrow\quad x=1\frac{1}{8}. \end{align}\] La valeur de $y$ pour (ou à) $x=1\frac{1}{8}$ est $-11.065$. \[\dfrac{d^2y}{dx^2} = 8;\quad \text{c'est~$+$; donc c'est un minimum.}\] (b)

\[\dfrac{dy}{dx}= 9-8x=0\quad \Rightarrow\quad x = 1\frac{1}{8}.\] La valeur de $y$ pour $x=1\frac{1}{8}$ est $-11.065$ \[\dfrac{d^2y}{dx^2}= -8;\quad \text{c'est~$-$; donc c'est un maximum.}\]

Les graphiques de $y=4x^2-9x-6$ et $y = 6 + 9x-4x^2$ sont montrés ci-dessous.

Exemple 12.2. Trouvez les maxima et minima de la fonction $y = x^3-3x+16$.

Solution. \[\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 = 0\Rightarrow x^2 = 1\Rightarrow x = \pm1.\] \[\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x;\quad \text{pour } x = 1; ~\dfrac{d^2y}{dx^2} \text{ est }+; \] donc $x=1$ correspond à un minimum $y=14$. Pour $x=-1$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ est $-$; donc $x=-1$ correspond à un maximum $y=+18$.

Le graphique de $y = x^3-3x+16$ est montré ci-dessous.

Exemple 12.3. Trouvez les maxima et minima de $y=\dfrac{x-1}{x^2+2}$.

Solution. \[\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+2) \times 1 - (x-1) \times 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x - x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2} = 0;\] ou $x^2 - 2x - 2 = 0$, dont les solutions sont $x =1+\sqrt{3}\approx+2.73$ et $x=1-\sqrt{3}\approx -0.73$. \[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= - \frac{(x^2 + 2)^2 \times (2x-2) - (x^2 - 2x - 2)(4x^3 + 8x)}{(x^2 + 2)^4} \\ &= - \frac{2x^5 - 6x^4 - 8x^3 - 8x^2 - 24x + 8}{(x^2 + 2)^4}. \end{align}\]

Le dénominateur est toujours positif, donc il suffit de vérifier le signe du numérateur.

Si nous prenons $x = 2.73$, le numérateur est négatif; le maximum, $y = 0.183$.

Si nous prenons $x=-0.73$, le numérateur est positif; le minimum, $y=-0.683$.

Le graphique de $y=\dfrac{x-1}{x^2+2}$ est montré ci-dessous.

Exemple 12.4. La dépense $C$ de gestion des produits d'une certaine usine varie avec la production hebdomadaire $P$ selon la relation $C = aP + \dfrac{b}{c+P} + d$, où $a$, $b$, $c$, $d$ sont des constantes positives. Pour quelle production la dépense sera-t-elle minimale ?

Solution. \[\dfrac{dC}{dP} = a - \frac{b}{(c+P)^2} = 0\quad \text{pour un maximum ou minimum;}\] donc $a = \dfrac{b}{(c+P)^2}$ et $P = \pm\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$.

Comme la production ne peut être négative, $P=+\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$.

Maintenant \[\frac{d^2C}{dP^2} = + \frac{b(2c + 2P)}{(c + P)^4},\] ce qui est positif pour toutes les valeurs de $P$; donc $P = +\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$ correspond à un minimum.

Exemple 12.5. Le coût total par heure $C$ de l'éclairage d'un bâtiment avec $N$ lampes d'un certain type est \[C = N\left(\frac{C_l}{t} + \frac{EPC_e}{1000}\right),\] où $E$ est l'efficacité commerciale (watts par bougie), \[\begin{align} &\text{$P$ est l'intensité lumineuse de chaque lampe,} \\ &\text{$t$ est la durée de vie moyenne de chaque lampe en heures,} \\ &\text{$C_l =$ coût de remplacement en cents par heure d'utilisation,} \\ &\text{$C_e =$ coût de l'énergie par $1000$~watts par heure.} \end{align}\]

De plus, la relation entre la durée de vie moyenne d'une lampe et l'efficacité commerciale à laquelle elle est utilisée est approximativement $t = mE^n$, où $m$ et $n$ sont des constantes dépendant du type de lampe.

Trouvez l'efficacité commerciale pour laquelle le coût total de l'éclairage sera minimal.

Solution. Nous avons \[\begin{align} C &= N\left(\frac{C_l}{m} E^{-n} + \frac{PC_e}{1000} E\right), \\ \dfrac{dC}{dE} &= \frac{PC_e}{1000} - \frac{nC_l}{m} E^{-(n+1)} = 0 \end{align}\] pour un maximum ou minimum. \[E^{n+1} = \frac{1000 \times nC_l}{mPC_e},\] et \[E = \sqrt[ ^{\large n+1}]{\frac{1000 \times nC_l}{mPC_e}}\]

C'est clairement pour un minimum, puisque \[\frac{d^2C}{dE^2} = (n + 1) \frac{nC_l}{m} E^{-(n+2)},\] ce qui est positif pour une valeur positive de $E$.

Pour un type particulier de lampes de $16$ bougies, $C_l= 17$ cents, $C_e=5$ cents; et il a été trouvé que $m=10$ et $n=3.6$. \[E = \sqrt[^{\large 4.6}]{\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5}}=\left(\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5}\right)^{\frac{1}{4.6}} \approx 2.6\text{ watts par bougie}.\]

Exercices

Exercice 12.1. Trouvez les maxima et minima de \[y = x^3 + x^2 - 10x + 8.\]

Réponse

Max. : $x \approx -2.19$, $y \approx 24.19$; min. :, $x \approx 1.52$, $y \approx -1.38$.

Solution

\[\begin{gathered} y=x^{3}+x^{2}-10 x+8 \\ \frac{d y}{d x}=3 x^{2}+2 x-10 \\ \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+120}}{6}=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{31}}{6} \\ \text { Donc } \frac{d y}{d x}=0 \text { si } x=-\frac{1+\sqrt{31}}{3} \approx-2.189 \text { ou } x=\frac{\sqrt{31}-1}{3} \approx 1.522 \end{gathered}\]

Pour distinguer entre un maximum et un minimum, nous trouvons la deuxième dérivée :

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+2\]

Quand $x\approx -2.19$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-6 \times 2.19+2<0\] Donc, la courbe est concave vers le bas près de $x\approx -2.19$ et $x\approx -2.19$ correspond à un maximum $y \approx 24.19.$

Quand $x\approx1.52$ \[\begin{align} & y \approx-1.38 \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 \times 1.52+2>0 \end{align}\] Donc, la courbe est concave vers le haut près de $x\approx1.52$ et $x\approx 1.52$ correspond à un minimum $y \approx-1.38$.

Cette courbe est montrée ci-dessous :

Exercice 12.2. Étant donné $y = \dfrac{b}{a}x - cx^2$, trouvez les expressions pour $\dfrac{dy}{dx}$, et pour $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, trouvez également la valeur de $x$ qui rend $y$ un maximum ou un minimum, et montrez s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum (supposez $c>0$).

Réponse

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{b}{a} - 2cx$; $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = -2c$; $x = \dfrac{b}{2ac}$ (un maximum).

Solution

\[\begin{align} y & =\frac{b}{a} x-c x^{2} \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{b}{a}-2 c x=0 \Rightarrow x=\frac{b}{2 a c} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-2 c \end{align}\]

Quand $x=\frac{b}{2 a c}$

\[y=\frac{b}{a} \cdot \frac{b}{2 a c}-c \frac{b^{2}}{4 a^{2} c^{2}}=\frac{b^{2}}{4 a^{2} c}\] C'est une valeur maximale puisque $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}<0$.

Exercice 12.3. Trouvez combien de maxima et combien de minima il y a dans la courbe dont l'équation est \[y = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24};\] et combien dans celle dont l'équation est \[y = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}.\]

Réponse

(a) Un maximum et deux minimums.
(b) Un maximum. ($x = 0$; autres points irréels.)

Solution

\[\begin{align} & y=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24} \\ & \frac{d y}{d x}=-x+\frac{1}{6} x^{3}=x\left(\frac{x^{2}}{6}-1\right) \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text { ou } \quad x= \pm \sqrt{6} \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+\frac{1}{2} x^{2} \end{align}\]

Quand $x=0$, \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1<0\] Donc, $x=0$ rend $y$ une valeur maximale. Quand $x=0$, $y=1$.

Quand $x=\sqrt{6}$ ou $x=-\sqrt{6}$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+3=2>0\] Donc, $x=\sqrt{6}\approx 2.449$ ou $x=-\sqrt{6}\approx -2.449$ correspond à un minimum $y=-\dfrac{1}{2}$.

Le graphique de $y=1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ est montré ci-dessous :

Considérons maintenant la deuxième fonction \[y =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}.\] \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =-x+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{120}=\frac{1}{120} x\left(-120+20 x^{2}-x^{4}\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 & \Leftrightarrow x=0 \text { ou } x^{4}-20 x^{2}+120=0 \end{align}\]

L'expression $x^{4}-20 x^{2}+120$ est quadratique en termes de $t=x^{2}$

\[t^{2}-20 t+120=0\]

Puisque le discriminant de cette équation, $20^{2}-4 \times 120=-80$, est négatif, l'équation ci-dessus n'a pas de racines.

Donc,

\[\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=0\]

La valeur de $y$ pour $x=0$ est 1. Puisque

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\]

est négatif quand $x=0$, $y=1$ est un maximum.

Le graphique de $y=1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}$ est montré ci-dessous :

Exercice 12.4. Trouvez les maxima et minima de \[y=2x+1+\frac{5}{x^2}.\]

Réponse

Min. : $x \approx 1.71$, $y \approx 6.13$.

Solution

\[y=2 x+1+\frac{5}{x^{2}}\] Nous pouvons le réécrire comme \[y=2 x+1+5 x^{-2}\] Ensuite \[\frac{d y}{d x}=2-10 x^{-3}=2-\frac{10}{x^{3}}\] La deuxième dérivée est : \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=30 x^{-4}=\frac{30}{x^{4}}\]

Pour trouver où $y$ est un maximum ou un minimum, nous égalisons $\dfrac{dy}{dx}$ à zéro : \[\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{5}\]

Puisque $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0$, $x=\sqrt[3]{5}$ correspond à un minimum \[y=2 \sqrt[3]{5}+1+\frac{5}{5^ \frac{2}{3}} \approx 6.13.\]

Exercice 12.5. Trouvez les maxima et minima de \[y=\frac{3}{x^2+x+1}.\]

Réponse

Max : $x = -.5$, $y = 4$.

Solution

\[y=\frac{3}{x^{2}+x+1}\]

En utilisant la règle du quotient

\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=-\frac{3(2 x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{1}{2} \end{align}\]

Pour déterminer si $y$ a un maximum ou un minimum quand $x=-\frac{1}{2}$, nous pouvons utiliser le test de la seconde dérivée :

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2\left(x^{2}+x+1\right)^{2}-2(2 x+1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{4}}.\]

Quand $x=-\frac{1}{2}$

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2 (+)-2\times 0 (\dots)}{(+)}=(-)\] Donc, la courbe est concave vers le bas et $x=-\frac{1}{2}$ correspond à un maximum $y=4$.

Alternativement, nous pouvons utiliser le test de la première dérivée.

Quand $x<\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{d y}{d x}>0$, la courbe augmente

Quand $x>\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{d y}{d x}<0$, la courbe descend.

Ainsi $y=4$ est un maximum qui se produit lorsque $x=-\frac{1}{2}$.

Le graphique de $y=\dfrac{3}{x^{2}+x+1}$ est montré ci-dessous.

Exercice 12.6. Trouvez les maxima et minima de \[y=\frac{5x}{2+x^2}.\]

Réponse

Max. : $x \approx 1.414$, $y \approx 1.768$.
Min. : $x \approx -1.414$, $y \approx 1.768$.

Solution

\[y=\frac{5 x}{2+x^{2}}\]

En utilisant la règle du quotient :

\[\frac{d y}{d x}=\frac{5\left(2+x^{2}\right)-5 x(2 x)}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}\]

\[\frac{d y}{d x}=\frac{10-5 x^{2}}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}\]

\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow 10-5 x^2=0 \\ & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{2} \end{align}\]

En utilisant le test de la seconde dérivée : \[\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10 x\left(2+x^2\right)^2-2(2 x)\left(2+x^2\right)\left(10-5 x^2\right)}{\left(2+x^2\right)^4}\]

Quand $x=\sqrt{2}$ \[\frac{d^2 y}{d r^2}=\frac{-10(+)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(-)\] Il résulte du test de la seconde dérivée que $x=\sqrt{2}$ correspond à un maximum $y=\dfrac{5\sqrt{2}}{2+2}\approx 1.768$.

Quand $x=-\sqrt{2}$ \[\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10(-)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(+)\] Cela signifie que $x=-\sqrt{2}$ correspond à un minimum $y=-\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\approx -1.768$.

Le graphique de $y=\dfrac{5 x}{2+x^{2}}$ est montré ci-dessous.

Exercice 12.7. Trouvez les maxima et minima de \[y=\frac{3x}{x^2-3} + \frac{x}{2} + 5.\]

Réponse

Max. : $x \approx -3.565$, $y \approx 2.12$.
Min. : $x\approx +3.565$, $y \approx 7.88$.

Solution

\[\begin{align} & y=\frac{3 x}{x^{2}-3}+\frac{x}{2}+5 \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{3\left(x^{2}-3\right)-6 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{-9-3 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{2\left(-9-3 x^{2}\right)+\left(x^{2}-3\right)^{2}}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{-18-6 x^{2}+x^{4}-6 x^{2}+9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{x^{4}-12 x^{2}-9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \end{align}\] \[\frac{d y}{d x} =0 \quad\Leftrightarrow \quad x^4-12x^2-9=0.\] L'équation $x^{4}-12 x^{2}-9=0$ est quadratique en termes de $x^{2}$. Ainsi \[x^{2}=\frac{12 \pm \sqrt{144+36}}{2}=\frac{12 \pm \sqrt{180}}{2}\] La solution négative est inappropriée car $x^{2} \geq 0$. Par conséquent

\[\begin{gathered} x^{2}=\frac{12+\sqrt{180}}{2}=3(\sqrt{5}+2) \\ \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565\ \text{ ou }\ x=-\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx-3.565 \end{gathered}\]

En utilisant le test de la seconde dérivée \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2\left(3 x^{2}-24 x\right)\left(x^{2}-3\right)^{2}-8 x\left(x^{2}-3\right)\left(x^{4}-12 x^{2}-9\right)}{4\left(x^{2}-3\right)^{4}}\]

Quand $x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565$

\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{3\left(3 \times 3.565^{2}-24 \times 3.565\right)(+)-8(+)(-)(0)}{(+)} \\ & =\frac{3(-)(+)-0}{(+)} \\ & =(-) \end{align}\] Donc, $x \approx 3.565$ correspond à un maximum $y \approx 7.884$.

Quand $x \approx-3.565$

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{3(+)(+)-0}{(+)}=(+)\]

Donc, $x \approx-3.565$ correspond à un minimum $y \approx 2.116$.

Le graphique de $y=\dfrac{3x}{x^2-3} + \dfrac{x}{2} + 5$ est montré ci-dessous.

Exercice 12.8. Divisez un nombre $N$ en deux parties de manière à ce que trois fois le carré d'une partie plus deux fois le carré de l'autre partie soient minimisés.

Réponse

$0.4N$, $0.6N$.

Solution

Soit

$x=$ partie un

$z=$ partie deux

Nous savons \[x+z=N\] et nous voulons minimiser \[3 x^{2}+2 z^{2}\]

Puisque $z=N-x$, nous voulons minimiser

\[3 x^{2}+2(N-x)^{2}\]

Soit \[y =3 x^{2}+2(N-x)^{2}\] donc \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =6 x+2 \times 2 \times(-1)(N-x) \\ & =10 x-4 N \end{align}\] \[\frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.4 N\]

Est-ce que $x=0.4$ correspond à un minimum $y$ ou un maximum $y$? Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser le test de la seconde dérivée

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0\]

Il résulte du test de la seconde dérivée que $x=0.4 N$ correspond à une valeur minimale.

Quand $x=0.4 N$, $z=0.6 N$ et

\[\begin{align} & y=3(0.4 N)^{2}+2(0.6 N)^{2} \\ & y=1.2 N^{2} \end{align}\]

Exercice 12.9. L'efficacité $u$ d'un générateur électrique à différentes valeurs de sortie $x$ est exprimée par l'équation générale : \[u=\frac{x}{a+bx+cx^2};\] où $a$ est une constante dépendant principalement des pertes d'énergie dans le fer et $c$ une constante dépendant principalement de la résistance des parties en cuivre. Trouvez une expression pour cette valeur de sortie à laquelle l'efficacité sera maximale.

Réponse

$x = \sqrt{\dfrac{a}{c}}$.

Solution

\[u=\frac{x}{a+b x+c x^{2}}\]

En utilisant la règle du quotient :

\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{\left(a+b x+c x^{2}\right)-x(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)} \\ & =\frac{a-c x^{2}}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{2}} \end{align}\] \[\frac{d u}{d x} =0 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{\frac{c}{a}}\] \[\frac{d^{2} u}{d x^{2}} =\frac{-2 c x(a+b x+c x)^{2}+\left(a-c x^{2}\right)(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{4}}\]

Quand $x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}$, \[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c \sqrt{\frac{c}{a}}(+)+0}{(+)}=(-)\] [Notez que $a-c x^{2}$ est zéro quand $x=\sqrt{\frac{c}{a}}$ ]

Donc, $x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}$ rend $u$ un maximum.

$x$ ne peut pas être négatif (Quelle est la signification de la sortie négative d'un générateur électrique ?), mais même si $x<0$ était acceptable, quand $x=-\sqrt{\frac{c}{a}}$, nous avons

\[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c\left(-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)(+)+0}{(+)}=(+),\] Donc $u$ est un minimum quand $x=-\sqrt{\dfrac{c}{a}}$.

Exercice 12.10. Supposons qu'il soit connu que la consommation de charbon par un certain vapeur puisse être représentée par la formule $y = 0.3 + 0.001v^3$ ; où $y$ est le nombre de tonnes de charbon brûlées par heure et $v$ est la vitesse exprimée en miles nautiques par heure. Le coût des salaires, de l'intérêt sur le capital et de l'amortissement de ce navire équivalent, par heure, au coût d'une tonne de charbon. Quelle vitesse rendra le coût total d'un voyage de $1000$ miles nautiques minimal ? Et, si le charbon coûte $\$132$ par tonne, à combien s'élèvera ce coût minimal du voyage ?

Réponse

Vitesse $\sqrt[3]{650}\approx 8.66$ miles nautiques par heure. Temps de trajet $115.44$ heures.
Coût minimal $\$29714.7$.

Solution

\[\frac{\text{nb de tonnes}}{\text{heure}}=y=0.3+0.001 v^3\] Puisque le coût des autres dépenses est équivalent à $1\ \frac{\text{tonne de charbon}}{\text{heure}}$, si le voyage dure $t$ heures, alors le coût total du voyage est \[\text{coût }= a\left(y\cdot t+t\right)=a(y+1)t\] où $a$ est le coût du charbon par tonne.

Si la vitesse du vapeur est $v$, puisque le voyage est de $1000$ miles nautiques, le temps du voyage est \[t=\frac{1000}{v}\] Par conséquent, nous pouvons écrire que le coût du voyage est \[\begin{align} \text{coût } &=a\left(1.3+0.001v^3\right)\frac{1000}{v}\\ &=a\left(\frac{1300}{v}+v^2\right). \end{align}\]

Pour minimiser le coût, nous dérivons le coût par rapport à la vitesse et égalisons le résultat à zéro :

\[\frac{d \text{ coût}}{dv}=a\left(-\frac{1300}{v^2}+2v\right)=0\]

\[\Rightarrow 2v=\frac{1300}{v^2}\] \[\Rightarrow v=\sqrt[3]{650}\approx 8.662\]

8.662 miles nautiques par heure est la vitesse qui rendra le coût total minimal.

Si le vapeur se déplace à la vitesse $\sqrt[3]{650}$, le voyage dure $\dfrac{1000}{\sqrt[3]{650}}\approx 115.442$ heures.

Pour trouver le coût minimal, nous devons calculer $\text{coût} = a\left(\dfrac{1300}{v}+v^2\right)$ pour $a=132$ et $v=\sqrt[3]{650}\approx 8.66$ : \[\text{coût} \approx 132\left(\frac{1300}{8.662}+8.662^2 \right)\approx 29714.7.\]

Exercice 12.11. Trouvez les maxima et minima de\[y = \pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}.\]

Réponse

Max. et min. pour $x = 7.5$, $y \approx \pm 5.413$.

Solution

Considérons d'abord \[y=\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\] Puis \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{d\left\{ \sqrt{x(10-x)} \right\}}{d x}\]

Pour dériver $\sqrt{x(10-x)}$, supposons que $u=x(10-x)$ et \[\begin{align} \frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d x} & =\frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(10-2 x) \\ & =\frac{1}{\sqrt{x(10-x)}} \cdot(5-x) \end{align}\] Par conséquent,

\[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{5-x}{\sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{x(10-x)+x(5-x)}{6 \sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{15 x-2 x^{2}}{6 \sqrt{x(10-x)}} \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d y}{d x}=0 \quad &\Leftrightarrow\quad x(15-2 x)=0 \\ &\Leftrightarrow \quad x=0 \text { ou } x=7.5 \end{align}\]

Pour distinguer entre un maximum ou un minimum, nous avons besoin du signe de la deuxième dérivée pour $x=0$ et pour $x=7.5$.

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 x) \sqrt{x(10-x)}-\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x} \cdot\left(15 x-2 x^{2}\right)}{(\sqrt{x(10-x)})^{2}}\]

Notez que, pour trouver le signe de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, nous n'avons pas besoin d'écrire l'expression pour $\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x}$ car le résultat sera multiplié par $\left(15 x-2 x^{2}\right)$ qui est zéro pour $x=0$ et pour $x=7.5$.

Quand $x=0$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{15 \cdot \sqrt{10}-0}{10}>0 .\] Donc, $x=0$ correspond à un minimum $y=0$.

Quand $x=7.5$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 \times 7.5) \sqrt{7.5 \times 2.5}}{7.5 \times 2.5}<0\] Donc $x=7.5$ correspond à un maximum \[y=\frac{7.5}{6} \sqrt{7.5 \times(10-7.5)} \approx 5.413\]

Si nous sommes négligents, nous pourrions dire que $x=0$ correspond à un minimum $y=0$, mais nous remarquons que $y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ est $>0$ si $x>0$ (il n'est pas défini pour $x<0$ ). Cependant, cette courbe a une autre branche $y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ qui est $<0$ quand $x>0$. Donc, la courbe n'a ni minimum ni maximum si $x=0$.

Si nous considérons $y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$, sa dérivée est également nulle quand $x=0$ ou $x=7.5$. La seconde dérivée a le signe opposé de la seconde dérivée de l'autre branche $y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$. Donc, $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0$ quand $x=7.5$. Par conséquent, $y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ a une valeur minimum de $y \approx-5.413$ quand $x=7.5$.

La courbe $y= \pm \dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ est montrée ci-dessous.

Exercice 12.12. Trouvez les maxima et minima de \[y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1.\]

Réponse

Min. : $x = \frac{1}{2}$, $y= 0.25$; max. : $x = - \frac{1}{3}$, $y\approx 1.407$.

Solution

\[\begin{align} y & =4 x^{3}-x^{2}-2 x+1 \\ \frac{d y}{d x} & =12 x^{2}-2 x-2=2\left(6 x^{2}-x-1\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 &\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{12}=\frac{1 \pm 5}{12} \\ \frac{d y}{d x} =0 & \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1}{2} \quad \text { ou } \quad x=-\frac{1}{3} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =2(12 x-1) \end{align}\]

Quand $x=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0$, la courbe est concave vers le haut et $y$ a une valeur minimale de \(4 \times\left(\dfrac{1}{2}\right