Curvatura de Curvas

Volviendo al proceso de diferenciación sucesiva, se puede preguntar: ¿Por qué alguien querría diferenciar dos veces? Sabemos que cuando las cantidades variables son espacio y tiempo, al diferenciar dos veces obtenemos la aceleración de un cuerpo en movimiento, y que en la interpretación geométrica, aplicada a las curvas, $\dfrac{dy}{dx}$ significa la pendiente de la curva. Pero, ¿qué puede significar $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ en este caso? Claramente significa la tasa (por unidad de longitud $x$) a la que la pendiente está cambiando—en resumen, es una indicación de la manera en la cual la pendiente de la parte de la curva considerada varía, es decir, si la pendiente de la curva aumenta o disminuye cuando $x$ aumenta, o, en otras palabras, si la curva se curva hacia arriba o hacia abajo hacia la derecha.

Supongamos una pendiente constante, como en la siguiente figura.

Aquí, $\dfrac{dy}{dx}$ es de valor constante.

Supongamos, sin embargo, un caso en el que, como en la siguiente figura, la pendiente misma se está volviendo mayor hacia arriba, entonces $\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx}$, es decir, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, será positiva.

Si la pendiente se vuelve menos pronunciada a medida que avanzas hacia la derecha como en la figura siguiente, entonces, aunque la curva pueda estar subiendo, ya que el cambio es tal que disminuye su pendiente, su $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ será negativa.

Ahora es el momento de iniciarte en otro secreto: cómo saber si el resultado que obtienes al "igualar $\dfrac{dy}{dx}$ a cero" es un máximo o un mínimo. El truco es este: Después de diferenciar (para obtener la expresión que igualas a cero), luego diferencias una segunda vez y observas si el resultado de la segunda diferenciación es positivo o negativo. Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ resulta ser positivo, entonces sabes que el valor de $y$ que obtuviste fue un mínimo; pero si $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ resulta ser negativo, entonces el valor de $y$ que obtuviste debe ser un máximo. Esa es la regla.

La razón de ello debería ser bastante evidente. Piensa en cualquier curva que tenga un punto mínimo como en la figura siguiente, donde el punto mínimo $y$ está marcado $M$, y la curva es cóncava hacia arriba.¹ A la izquierda de $M$, la pendiente es descendente, es decir, negativa, y se está volviendo menos negativa. A la derecha de $M$, la pendiente se ha vuelto ascendente y se está volviendo cada vez más ascendente. Claramente, el cambio de pendiente a medida que la curva pasa por $M$ es tal que $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ es positivo, ya que su operación, a medida que $x$ aumenta hacia la derecha, es convertir una pendiente descendente en una ascendente.

De manera similar, considera cualquier curva que tenga un punto máximo en ella (como Fig. 10.11 en este capítulo), o como la siguiente figura, donde la curva es cóncava hacia abajo,² y el punto máximo está marcado $M$. En este caso, a medida que la curva pasa por $M$ de izquierda a derecha, su pendiente ascendente se convierte en una pendiente descendente o negativa, por lo que en este caso la "pendiente de la pendiente" $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ es negativa.

Esto se llama la prueba de la segunda derivada para máximos y mínimos.

En resumen:

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}>0$, la curva es cóncava hacia arriba (o convexa).

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}<0$, la curva es cóncava hacia abajo (o cóncava).

La prueba de la segunda derivada
Supongamos $\dfrac{dy}{dx}=0$ para algún valor particular de $x$

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}>0$ para este valor particular de $x$, el valor de $y$ para este $x$ es un mínimo.

Si $\dfrac{d^2y}{dx^2}<0$ para este valor particular de $x$, el valor de $y$ para este $x$ es un máximo.

Ahora vuelve a los ejemplos del último capítulo y verifica de esta manera las conclusiones a las que se llegó sobre si en algún caso particular hay un máximo o un mínimo. Encontrarás a continuación algunos ejemplos resueltos.

Ejemplo 12.1. Encuentra el máximo o mínimo de \[\text{(a)}\quad y = 4x^2-9x-6; \qquad \text{(b)}\quad y = 6 + 9x-4x^2;\] y determina si es un máximo o un mínimo en cada caso.

Solución. (a) \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx}= 8x-9=0\quad \Rightarrow\quad x=1\frac{1}{8}. \end{align}\] El valor de $y$ para (o en) $x=1\frac{1}{8}$ es $-11.065$. \[\dfrac{d^2y}{dx^2} = 8;\quad \text{es~$+$; por lo tanto, es un mínimo.}\] (b)

\[\dfrac{dy}{dx}= 9-8x=0\quad \Rightarrow\quad x = 1\frac{1}{8}.\] El valor de $y$ para $x=1\frac{1}{8}$ es $-11.065$ \[\dfrac{d^2y}{dx^2}= -8;\quad \text{es~$-$; por lo tanto, es un máximo.}\]

Los gráficos de $y=4x^2-9x-6$ y $y = 6 + 9x-4x^2$ se muestran a continuación.

Ejemplo 12.2. Encuentra los máximos y mínimos de la función $y = x^3-3x+16$.

Solución. \[\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 = 0\Rightarrow x^2 = 1\Rightarrow x = \pm1.\] \[\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x;\quad \text{para } x = 1; ~\dfrac{d^2y}{dx^2} \text{ es }+; \] por lo tanto, $x=1$ corresponde a un mínimo $y=14$. Para $x=-1$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ es $-$; por lo tanto, $x=-1$ corresponde a un máximo $y=+18$.

El gráfico de $y = x^3-3x+16$ se muestra a continuación.

Ejemplo 12.3. Encuentra los máximos y mínimos de $y=\dfrac{x-1}{x^2+2}$.

Solución. \[\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+2) \times 1 - (x-1) \times 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x - x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2} = 0;\] o $x^2 - 2x - 2 = 0$, cuyas soluciones son $x =1+\sqrt{3}\approx+2.73$ y $x=1-\sqrt{3}\approx -0.73$. \[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= - \frac{(x^2 + 2)^2 \times (2x-2) - (x^2 - 2x - 2)(4x^3 + 8x)}{(x^2 + 2)^4} \\ &= - \frac{2x^5 - 6x^4 - 8x^3 - 8x^2 - 24x + 8}{(x^2 + 2)^4}. \end{align}\]

El denominador siempre es positivo, por lo que basta con verificar el signo del numerador.

Si ponemos $x = 2.73$, el numerador es negativo; el máximo, $y = 0.183$.

Si ponemos $x=-0.73$, el numerador es positivo; el mínimo, $y=-0.683$.

El gráfico de $y=\dfrac{x-1}{x^2+2}$ se muestra a continuación.

Ejemplo 12.4. El costo $C$ de manejar los productos de cierta fábrica varía con la producción semanal $P$ según la relación $C = aP + \dfrac{b}{c+P} + d$, donde $a$, $b$, $c$, $d$ son constantes positivas. ¿Para qué producción será el costo mínimo?

Solución. \[\dfrac{dC}{dP} = a - \frac{b}{(c+P)^2} = 0\quad \text{para máximo o mínimo;}\] por lo tanto $a = \dfrac{b}{(c+P)^2}$ y $P = \pm\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$.

Como la producción no puede ser negativa, $P=+\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$.

Ahora \[\frac{d^2C}{dP^2} = + \frac{b(2c + 2P)}{(c + P)^4},\] que es positivo para todos los valores de $P$; por lo tanto $P = +\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$ corresponde a un mínimo.

Ejemplo 12.5. El costo total por hora $C$ de iluminar un edificio con $N$ lámparas de un cierto tipo es \[C = N\left(\frac{C_l}{t} + \frac{EPC_e}{1000}\right),\] donde $E$ es la eficiencia comercial (watts por vela), \[\begin{align} &\text{$P$ es la potencia de cada lámpara,} \\ &\text{$t$ es la vida media de cada lámpara en horas,} \\ &\text{$C_l =$ costo de reemplazo en centavos por hora de uso,} \\ &\text{$C_e =$ costo de energía por $1000$~watts por~hora.} \end{align}\]

Además, la relación que conecta la vida media de una lámpara con la eficiencia comercial a la que se opera es aproximadamente $t = mE^n$, donde $m$ y $n$ son constantes que dependen del tipo de lámpara.

Encuentra la eficiencia comercial para la cual el costo total de iluminación será el menor.

Solución. Tenemos \[\begin{align} C &= N\left(\frac{C_l}{m} E^{-n} + \frac{PC_e}{1000} E\right), \\ \dfrac{dC}{dE} &= \frac{PC_e}{1000} - \frac{nC_l}{m} E^{-(n+1)} = 0 \end{align}\] para máximo o mínimo. \[E^{n+1} = \frac{1000 \times nC_l}{mPC_e},\] y \[E = \sqrt[ ^{\large n+1}]{\frac{1000 \times nC_l}{mPC_e}}\]

Esto claramente es para mínimo, porque \[\frac{d^2C}{dE^2} = (n + 1) \frac{nC_l}{m} E^{-(n+2)},\] que es positivo para un valor positivo de $E$.

Para un tipo particular de lámpanas de $16$ de potencia de velas, $C_l= 17$ centavos, $C_e=5$ centavos; y se encontró que $m=10$ y $n=3.6$. \[E = \sqrt[^{\large 4.6}]{\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5}}=\left(\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5}\right)^{\frac{1}{4.6}} \approx 2.6\text{ watts por potencia de vela}.\]

Ejercicios

Ejercicio 12.1. Encuentra los máximos y mínimos de \[y = x^3 + x^2 - 10x + 8.\]

Respuesta

Máx.: $x \approx -2.19$, $y \approx 24.19$; mín.:, $x \approx 1.52$, $y \approx -1.38$.

Solución

\[\begin{gathered} y=x^{3}+x^{2}-10 x+8 \\ \frac{d y}{d x}=3 x^{2}+2 x-10 \\ \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+120}}{6}=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{31}}{6} \\ \text { Por lo tanto } \frac{d y}{d x}=0 \text { si } x=-\frac{1+\sqrt{31}}{3} \approx-2.189 \text { o } x=\frac{\sqrt{31}-1}{3} \approx 1.522 \end{gathered}\]

Para distinguir entre un máximo y un mínimo, encontramos la segunda derivada:

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+2\]

Cuando $x\approx -2.19$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-6 \times 2.19+2<0\] Por lo tanto, la curva es cóncava hacia abajo cerca de $x\approx -2.19$ y $x\approx -2.19$ corresponde a un máximo $y \approx 24.19.$

Cuando $x\approx1.52$ \[\begin{align} & y \approx-1.38 \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 \times 1.52+2>0 \end{align}\] Por lo tanto, la curva es cóncava hacia arriba cerca de $x\approx1.52$ y $x\approx 1.52$ corresponde a un mínimo $y \approx-1.38$.

Esta curva se muestra a continuación:

Ejercicio 12.2. Dado $y = \dfrac{b}{a}x - cx^2$, encuentra expresiones para $\dfrac{dy}{dx}$, y para $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, también encuentra el valor de $x$ que hace que $y$ sea un máximo o un mínimo, y muestra si es máximo o mínimo (supón que $c>0$).

Respuesta

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{b}{a} - 2cx$; $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = -2c$; $x = \dfrac{b}{2ac}$ (un máximo).

Solución

\[\begin{align} y & =\frac{b}{a} x-c x^{2} \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{b}{a}-2 c x=0 \Rightarrow x=\frac{b}{2 a c} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-2 c \end{align}\]

Cuando $x=\frac{b}{2 a c}$

\[y=\frac{b}{a} \cdot \frac{b}{2 a c}-c \frac{b^{2}}{4 a^{2} c^{2}}=\frac{b^{2}}{4 a^{2} c}\] Este es un valor máximo ya que $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}<0$.

Ejercicio 12.3. Encuentra cuántos máximos y cuántos mínimos hay en la curva, cuya ecuación es \[y = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24};\] y cuántos en la que tiene la ecuación \[y = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}.\]

Respuesta

(a) Un máximo y dos mínimos.
(b) Un máximo. ($x = 0$; otros puntos irreales.)

Solución

\[\begin{align} & y=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24} \\ & \frac{d y}{d x}=-x+\frac{1}{6} x^{3}=x\left(\frac{x^{2}}{6}-1\right) \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text { o } \quad x= \pm \sqrt{6} \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+\frac{1}{2} x^{2} \end{align}\]

Cuando $x=0$, \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1<0\] Por lo tanto, $x=0$ hace que $y$ sea un valor máximo. Cuando $x=0$, $y=1$.

Cuando $x=\sqrt{6}$ o $x=-\sqrt{6}$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+3=2>0\] Por lo tanto, $x=\sqrt{6}\approx 2.449$ o $x=-\sqrt{6}\approx -2.449$ corresponde a un mínimo $y=-\dfrac{1}{2}$.

El gráfico de $y=1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ se muestra a continuación:

Ahora consideremos la segunda función \[y =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}.\] \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =-x+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{120}=\frac{1}{120} x\left(-120+20 x^{2}-x^{4}\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 & \Leftrightarrow x=0 \text { o } x^{4}-20 x^{2}+120=0 \end{align}\]

La expresión $x^{4}-20 x^{2}+120$ es cuadrática en términos de $t=x^{2}$

\[t^{2}-20 t+120=0\]

Ya que el discriminante de esta ecuación, $20^{2}-4 \times 120=-80$, es negativo, la ecuación anterior no tiene raíces.

Por lo tanto,

\[\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=0\]

El valor de $y$ para $x=0$ es 1. Como

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\]

es negativo cuando $x=0$, $y=1$ es un máximo.

El gráfico de $y=1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}$ se muestra abajo:

Ejercicio 12.4. Encuentra los máximos y mínimos de \[y=2x+1+\frac{5}{x^2}.\]

Respuesta

Mín.: $x \approx 1.71$, $y \approx 6.13$.

Solución

\[y=2 x+1+\frac{5}{x^{2}}\] Podemos reescribirlo como \[y=2 x+1+5 x^{-2}\] Luego \[\frac{d y}{d x}=2-10 x^{-3}=2-\frac{10}{x^{3}}\] La segunda derivada es: \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=30 x^{-4}=\frac{30}{x^{4}}\]

Para encontrar dónde $y$ es un máximo o un mínimo, establecemos $\dfrac{dy}{dx}$ igual a cero: \[\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{5}\]

Como $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0$, $x=\sqrt[3]{5}$ corresponde a un mínimo \[y=2 \sqrt[3]{5}+1+\frac{5}{5^ \frac{2}{3}} \approx 6.13.\]

Ejercicio 12.5. Encuentra los máximos y mínimos de \[y=\frac{3}{x^2+x+1}.\]

Respuesta

Máx.: $x = -.5$, $y = 4$.

Solución

\[y=\frac{3}{x^{2}+x+1}\]

Usando la regla del cociente

\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=-\frac{3(2 x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{1}{2} \end{align}\]

Para determinar si $y$ tiene un máximo o un mínimo cuando $x=-\frac{1}{2}$, podemos usar la prueba de la segunda derivada:

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2\left(x^{2}+x+1\right)^{2}-2(2 x+1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{4}}.\]

Cuando $x=-\frac{1}{2}$

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2 (+)-2\times 0 (\dots)}{(+)}=(-)\] Por lo tanto, la curva es cóncava hacia abajo y $x=-\frac{1}{2}$ corresponde a un máximo $y=4$.

Alternativamente, podemos usar la prueba de la primera derivada.

Cuando $x<\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{d y}{d x}>0$, la curva asciende

Cuando $x>\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{d y}{d x}<0$, la curva desciende.

Así $y=4$ es un máximo que ocurre cuando $x=-\frac{1}{2}$.

El gráfico de $y=\dfrac{3}{x^{2}+x+1}$ se muestra a continuación.

Ejercicio 12.6. Encuentra los máximos y mínimos de \[y=\frac{5x}{2+x^2}.\]

Respuesta

Máx.: $x \approx 1.414$, $y \approx 1.768$.
Mín.: $x \approx -1.414$, $y \approx 1.768$.

Solución

\[y=\frac{5 x}{2+x^{2}}\]

Usando la regla del cociente:

\[\frac{d y}{d x}=\frac{5\left(2+x^{2}\right)-5 x(2 x)}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}\]

\[\frac{d y}{d x}=\frac{10-5 x^{2}}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}\]

\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow 10-5 x^2=0 \\ & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{2} \end{align}\]

Usando la prueba de la segunda derivada: \[\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10 x\left(2+x^2\right)^2-2(2 x)\left(2+x^2\right)\left(10-5 x^2\right)}{\left(2+x^2\right)^4}\]

Cuando $x=\sqrt{2}$ \[\frac{d^2 y}{d r^2}=\frac{-10(+)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(-)\] Resulta de la prueba de la segunda derivada que $x=\sqrt{2}$ corresponde a un máximo $y=\dfrac{5\sqrt{2}}{2+2}\approx 1.768$.

Cuando $x=-\sqrt{2}$ \[\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10(-)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(+)\] Esto significa que $x=-\sqrt{2}$ corresponde a un mínimo $y=-\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\approx -1.768$.

El gráfico de $y=\dfrac{5 x}{2+x^{2}}$ se muestra a continuación.

Ejercicio 12.7. Encuentra los máximos y mínimos de \[y=\frac{3x}{x^2-3} + \frac{x}{2} + 5.\]

Respuesta

Máx.: $x \approx -3.565$, $y \approx 2.12$.
Mín.: $x\approx +3.565$, $y \approx 7.88$.

Solución

\[\begin{align} & y=\frac{3 x}{x^{2}-3}+\frac{x}{2}+5 \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{3\left(x^{2}-3\right)-6 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{-9-3 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{2\left(-9-3 x^{2}\right)+\left(x^{2}-3\right)^{2}}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{-18-6 x^{2}+x^{4}-6 x^{2}+9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{x^{4}-12 x^{2}-9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \end{align}\] \[\frac{d y}{d x} =0 \quad\Leftrightarrow \quad x^4-12x^2-9=0.\] La ecuación $x^{4}-12 x^{2}-9=0$ es cuadrática en términos de $x^{2}$. Así que \[x^{2}=\frac{12 \pm \sqrt{144+36}}{2}=\frac{12 \pm \sqrt{180}}{2}\] Lo negativo no es aceptable porque $x^{2} \geq 0$. Por lo tanto

\[\begin{gathered} x^{2}=\frac{12+\sqrt{180}}{2}=3(\sqrt{5}+2) \\ \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565\ \text{ o }\ x=-\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx-3.565 \end{gathered}\]

Usando la prueba de la segunda derivada \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2\left(3 x^{2}-24 x\right)\left(x^{2}-3\right)^{2}-8 x\left(x^{2}-3\right)\left(x^{4}-12 x^{2}-9\right)}{4\left(x^{2}-3\right)^{4}}\]

Cuando $x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565$

\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{3\left(3 \times 3.565^{2}-24 \times 3.565\right)(+)-8(+)(-)(0)}{(+)} \\ & =\frac{3(-)(+)-0}{(+)} \\ & =(-) \end{align}\] Por lo tanto, $x \approx 3.565$ corresponde a un máximo $y \approx 7.884$.

Cuando $x \approx-3.565$

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{3(+)(+)-0}{(+)}=(+)\]

Por lo tanto, $x \approx-3.565$ corresponde a un mínimo $y \approx 2.116$.

El gráfico de $y=\dfrac{3x}{x^2-3} + \dfrac{x}{2} + 5$ se muestra a continuación.

Ejercicio 12.8. Divide un número $N$ en dos partes de manera que tres veces el cuadrado de una parte más dos veces el cuadrado de la otra parte sea un mínimo.

Respuesta

$0.4N$, $0.6N$.

Solución

Sea

$x=$ parte uno

$z=$ parte dos

Sé que \[x+z=N\] y queremos minimizar \[3 x^{2}+2 z^{2}\]

Ya que $z=N-x$, queremos minimizar

\[3 x^{2}+2(N-x)^{2}\]

Sea \[y =3 x^{2}+2(N-x)^{2}\] luego \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =6 x+2 \times 2 \times(-1)(N-x) \\ & =10 x-4 N \end{align}\] \[\frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.4 N\]

¿Corresponde $x=0.4$ a un mínimo $y$ o un máximo $y$? Para responder a esto, podemos usar la prueba de la segunda derivada

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0\]

Resulta de la prueba de la segunda derivada que $x=0.4 N$ corresponde a un valor mínimo.

Cuando $x=0.4 N$, $z=0.6 N$ y

\[\begin{align} & y=3(0.4 N)^{2}+2(0.6 N)^{2} \\ & y=1.2 N^{2} \end{align}\]

Ejercicio 12.9. La eficiencia $u$ de un generador eléctrico en diferentes valores de salida $x$ se expresa mediante la ecuación general: \[u=\frac{x}{a+bx+cx^2};\] donde $a$ es una constante que depende principalmente de las pérdidas de energía en el hierro y $c$ es una constante que depende principalmente de la resistencia de las partes de cobre. Encuentra una expresión para ese valor de salida en la que la eficiencia será máxima.

Respuesta

$x = \sqrt{\dfrac{a}{c}}$.

Solución

\[u=\frac{x}{a+b x+c x^{2}}\]

Usando la regla del cociente:

\[\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{\left(a+b x+c x^{2}\right)-x(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)} \\ & =\frac{a-c x^{2}}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{2}} \end{align}\] \[\frac{d u}{d x} =0 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{\frac{c}{a}}\] \[\frac{d^{2} u}{d x^{2}} =\frac{-2 c x(a+b x+c x)^{2}+\left(a-c x^{2}\right)(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{4}}\]

Cuando $x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}$, \[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c \sqrt{\frac{c}{a}}(+)+0}{(+)}=(-)\] [Note que $a-c x^{2}$ es cero cuando $x=\sqrt{\frac{c}{a}}$ ]

Por lo tanto, $x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}$ hace que $u$ sea un máximo.

$x$ no puede ser negativo (¿Cuál es el significado de salida negativa de un generador eléctrico?), pero incluso si $x<0$ fuera aceptable, cuando $x=-\sqrt{\frac{c}{a}}$, tenemos

\[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c\left(-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)(+)+0}{(+)}=(+),\] Por lo tanto, $u$ es un mínimo cuando $x=-\sqrt{\dfrac{c}{a}}$.

Ejercicio 12.10. Supón que se sabe que el consumo de carbón de un cierto barco se puede representar mediante la siguiente fórmula $y = 0.3 + 0.001v^3$; donde $y$ es el número de toneladas de carbón quemadas por hora y $v$ es la velocidad expresada en millas náuticas por hora. El costo de los salarios, los intereses sobre el capital y la depreciación de ese barco equivalen, por hora, al costo de $1$ tonelada de carbón. ¿Qué velocidad hará que el costo total de un viaje de $1000$ millas náuticas sea mínimo? Y, si el carbón cuesta $\$132$ por tonelada, ¿a cuánto ascenderá ese costo mínimo del viaje?

Respuesta

Velocidad $\sqrt[3]{650}\approx 8.66$ millas náuticas por hora. Tiempo tomado $115.44$ horas.
Costo mínimo $\$29714.7$.

Solución

\[\frac{\text{no. de toneladas}}{\text{hr}}=y=0.3+0.001 v^3\] Como el costo de otros gastos es equivalente a $1\ \frac{\text{tonelada de carbón}}{\text{hr}}$, si el viaje toma $t$ horas, entonces el costo total del viaje es \[\text{costo }= a\left(y\cdot t+t\right)=a(y+1)t\] donde $a$ es el costo del carbón por tonelada.

Si la velocidad del barco es $v$, como el viaje es de $1000$ millas náuticas, el tiempo del viaje es \[t=\frac{1000}{v}\] Por lo tanto, podemos escribir que el costo del viaje es \[\begin{align} \text{costo } &=a\left(1.3+0.001v^3\right)\frac{1000}{v}\\ &=a\left(\frac{1300}{v}+v^2\right). \end{align}\]

Para minimizar el costo, diferenciamos el costo con respecto a la velocidad y establecemos el resultado igual a cero:

\[\frac{d \text{ costo}}{dv}=a\left(-\frac{1300}{v^2}+2v\right)=0\]

\[\Rightarrow 2v=\frac{1300}{v^2}\] \[\Rightarrow v=\sqrt[3]{650}\approx 8.662\]

8.662 millas náuticas por hora es la velocidad que hará que el costo total sea mínimo.

Si el barco se mueve a la velocidad $\sqrt[3]{650}$, el viaje toma $\dfrac{1000}{\sqrt[3]{650}}\approx 115.442$ horas.

Para encontrar el costo mínimo, tenemos que calcular $\text{costo} = a\left(\dfrac{1300}{v}+v^2\right)$ para $a=132$ y $v=\sqrt[3]{650}\approx 8.66$: \[\text{costo} \approx 132\left(\frac{1300}{8.662}+8.662^2 \right)\approx 29714.7.\]

Ejercicio 12.11. Encuentra los máximos y mínimos de\[y = \pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}.\]

Respuesta

Máx. y mín. para $x = 7.5$, $y \approx \pm 5.413$.

Solución

Primero considera \[y=\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\] Luego \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{d\left\{ \sqrt{x(10-x)} \right\}}{d x}\]

Para diferenciar $\sqrt{x(10-x)}$, sea $u=x(10-x)$ y \[\begin{align} \frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d x} & =\frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(10-2 x) \\ & =\frac{1}{\sqrt{x(10-x)}} \cdot(5-x) \end{align}\] Por lo tanto,

\[\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{5-x}{\sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{x(10-x)+x(5-x)}{6 \sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{15 x-2 x^{2}}{6 \sqrt{x(10-x)}} \end{align}\] \[\begin{align} \frac{d y}{d x}=0 \quad &\Leftrightarrow\quad x(15-2 x)=0 \\ &\Leftrightarrow \quad x=0 \text { o } x=7.5 \end{align}\]

Para distinguir entre un máximo o un mínimo, necesitamos el signo de la segunda derivada para $x=0$ y para $x=7.5$.

\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 x) \sqrt{x(10-x)}-\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x} \cdot\left(15 x-2 x^{2}\right)}{(\sqrt{x(10-x)})^{2}}\]

Note que, para encontrar el signo de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, no necesitamos escribir la expresión para $\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x}$ porque el resultado será multiplicado por $\left(15 x-2 x^{2}\right)$ que es cero para ambos $x=0$ y $x=7.5$.

Cuando $x=0$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{15 \cdot \sqrt{10}-0}{10}>0 .\] Por lo tanto, $x=0$ corresponde a un mínimo $y=0$.

Cuando $x=7.5$ \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 \times 7.5) \sqrt{7.5 \times 2.5}}{7.5 \times 2.5}<0\] Por lo tanto, $x=7.5$ corresponde a un máximo \[y=\frac{7.5}{6} \sqrt{7.5 \times(10-7.5)} \approx 5.413\]

Si somos descuidados, podríamos decir que $x=0$ corresponde a un mínimo $y=0$, pero notamos que $y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ es $>0$ si $x>0$ (no está definido para $x<0$ ). Sin embargo, esta curva tiene otra rama $y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ que es $<0$ cuando $x>0$. Por lo tanto, la curva no tiene ni un mínimo ni un máximo si $x=0$.

Si consideramos $y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$, su derivada también es cero cuando $x=0$ o $x=7.5$. La segunda derivada tiene el signo opuesto a la segunda derivada de la otra rama $y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$. Por lo tanto, $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0$ cuando $x=7.5$. Por lo tanto, $y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ tiene un valor mínimo de $y \approx-5.413$ cuando $x=7.5$.

La curva $y= \pm \dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}$ se muestra a continuación.

Ejercicio 12.12. Encuentra los máximos y mínimos de \[y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1.\]

Respuesta

Mín.: $x = \frac{1}{2}$, $y= 0.25$; máx.: $x = - \frac{1}{3}$, $y\approx 1.407$.

Solución

\[\begin{align} y & =4 x^{3}-x^{2}-2 x+1 \\ \frac{d y}{d x} & =12 x^{2}-2 x-2=2\left(6 x^{2}-x-1\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 &\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{12}=\frac{1 \pm 5}{12} \\ \frac{d y}{d x} =0 & \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1}{2} \quad \text { o } \quad x=-\frac{1}{3} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =2(12 x-1) \end{align}\]

Cuando $x=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0$, la curva es cóncava hacia arriba y $y$ tiene un valor mínimo de $4 \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)+1=\dfrac{1}{4}$ cuando $x=\dfrac{1}{2}$.

Cuando $x=-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=-10<0$, la curva es cóncava hacia abajo y $y$ tiene un valor máximo de $\dfrac{38}{27} \approx 1.407$ cuando $x=-\dfrac{1}{3}$.

El gráfico de $y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1$ se muestra a continuación.