Curvatura de Curvas

Voltando ao processo de diferenciação sucessiva, pode-se perguntar: Por que alguém iria querer diferenciar duas vezes? Sabemos que quando as quantidades variáveis são espaço e tempo, ao diferenciar duas vezes obtemos a aceleração de um corpo em movimento, e que na interpretação geométrica, aplicada a curvas, $\frac{d y}{d x}$ significa a inclinação da curva. Mas o que pode $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ significar neste caso? Claramente significa a taxa (por unidade de comprimento $x$ ) na qual a inclinação está mudando — em resumo, é uma indicação da maneira pela qual a inclinação da porção da curva considerada varia, isto é, se a inclinação da curva aumenta ou diminui quando $x$ aumenta, ou, em outras palavras, se a curva se curva para cima ou para baixo em direção à direita.

Suponha uma inclinação constante, como na figura a seguir.

Aqui, $\frac{d y}{d x}$ tem valor constante.

Suponha, no entanto, um caso em que, como na próxima figura, a própria inclinação está se tornando maior para cima, então $\frac{d (\frac{d y}{d x})}{d x}$ , isto é, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , será positivo.

Se a inclinação está se tornando menor à medida que você vai para a direita, como na figura a seguir, então, mesmo que a curva possa estar subindo, como a mudança é tal que diminui sua inclinação, seu $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ será negativo.

Agora é hora de iniciá-lo em outro segredo — como saber se o resultado que você obtém ao “igualar $\frac{d y}{d x}$ a zero” é um máximo ou um mínimo. O truque é este: Depois de ter diferenciado (para obter a expressão que você iguala a zero), você diferencia uma segunda vez e observa se o resultado da segunda diferenciação é positivo ou negativo. Se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ resultar em positivo, então você sabe que o valor de $y$ que você obteve era um mínimo; mas se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ resultar em negativo, então o valor de $y$ que você obteve deve ser um máximo. Essa é a regra.

A razão disso deve ser bastante evidente. Pense em qualquer curva que tenha um ponto de mínimo nela, como na próxima figura, onde o ponto de mínimo $y$ está marcado como $M$ , e a curva é côncava para cima.¹ À esquerda de $M$ a inclinação é para baixo, isto é, negativa, e está se tornando menos negativa. À direita de $M$ a inclinação tornou-se para cima e está se tornando cada vez mais para cima. Claramente, a mudança de inclinação à medida que a curva passa por $M$ é tal que $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ é positivo, pois sua operação, à medida que $x$ aumenta para a direita, é converter uma inclinação para baixo em uma para cima.

Da mesma forma, considere qualquer curva que tenha um ponto de máximo nela (como a Fig. 10.11 neste capítulo), ou como na próxima figura, onde a curva é côncava para baixo,² e o ponto de máximo está marcado como $M$ . Neste caso, à medida que a curva passa por $M$ da esquerda para a direita, sua inclinação para cima é convertida em uma inclinação para baixo ou negativa, de modo que, neste caso, a “inclinação da inclinação” $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ é negativa.

Isso é chamado de teste da segunda derivada para máximos e mínimos.

Em resumo:

Se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ , a curva é côncava para cima (ou convexa).

Se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ , a curva é côncava para baixo (ou côncava).

O Teste da Segunda Derivada
Suponha $\frac{d y}{d x} = 0$ para algum valor particular de $x$

Se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ para este valor particular de $x$ , o valor de $y$ para este $x$ é um mínimo.

Se $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0$ para este valor particular de $x$ , o valor de $y$ para este $x$ é um máximo.

Volte agora aos exemplos do capítulo anterior e verifique desta forma as conclusões alcançadas sobre se em qualquer caso particular existe um máximo ou um mínimo. Você encontrará abaixo alguns exemplos resolvidos.

Exemplo 12.1. Encontre o máximo ou mínimo de $(a) y = 4 x^{2} - 9 x - 6; (b) y = 6 + 9 x - 4 x^{2};$ e verifique se é um máximo ou um mínimo em cada caso.

Solução. (a) \begin{align} \dfrac{dy}{dx}= 8x-9=0\quad \Rightarrow\quad x=1\frac{1}{8}. \end{align} O valor de $y$ para (ou em) $x = 1 \frac{1}{8}$ é $- 11.065$ . $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 8; é~ +; portanto, é um mínimo.$ (b)

$\frac{d y}{d x} = 9 - 8 x = 0 \Rightarrow x = 1 \frac{1}{8} .$ O valor de $y$ para $x = 1 \frac{1}{8}$ é $- 11.065$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 8; é~ -; portanto, é um máximo.$

Os gráficos de $y = 4 x^{2} - 9 x - 6$ e $y = 6 + 9 x - 4 x^{2}$ são mostrados abaixo.

Exemplo 12.2. Encontre os máximos e mínimos da função $y = x^{3} - 3 x + 16$ .

Solução. $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1.$ \

Agora vamos considerar a segunda função $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} .$ \begin{align} \frac{d y}{d x} & =-x+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{120}=\frac{1}{120} x\left(-120+20 x^{2}-x^{4}\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 & \Leftrightarrow x=0 \text { or } x^{4}-20 x^{2}+120=0 \end{align}

A expressão $x^{4} - 20 x^{2} + 120$ é quadrática em termos de $t = x^{2}$

$t^{2} - 20 t + 120 = 0$

Como o discriminante desta equação, $20^{2} - 4 \times 120 = - 80$ , é negativo, a equação acima não possui raízes.

Portanto,

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

O valor de $y$ para $x = 0$ é 1 . Como

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 1 + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{24}$

é negativo quando $x = 0$ , $y = 1$ é um máximo.

O gráfico de $y = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720}$ é mostrado abaixo:

Exercício 12.4. Encontre os máximos e mínimos de $y = 2 x + 1 + \frac{5}{x^{2}} .$

Resposta

Mín.: $x \approx 1.71$ , $y \approx 6.13$ .

Solução

$y = 2 x + 1 + \frac{5}{x^{2}}$ Podemos reescrevê-lo como $y = 2 x + 1 + 5 x^{- 2}$ Então $\frac{d y}{d x} = 2 - 10 x^{- 3} = 2 - \frac{10}{x^{3}}$ A segunda derivada é: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 30 x^{- 4} = \frac{30}{x^{4}}$

Para encontrar onde $y$ é um máximo ou mínimo, definimos $\frac{d y}{d x}$ como igual a zero: $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5}$

Como $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ , $x = \sqrt[3]{5}$ corresponde a um mínimo $y = 2 \sqrt[3]{5} + 1 + \frac{5}{5^{\frac{2}{3}}} \approx 6.13 .$

Exercício 12.5. Encontre os máximos e mínimos de $y = \frac{3}{x^{2} + x + 1} .$

Resposta

Máx: $x = - .5$ , $y = 4$ .

Solução

$y = \frac{3}{x^{2} + x + 1}$

Usando a Regra do Quociente

\begin{align} & \frac{d y}{d x}=-\frac{3(2 x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{1}{2} \end{align}

Para determinar se $y$ tem um máximo ou um mínimo quando $x = - \frac{1}{2}$ , podemos usar o Teste da Segunda Derivada:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 3 \frac{2 {(x^{2} + x + 1)}^{2} - 2 (2 x + 1)^{2} (x^{2} + x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{4}} .$

Quando $x = - \frac{1}{2}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 3 \frac{2 (+) - 2 \times 0 (\dots)}{(+)} = (-)$ Portanto, a curva é côncava para baixo e $x = - \frac{1}{2}$ corresponde a um máximo $y = 4$ .

Alternativamente, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.

Quando $x < \frac{1}{2}$ , $\frac{d y}{d x} > 0$ , a curva ascende

Quando $x > \frac{1}{2}$ , $\frac{d y}{d x} < 0$ , a curva descende.

Assim, $y = 4$ é um máximo que ocorre quando $x = - \frac{1}{2}$ .

O gráfico de $y = \frac{3}{x^{2} + x + 1}$ é mostrado abaixo.

Exercício 12.6. Encontre os máximos e mínimos de $y = \frac{5 x}{2 + x^{2}} .$

Resposta

Máx.: $x \approx 1.414$ , $y \approx 1.768$ .
Mín.: $x \approx - 1.414$ , $y \approx 1.768$ .

Solução

$y = \frac{5 x}{2 + x^{2}}$

Usando a Regra do Quociente:

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 + x^{2}) - 5 x (2 x)}{{(2 + x^{2})}^{2}}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 - 5 x^{2}}{{(2 + x^{2})}^{2}}$

\begin{align} & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow 10-5 x^2=0 \\ & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{2} \end{align}

Usando o Teste da Segunda Derivada: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 10 x {(2 + x^{2})}^{2} - 2 (2 x) (2 + x^{2}) (10 - 5 x^{2})}{{(2 + x^{2})}^{4}}$

Quando $x = \sqrt{2}$ $\frac{d^{2} y}{d r^{2}} = \frac{- 10 (+) (+) - 2 (+) (+) (0)}{(+)} = (-)$ Segue-se do Teste da Segunda Derivada que $x = \sqrt{2}$ corresponde a um máximo $y = \frac{5 \sqrt{2}}{2 + 2} \approx 1.768$ .

Quando $x = - \sqrt{2}$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 10 (-) (+) - 2 (+) (+) (0)}{(+)} = (+)$ Isso significa que $x = - \sqrt{2}$ corresponde a um mínimo $y = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \approx - 1.768$ .

O gráfico de $y = \frac{5 x}{2 + x^{2}}$ é mostrado abaixo.

Exercício 12.7. Encontre os máximos e mínimos de $y = \frac{3 x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{2} + 5.$

Resposta

Máx.: $x \approx - 3.565$ , $y \approx 2.12$ .
Mín.: $x \approx + 3.565$ , $y \approx 7.88$ .

Solução

\begin{align} & y=\frac{3 x}{x^{2}-3}+\frac{x}{2}+5 \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{3\left(x^{2}-3\right)-6 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{-9-3 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{2\left(-9-3 x^{2}\right)+\left(x^{2}-3\right)^{2}}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{-18-6 x^{2}+x^{4}-6 x^{2}+9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{x^{4}-12 x^{2}-9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \end{align} $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 12 x^{2} - 9 = 0.$ A equação $x^{4} - 12 x^{2} - 9 = 0$ é quadrática em termos de $x^{2}$ . Assim $x^{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 36}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{180}}{2}$ O valor negativo é inaceitável porque $x^{2} \geq 0$ . Portanto

$\begin{matrix} x^{2} = \frac{12 + \sqrt{180}}{2} = 3 (\sqrt{5} + 2) \\ \frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{3 (\sqrt{5} + 2)} \approx 3.565 ou x = - \sqrt{3 (\sqrt{5} + 2)} \approx - 3.565 \end{matrix}$

Usando o Teste da Segunda Derivada $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2 (3 x^{2} - 24 x) {(x^{2} - 3)}^{2} - 8 x (x^{2} - 3) (x^{4} - 12 x^{2} - 9)}{4 {(x^{2} - 3)}^{4}}$

Quando $x = \sqrt{3 (\sqrt{5} + 2)} \approx 3.565$

\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{3\left(3 \times 3.565^{2}-24 \times 3.565\right)(+)-8(+)(-)(0)}{(+)} \\ & =\frac{3(-)(+)-0}{(+)} \\ & =(-) \end{align} Portanto, $x \approx 3.565$ corresponde a um máximo $y \approx 7.884$ .

Quando $x \approx - 3.565$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3 (+) (+) - 0}{(+)} = (+)$

Portanto, $x \approx - 3.565$ corresponde a um mínimo $y \approx 2.116$ .

O gráfico de $y = \frac{3 x}{x^{2} - 3} + \frac{x}{2} + 5$ é mostrado abaixo.

Exercício 12.8. Divida um número $N$ em duas partes de tal forma que três vezes o quadrado de uma parte mais duas vezes o quadrado da outra parte seja um mínimo.

Resposta

$0.4 N$ , $0.6 N$ .

Solução

Seja

$x =$ parte um

$z =$ parte dois

Sabemos que $x + z = N$ e queremos minimizar $3 x^{2} + 2 z^{2}$

Como $z = N - x$ , queremos minimizar

$3 x^{2} + 2 (N - x)^{2}$

Seja $y = 3 x^{2} + 2 (N - x)^{2}$ então \begin{align} \frac{d y}{d x} & =6 x+2 \times 2 \times(-1)(N-x) \\ & =10 x-4 N \end{align} $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = 0.4 N$

Será que $x = 0.4$ corresponde a um mínimo $y$ ou a um máximo $y$ ? Para responder a isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 10 > 0$

Segue-se do Teste da Segunda Derivada que $x = 0.4 N$ corresponde a um valor mínimo.

Quando $x = 0.4 N$ , $z = 0.6 N$ e

\begin{align} & y=3(0.4 N)^{2}+2(0.6 N)^{2} \\ & y=1.2 N^{2} \end{align}

Exercício 12.9. A eficiência $u$ de um gerador elétrico em diferentes valores de saída $x$ é expressa pela equação geral: $u = \frac{x}{a + b x + c x^{2}};$ onde $a$ é uma constante que depende principalmente das perdas de energia no ferro e $c$ uma constante que depende principalmente da resistência das partes de cobre. Encontre uma expressão para o valor da saída no qual a eficiência será máxima.

Resposta

$x = \sqrt{\frac{a}{c}}$ .

Solução

$u=\frac{x}{a+b x+c x^{2}\}$

Usando a Regra do Quociente:

\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{\left(a+b x+c x^{2}\right)-x(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)} \\ & =\frac{a-c x^{2}}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{2}} \end{align} $\frac{d u}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}$ $\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{- 2 c x (a + b x + c x)^{2} + (a - c x^{2}) (b + 2 c x)}{{(a + b x + c x^{2})}^{4}}$

Quando $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ , $\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{- 2 c \sqrt{\frac{c}{a}} (+) + 0}{(+)} = (-)$ [Note que $a - c x^{2}$ é zero quando $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ ]

Portanto, $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ torna $u$ um máximo.

$x$ não pode ser negativo (Qual é o significado de uma saída negativa de um gerador elétrico?), mas mesmo que $x < 0$ fosse aceitável, quando $x = - \sqrt{\frac{c}{a}}$ , temos

$\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{- 2 c (- \sqrt{\frac{c}{a}}) (+) + 0}{(+)} = (+),$ Portanto $u$ é um mínimo quando $x = - \sqrt{\frac{c}{a}}$ .

Exercício 12.10. Suponha que se saiba que o consumo de carvão por um certo vapor pode ser representado pela fórmula $y = 0.3 + 0.001 v^{3}$ ; onde $y$ é o número de toneladas de carvão queimadas por hora e $v$ é a velocidade expressa em milhas náuticas por hora. O custo de salários, juros sobre o capital e depreciação desse navio são juntos iguais, por hora, ao custo de $1$ tonelada de carvão. Qual velocidade tornará o custo total de uma viagem de $1000$ milhas náuticas um mínimo? E, se o carvão custa $$ 132$ por tonelada, qual será o valor desse custo mínimo da viagem?

Resposta

Velocidade $\sqrt[3]{650} \approx 8.66$ milhas náuticas por hora. Tempo levado $115.44$ horas.
Custo mínimo $$ 29714.7$ .

Solução

$\frac{no. of tons}{hr} = y = 0.3 + 0.001 v^{3}$ Como o custo de outras despesas é equivalente a $1 \frac{ton of coal}{hr}$ , se a viagem leva $t$ horas, então o custo total da viagem é $cost = a (y \cdot t + t) = a (y + 1) t$ onde $a$ é o custo do carvão por tonelada.

Se a velocidade do vapor é $v$ , como a viagem é de $1000$ milhas náuticas, o tempo da viagem é $t = \frac{1000}{v}$ Portanto, podemos escrever que o custo da viagem é \begin{align} \text{cost } &=a\left(1.3+0.001v^3\right)\frac{1000}{v}\\ &=a\left(\frac{1300}{v}+v^2\right). \end{align}

Para minimizar o custo, diferenciamos o custo em relação à velocidade e definimos o resultado como igual a zero:

$\frac{d cost}{d v} = a (- \frac{1300}{v^{2}} + 2 v) = 0$

$\Rightarrow 2 v = \frac{1300}{v^{2}}$ $\Rightarrow v = \sqrt[3]{650} \approx 8.662$

8.662 milhas náuticas por hora é a velocidade que tornará o custo total um mínimo.

Se o vapor se move na velocidade $\sqrt[3]{650}$ , a viagem leva $\frac{1000}{\sqrt[3]{650}} \approx 115.442$ horas.

Para encontrar o custo mínimo, temos que calcular $cost = a (\frac{1300}{v} + v^{2})$ para $a = 132$ e $v = \sqrt[3]{650} \approx 8.66$ : $cost \approx 132 (\frac{1300}{8.662} + {8.662}^{2}) \approx 29714.7 .$

Exercício 12.11. Encontre os máximos e mínimos de $y = \pm \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)} .$

Resposta

Máx. e mín. para $x = 7.5$ , $y \approx \pm 5.413$ .

Solução

Primeiro considere $y = \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ Então $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6} \sqrt{x (10 - x)} + \frac{x}{6} \frac{d {\sqrt{x (10 - x)}}}{d x}$

Para diferenciar $\sqrt{x (10 - x)}$ , seja $u = x (10 - x)$ e \begin{align} \frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d x} & =\frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(10-2 x) \\ & =\frac{1}{\sqrt{x(10-x)}} \cdot(5-x) \end{align} Portanto,

\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{5-x}{\sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{x(10-x)+x(5-x)}{6 \sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{15 x-2 x^{2}}{6 \sqrt{x(10-x)}} \end{align} \begin{align} \frac{d y}{d x}=0 \quad &\Leftrightarrow\quad x(15-2 x)=0 \\ &\Leftrightarrow \quad x=0 \text { or } x=7.5 \end{align}

Para distinguir entre um máximo ou um mínimo, precisamos do sinal da segunda derivada para $x = 0$ e para $x = 7.5$ .

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{6} \frac{(15 - 4 x) \sqrt{x (10 - x)} - \frac{d (\sqrt{x (10 - x)})}{d x} \cdot (15 x - 2 x^{2})}{(\sqrt{x (10 - x)})^{2}}$

Note que, para encontrar o sinal de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , não precisamos escrever a expressão para $\frac{d (\sqrt{x (10 - x)})}{d x}$ porque o resultado será multiplicado por $(15 x - 2 x^{2})$ , que é zero tanto para $x = 0$ quanto para $x = 7.5$ .

Quando $x = 0$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{6} \frac{15 \cdot \sqrt{10} - 0}{10} > 0 .$ Portanto, $x = 0$ corresponde a um mínimo $y = 0$ .

Quando $x = 7.5$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{6} \frac{(15 - 4 \times 7.5) \sqrt{7.5 \times 2.5}}{7.5 \times 2.5} < 0$ Portanto, $x = 7.5$ corresponde a um máximo $y = \frac{7.5}{6} \sqrt{7.5 \times (10 - 7.5)} \approx 5.413$

Se formos descuidados, poderíamos dizer que $x = 0$ corresponde a um mínimo $y = 0$ , mas notamos que $y = \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ é $> 0$ se $x > 0$ (não está definida para $x < 0$ ). No entanto, esta curva tem outro ramo $y = - \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ que é $< 0$ quando $x > 0$ . Portanto, a curva não tem nem um mínimo nem um máximo se $x = 0$ .

Se considerarmos $y = - \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ , sua derivada também é zero quando $x = 0$ ou $x = 7.5$ . A segunda derivada tem o sinal oposto da segunda derivada do outro ramo $y = \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ . Portanto, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0$ quando $x = 7.5$ . Assim, $y = - \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ tem um valor mínimo de $y \approx - 5.413$ quando $x = 7.5$ .

A curva $y = \pm \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ é mostrada abaixo.

Exercício 12.12. Encontre os máximos e mínimos de $y = 4 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1.$

Resposta

Mín.: $x = \frac{1}{2}$ , $y = 0.25$ ; máx.: $x = - \frac{1}{3}$ , $y \approx 1.407$ .

Solução

\begin{align} y & =4 x^{3}-x^{2}-2 x+1 \\ \frac{d y}{d x} & =12 x^{2}-2 x-2=2\left(6 x^{2}-x-1\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 &\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{12}=\frac{1 \pm 5}{12} \\ \frac{d y}{d x} =0 & \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1}{2} \quad \text { or } \quad x=-\frac{1}{3} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =2(12 x-1) \end{align}

Quando $x = \frac{1}{2}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 10 > 0$ , a curva é côncava para cima e $y$ tem um valor mínimo de $4 \times {(\frac{1}{2})}^{3} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4}$ quando $x = \frac{1}{2}$ .

Quando $x = - \frac{1}{3}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 10 < 0$ , a curva é côncava para baixo e $y$ tem um valor máximo de $\frac{38}{27} \approx 1.407$ quando $x = - \frac{1}{3}$ .

O gráfico de $y = 4 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ é mostrado abaixo.

Curvatura de Curvas

Links Rápidos

Mídias Sociais