曲线曲率

回到逐次微分的过程，可能会有人问：为什么有人想要微分两次？我们知道，当变量是空间和时间时，通过微分两次，我们得到运动物体的加速度，而在几何解释中，应用于曲线时， $\frac{d y}{d x}$ 表示曲线的斜率。但在这个情况下， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 又意味着什么呢？显然，它表示斜率变化的速率（每单位长度 $x$ ）——简而言之，它是对所考虑的曲线部分斜率变化方式的指示，即当 $x$ 增加时，曲线的斜率是增加还是减少，换句话说，曲线是向右上弯曲还是向右下弯曲。

假设斜率恒定，如下图所示。

这里， $\frac{d y}{d x}$ 是恒定值。

然而，假设一种情况，如下一张图所示，斜率本身向上增大，那么 $\frac{d (\frac{d y}{d x})}{d x}$ ，即 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，将是正的。

如果向右移动时斜率逐渐减小，如下一张图所示，那么即使曲线可能向上延伸，但由于变化使得斜率减小，其 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 将是负的。

现在是时候向你揭示另一个秘密了——如何判断通过“令 $\frac{d y}{d x}$ 等于零”得到的结果是最大值还是最小值。诀窍是这样的：在你微分之后（得到你令其等于零的表达式），然后你再次微分，并观察第二次微分的结果是正还是负。如果 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 是正的，那么你就知道你所得到的 $y$ 值是一个最小值；但如果 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 是负的，那么你所得到的 $y$ 值一定是一个最大值。这就是规则。

其原因应该是相当明显的。想象任何一条具有最小点的曲线，如下一张图所示，其中最小 $y$ 的点标记为 $M$ ，并且曲线是向上凹的。¹ 在 $M$ 的左侧，斜率是向下的，即负的，并且负的程度在减小。在 $M$ 的右侧，斜率变为向上的，并且越来越向上。显然，当曲线通过 $M$ 时，斜率的变化使得 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 是正的，因为它的作用，当 $x$ 向右增加时，是将向下的斜率转变为向上的斜率。

类似地，考虑任何一条具有最大点的曲线（如图 10.11 在此章中），或如下一张图所示，其中曲线是向下凹的，² 并且最大点标记为 $M$ 。在这种情况下，当曲线从左到右通过 $M$ 时，其向上的斜率转变为向下的或负的斜率，因此在这种情况下，“斜率的斜率” $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 是负的。

这被称为最大值和最小值的二阶导数检验。

总结如下：

如果 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ ，曲线是向上凹的（或凸的）。

如果 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ ，曲线是向下凹的（或凹的）。

以及

二阶导数检验
假设对于某个特定的 $x$ 值， $\frac{d y}{d x} = 0$

如果对于这个特定的 $x$ 值， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ ，则对于这个 $x$ 的 $y$ 值是一个最小值。

如果对于这个特定的 $x$ 值， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ ，则对于这个 $x$ 的 $y$ 值是一个最大值。

现在回到上一章的例题，并用这种方法验证关于任何特定情况下是最大值还是最小值的结论。下面你会找到几个已解答的例题。

例 12.1。求 $(a) y = 4 x^{2} - 9 x - 6; (b) y = 6 + 9 x - 4 x^{2};$ 的最大值或最小值，并确定每种情况下是最大值还是最小值。

解。 (a) 对于（或在） $x = 1 \frac{1}{8}$ 时 $y$ 的值是 $- 11.065$ 。

#xFF1B;因此它是一个最小值。}" display="block"> d 2 y d x 2 = 8 ;

练习

练习 12.1。求 $y = x^{3} + x^{2} - 10 x + 8.$ 的最大值和最小值。

答案

最大值： $x \approx - 2.19$ ， $y \approx 24.19$ ；最小值： $x \approx 1.52$ ， $y \approx - 1.38$ 。

解答

$\begin{matrix} y = x^{3} + x^{2} - 10 x + 8 \\ \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 10 \\ \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 120}}{6} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{31}}{6} \\ 因此 \frac{d y}{d x} = 0 如果 x = - \frac{1 + \sqrt{31}}{3} \approx - 2.189 或 x = \frac{\sqrt{31} - 1}{3} \approx 1.522 \end{matrix}$

为了区分最大值和最小值，我们求二阶导数：

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x + 2$

当 $x \approx - 2.19$ 时 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6 \times 2.19 + 2 < 0$ 因此，曲线在 $x \approx - 2.19$ 附近向下凹，且 $x \approx - 2.19$ 对应于最大值 $y \approx 24.19 .$

当 $x \approx 1.52$ 时因此，曲线在 $x \approx 1.52$ 附近向上凹，且 $x \approx 1.52$ 对应于最小值 $y \approx - 1.38$ 。

该曲线如下所示：

练习 12.2。给定 $y = \frac{b}{a} x - c x^{2}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 的表达式，并求使 $y$ 为最大值或最小值的 $x$ 值，并说明它是最大值还是最小值（假设 $c > 0$ ）。

答案

$\frac{d y}{d x} = \frac{b}{a} - 2 c x$ ； $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 2 c$ ； $x = \frac{b}{2 a c}$ （一个最大值）。

解答

当 $x = \frac{b}{2 a c}$ 时

$y = \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{2 a c} - c \frac{b^{2}}{4 a^{2} c^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2} c}$ 这是一个最大值，因为 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ 。

练习 12.3。求曲线（其方程为 $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24};$ ）中有多少个最大值和多少个最小值；以及曲线（其方程为 $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} .$ ）中有多少个。

答案

(a) 一个最大值和两个最小值。
(b) 一个最大值。（ $x = 0$ ；其他点不真实。）

解答

$或$

当 $x = 0$ 时， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 1 < 0$ 因此， $x = 0$ 使 $y$ 取得最大值。当 $x = 0$ 时， $y = 1$ 。

当 $x = \sqrt{6}$ 或 $x = - \sqrt{6}$ 时 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 1 + 3 = 2 > 0$ 因此， $x = \sqrt{6} \approx 2.449$ 或 $x = - \sqrt{6} \approx - 2.449$ 对应于最小值 $y = - \frac{1}{2}$ 。

$y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}$ 的图形如下所示：

现在我们来考虑第二个函数 $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} .$ $或$

表达式 $x^{4} - 20 x^{2} + 120$ 是关于 $t = x^{2}$ 的二次式

$t^{2} - 20 t + 120 = 0$

由于该方程的判别式 $20^{2} - 4 \times 120 = - 80$ 为负，上述方程无根。

因此，

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

当 $x = 0$ 时 $y$ 的值为 1。由于

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 1 + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{24}$

在 $x = 0$ 时为负，因此 $y = 1$ 是极大值。

$y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720}$ 的图像如下所示：

练习 12.4。求 $y = 2 x + 1 + \frac{5}{x^{2}}$ 的极大值和极小值。

答案

极小值： $x \approx 1.71$ ， $y \approx 6.13$ 。

解法

$y = 2 x + 1 + \frac{5}{x^{2}}$ 我们可以将其重写为 $y = 2 x + 1 + 5 x^{- 2}$ 然后 $\frac{d y}{d x} = 2 - 10 x^{- 3} = 2 - \frac{10}{x^{3}}$ 二阶导数为： $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 30 x^{- 4} = \frac{30}{x^{4}}$

为了找到 $y$ 的极大值或极小值，我们令 $\frac{d y}{d x}$ 等于零： $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5}$

由于 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ ， $x = \sqrt[3]{5}$ 对应一个极小值 $y = 2 \sqrt[3]{5} + 1 + \frac{5}{5^{\frac{2}{3}}} \approx 6.13 .$

练习 12.5。求 $y = \frac{3}{x^{2} + x + 1}$ 的极大值和极小值。

答案

极大值： $x = - .5$ ， $y = 4$ 。

解法

$y = \frac{3}{x^{2} + x + 1}$

使用商法则

为了确定当 $x = - \frac{1}{2}$ 时 $y$ 是极大值还是极小值，我们可以使用二阶导数检验：

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 3 \frac{2 {(x^{2} + x + 1)}^{2} - 2 (2 x + 1)^{2} (x^{2} + x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{4}} .$

当 $x = - \frac{1}{2}$ 时

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 3 \frac{2 (+) - 2 \times 0 (\dots)}{(+)} = (-)$ 因此，曲线向下凹，且 $x = - \frac{1}{2}$ 对应一个极大值 $y = 4$ 。

或者，我们可以使用一阶导数检验。

当 $x < \frac{1}{2}$ 时， $\frac{d y}{d x} > 0$ ，曲线上升

当 $x > \frac{1}{2}$ 时， $\frac{d y}{d x} < 0$ ，曲线下降。

因此， $y = 4$ 是当 $x = - \frac{1}{2}$ 时出现的极大值。

$y = \frac{3}{x^{2} + x + 1}$ 的图像如下所示。

练习 12.6。求 $y = \frac{5 x}{2 + x^{2}}$ 的极大值和极小值。

答案

极大值： $x \approx 1.414$ ， $y \approx 1.768$ 。
极小值： $x \approx - 1.414$ ， $y \approx 1.768$ 。

解法

$y = \frac{5 x}{2 + x^{2}}$

使用商法则：

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 + x^{2}) - 5 x (2 x)}{{(2 + x^{2})}^{2}}$

或

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 - 5 x^{2}}{{(2 + x^{2})}^{2}}$

使用二阶导数检验： $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 10 x {(2 + x^{2})}^{2} - 2 (2 x) (2 + x^{2}) (10 - 5 x^{2})}{{(2 + x^{2})}^{4}}$

当 $x = \sqrt{2}$ 时 $\frac{d^{2} y}{d r^{2}} = \frac{- 10 (+) (+) - 2 (+) (+) (0)}{(+)} = (-)$ 根据二阶导数检验， $x = \sqrt{2}$ 对应一个极大值 $y = \frac{5 \sqrt{2}}{2 + 2} \approx 1.768$ 。

当 $x = - \sqrt{2}$ 时 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 10 (-) (+) - 2 (+) (+) (0)}{(+)} = (+)$ 这意味着 $x = - \sqrt{2}$ 对应一个极小值 $y = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \approx - 1.768$ 。

$y = \frac{5 x}{2 + x^{2}}$ 的图像如下所示。

练习 12.7。求 $y = \frac{3 x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{2} + 5$ 的极大值和极小值。

答案

极大值： $x \approx - 3.565$ ， $y \approx 2.12$ 。
极小值： $x \approx + 3.565$ ， $y \approx 7.88$ 。

解法

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 12 x^{2} - 9 = 0.$ 方程 $x^{4} - 12 x^{2} - 9 = 0$ 是关于 $x^{2}$ 的二次方程。因此 $x^{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 36}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{180}}{2}$ 负值不可接受，因为 $x^{2} \geq 0$ 。因此

$\begin{matrix} x^{2} = \frac{12 + \sqrt{180}}{2} = 3 (\sqrt{5} + 2) \\ \frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{3 (\sqrt{5} + 2)} \approx 3.565 或 x = - \sqrt{3 (\sqrt{5} + 2)} \approx - 3.565 \end{matrix}$

使用二阶导数检验 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2 (3 x^{2} - 24 x) {(x^{2} - 3)}^{2} - 8 x (x^{2} - 3) (x^{4} - 12 x^{2} - 9)}{4 {(x^{2} - 3)}^{4}}$

当 $x = \sqrt{3 (\sqrt{5} + 2)} \approx 3.565$ 时

因此， $x \approx 3.565$ 对应一个极大值 $y \approx 7.884$ 。

当 $x \approx - 3.565$ 时

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3 (+) (+) - 0}{(+)} = (+)$

因此， $x \approx - 3.565$ 对应一个极小值 $y \approx 2.116$ 。

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{2} + 5$ 的图像如下所示。

练习 12.8。将数 $N$ 分成两部分，使得一部分的平方的三倍加上另一部分的平方的两倍之和为最小。

答案

$0.4 N$ ， $0.6 N$ 。

解法

设

$x =$ 第一部分

$z =$ 第二部分

我们知道 $x + z = N$ 并且我们要最小化 $3 x^{2} + 2 z^{2}$

由于 $z = N - x$ ，我们要最小化

$3 x^{2} + 2 (N - x)^{2}$

令 $y = 3 x^{2} + 2 (N - x)^{2}$ 则 $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = 0.4 N$

$x = 0.4$ 对应的是 $y$ 的极小值还是极大值？为了回答这个问题，我们可以使用二阶导数检验

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 10 > 0$

根据二阶导数检验， $x = 0.4 N$ 对应一个极小值。

当 $x = 0.4 N$ 时， $z = 0.6 N$ 且

练习 12.9。发电机在不同输出 $x$ 下的效率 $u$ 由一般方程表示： $u = \frac{x}{a + b x + c x^{2}};$ 其中 $a$ 是一个主要取决于铁损的常数， $c$ 是一个主要取决于铜部件电阻的常数。求使效率最大的输出值的表达式。

答案

$x = \sqrt{\frac{a}{c}}$ 。

解法

$u = \frac{x}{a + b x + c x^{2}}$

使用商法则：

$\frac{d u}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}$ $\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{- 2 c x (a + b x + c x)^{2} + (a - c x^{2}) (b + 2 c x)}{{(a + b x + c x^{2})}^{4}}$

当 $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ 时， $\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{- 2 c \sqrt{\frac{c}{a}} (+) + 0}{(+)} = (-)$ [注意当 $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ 时 $a - c x^{2}$ 为零]

因此， $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ 使 $u$ 成为极大值。

$x$ 不能为负（发电机负输出意味着什么？），但即使 $x < 0$ 是可接受的，当 $x = - \sqrt{\frac{c}{a}}$ 时，我们有

$\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{- 2 c (- \sqrt{\frac{c}{a}}) (+) + 0}{(+)} = (+),$ 因此当 $x = - \sqrt{\frac{c}{a}}$ 时 $u$ 是极小值。

练习 12.10。假设已知某轮船的煤炭消耗量可由公式 $y = 0.3 + 0.001 v^{3}$ 表示；其中 $y$ 是每小时燃烧的煤炭吨数， $v$ 是以海里/小时表示的速度。该船的工资、资本利息和折旧成本之和，每小时等于 $1$ 吨煤炭的成本。什么速度能使 $1000$ 海里航程的总成本最小？并且，如果煤炭每吨 $$ 132$ ，该航程的最小成本是多少？

答案

速度 $\sqrt[3]{650} \approx 8.66$ 海里/小时。所用时间 $115.44$ 小时。
最小成本 $$ 29714.7$ 。

解法

$\frac{吨数}{小时} = y = 0.3 + 0.001 v^{3}$ 由于其他费用的成本相当于 $1 \frac{吨煤}{小时}$ ，如果航程需要 $t$ 小时，则航程的总成本为 $成本 = a (y \cdot t + t) = a (y + 1) t$ 其中 $a$ 是每吨煤的成本。

如果轮船的速度是 $v$ ，由于航程是 $1000$ 海里，航程的时间为 $t = \frac{1000}{v}$ 因此，我们可以写出航程的成本为 $成本$

为了最小化成本，我们对成本关于速度求导，并令结果等于零：

$\frac{d 成本}{d v} = a (- \frac{1300}{v^{2}} + 2 v) = 0$

$\Rightarrow 2 v = \frac{1300}{v^{2}}$ $\Rightarrow v = \sqrt[3]{650} \approx 8.662$

8.662 海里/小时是使总成本最小的速度。

如果轮船以速度 $\sqrt[3]{650}$ 行驶，航程需要 $\frac{1000}{\sqrt[3]{650}} \approx 115.442$ 小时。

为了找到最小成本，我们需要计算当 $a = 132$ 且 $v = \sqrt[3]{650} \approx 8.66$ 时的 $成本 = a (\frac{1300}{v} + v^{2})$ ： $成本 \approx 132 (\frac{1300}{8.662} + {8.662}^{2}) \approx 29714.7 .$

练习 12.11。求 $y = \pm \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 的极大值和极小值。

答案

当 $x = 7.5$ 时的极大值和极小值， $y \approx \pm 5.413$ 。

解法

首先考虑 $y = \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 则 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6} \sqrt{x (10 - x)} + \frac{x}{6} \frac{d {\sqrt{x (10 - x)}}}{d x}$

为了对 $\sqrt{x (10 - x)}$ 求导，令 $u = x (10 - x)$ 且因此，

$或$

为了区分是极大值还是极小值，我们需要 $x = 0$ 和 $x = 7.5$ 处二阶导数的符号。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{6} \frac{(15 - 4 x) \sqrt{x (10 - x)} - \frac{d (\sqrt{x (10 - x)})}{d x} \cdot (15 x - 2 x^{2})}{(\sqrt{x (10 - x)})^{2}}$

注意，为了找到 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 的符号，我们不需要写出 $\frac{d (\sqrt{x (10 - x)})}{d x}$ 的表达式，因为结果将乘以 $(15 x - 2 x^{2})$ ，而它在 $x = 0$ 和 $x = 7.5$ 处均为零。

当 $x = 0$ 时 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{6} \frac{15 \cdot \sqrt{10} - 0}{10} > 0 .$ 因此， $x = 0$ 对应一个极小值 $y = 0$ 。

当 $x = 7.5$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{6} \frac{(15 - 4 \times 7.5) \sqrt{7.5 \times 2.5}}{7.5 \times 2.5} < 0$ 因此 $x = 7.5$ 对应一个最大值 $y = \frac{7.5}{6} \sqrt{7.5 \times (10 - 7.5)} \approx 5.413$

如果我们粗心大意，可能会说 $x = 0$ 对应一个最小值 $y = 0$ ，但我们注意到 $y = \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 在 $x > 0$ 时是 $> 0$ （它在 $x < 0$ 时未定义）。然而，该曲线有另一个分支 $y = - \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ ，当 $x > 0$ 时它是 $< 0$ 。因此，当 $x = 0$ 时，曲线既没有最小值也没有最大值。

如果我们考虑 $y = - \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ ，其导数在 $x = 0$ 或 $x = 7.5$ 时也为零。二阶导数与另一分支 $y = \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 的二阶导数符号相反。因此，当 $x = 7.5$ 时， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ 。所以 $y = - \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 在 $x = 7.5$ 处有最小值 $y \approx - 5.413$ 。

曲线 $y = \pm \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 如下所示。

练习 12.12。求 $y = 4 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ 的最大值和最小值。

答案

最小值： $x = \frac{1}{2}$ ， $y = 0.25$ ；最大值： $x = - \frac{1}{3}$ ， $y \approx 1.407$ 。

解答

$或$

当 $x = \frac{1}{2}$ 时， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 10 > 0$ ，曲线向上凹， $y$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处有最小值 $4 \times {(\frac{1}{2})}^{3} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4}$ 。

当 $x = - \frac{1}{3}$ 时， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 10 < 0$ ，曲线向下凹， $y$ 在 $x = - \frac{1}{3}$ 处有最大值 $\frac{38}{27} \approx 1.407$ 。

$y = 4 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ 的图形如下所示。