Voltando ao processo de diferenciação sucessiva, pode-se perguntar: Por que alguém iria querer diferenciar duas vezes? Sabemos que quando as quantidades variáveis são espaço e tempo, ao diferenciar duas vezes obtemos a aceleração de um corpo em movimento, e que na interpretação geométrica, aplicada a curvas, \dfrac{dy}{dx} significa a inclinação da curva. Mas o que pode \dfrac{d^2 y}{dx^2} significar neste caso? Claramente significa a taxa (por unidade de comprimento x) na qual a inclinação está mudando — em resumo, é uma indicação da maneira pela qual a inclinação da porção da curva considerada varia, isto é, se a inclinação da curva aumenta ou diminui quando x aumenta, ou, em outras palavras, se a curva se curva para cima ou para baixo em direção à direita.
Suponha uma inclinação constante, como na figura a seguir.
Aqui, \dfrac{dy}{dx} tem valor constante.
Suponha, no entanto, um caso em que, como na próxima figura, a própria inclinação está se tornando maior para cima, então \dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx}, isto é, \dfrac{d^2y}{dx^2}, será positivo.
Se a inclinação está se tornando menor à medida que você vai para a direita, como na figura a seguir, então, mesmo que a curva possa estar subindo, como a mudança é tal que diminui sua inclinação, seu \dfrac{d^2y}{dx^2} será negativo.
Agora é hora de iniciá-lo em outro segredo — como saber se o resultado que você obtém ao “igualar \dfrac{dy}{dx} a zero” é um máximo ou um mínimo. O truque é este: Depois de ter diferenciado (para obter a expressão que você iguala a zero), você diferencia uma segunda vez e observa se o resultado da segunda diferenciação é positivo ou negativo. Se \dfrac{d^2y}{dx^2} resultar em positivo, então você sabe que o valor de y que você obteve era um mínimo; mas se \dfrac{d^2y}{dx^2} resultar em negativo, então o valor de y que você obteve deve ser um máximo. Essa é a regra.
A razão disso deve ser bastante evidente. Pense em qualquer curva que tenha um ponto de mínimo nela, como na próxima figura, onde o ponto de mínimo y está marcado como M, e a curva é côncava para cima.1 À esquerda de M a inclinação é para baixo, isto é, negativa, e está se tornando menos negativa. À direita de M a inclinação tornou-se para cima e está se tornando cada vez mais para cima. Claramente, a mudança de inclinação à medida que a curva passa por M é tal que \dfrac{d^2y}{dx^2} é positivo, pois sua operação, à medida que x aumenta para a direita, é converter uma inclinação para baixo em uma para cima.
Da mesma forma, considere qualquer curva que tenha um ponto de máximo nela (como a Fig. 10.11 neste capítulo), ou como na próxima figura, onde a curva é côncava para baixo,2 e o ponto de máximo está marcado como M. Neste caso, à medida que a curva passa por M da esquerda para a direita, sua inclinação para cima é convertida em uma inclinação para baixo ou negativa, de modo que, neste caso, a “inclinação da inclinação” \dfrac{d^2y}{dx^2} é negativa.
Isso é chamado de teste da segunda derivada para máximos e mínimos.
Em resumo:
Se \dfrac{d^2y}{dx^2}>0, a curva é côncava para cima (ou convexa).
Se \dfrac{d^2y}{dx^2}<0, a curva é côncava para baixo (ou côncava).
e
O Teste da Segunda Derivada
Suponha \dfrac{dy}{dx}=0 para algum valor particular de x
Se \dfrac{d^2y}{dx^2}>0 para este valor particular de x, o valor de y para este x é um mínimo.
Se \dfrac{d^2y}{dx^2}<0 para este valor particular de x, o valor de y para este x é um máximo.
Volte agora aos exemplos do capítulo anterior e verifique desta forma as conclusões alcançadas sobre se em qualquer caso particular existe um máximo ou um mínimo. Você encontrará abaixo alguns exemplos resolvidos.
Exemplo 12.1. Encontre o máximo ou mínimo de \text{(a)}\quad y = 4x^2-9x-6; \qquad \text{(b)}\quad y = 6 + 9x-4x^2; e verifique se é um máximo ou um mínimo em cada caso.
Solução. (a) \begin{align} \dfrac{dy}{dx}= 8x-9=0\quad \Rightarrow\quad x=1\frac{1}{8}. \end{align} O valor de y para (ou em) x=1\frac{1}{8} é -11.065. \dfrac{d^2y}{dx^2} = 8;\quad \text{é~$+$; portanto, é um mínimo.} (b)
\dfrac{dy}{dx}= 9-8x=0\quad \Rightarrow\quad x = 1\frac{1}{8}. O valor de y para x=1\frac{1}{8} é -11.065 \dfrac{d^2y}{dx^2}= -8;\quad \text{é~$-$; portanto, é um máximo.}
Os gráficos de y=4x^2-9x-6 e y = 6 + 9x-4x^2 são mostrados abaixo.
Exemplo 12.2. Encontre os máximos e mínimos da função y = x^3-3x+16.
Solução. \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 = 0\Rightarrow x^2 = 1\Rightarrow x = \pm1. \
Agora vamos considerar a segunda função y =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}. \begin{align} \frac{d y}{d x} & =-x+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{120}=\frac{1}{120} x\left(-120+20 x^{2}-x^{4}\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 & \Leftrightarrow x=0 \text { or } x^{4}-20 x^{2}+120=0 \end{align}
A expressão x^{4}-20 x^{2}+120 é quadrática em termos de t=x^{2}
t^{2}-20 t+120=0
Como o discriminante desta equação, 20^{2}-4 \times 120=-80, é negativo, a equação acima não possui raízes.
Portanto,
\frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=0
O valor de y para x=0 é 1 . Como
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}
é negativo quando x=0, y=1 é um máximo.
O gráfico de y=1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} é mostrado abaixo:
Exercício 12.4. Encontre os máximos e mínimos de y=2x+1+\frac{5}{x^2}.
Resposta
Mín.: x \approx 1.71, y \approx 6.13.
Solução
y=2 x+1+\frac{5}{x^{2}} Podemos reescrevê-lo como y=2 x+1+5 x^{-2} Então \frac{d y}{d x}=2-10 x^{-3}=2-\frac{10}{x^{3}} A segunda derivada é: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=30 x^{-4}=\frac{30}{x^{4}}
Para encontrar onde y é um máximo ou mínimo, definimos \dfrac{dy}{dx} como igual a zero: \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{5}
Como \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0, x=\sqrt[3]{5} corresponde a um mínimo y=2 \sqrt[3]{5}+1+\frac{5}{5^ \frac{2}{3}} \approx 6.13.
Exercício 12.5. Encontre os máximos e mínimos de y=\frac{3}{x^2+x+1}.
Resposta
Máx: x = -.5, y = 4.
Solução
y=\frac{3}{x^{2}+x+1}
Usando a Regra do Quociente
\begin{align} & \frac{d y}{d x}=-\frac{3(2 x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \\ & \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{1}{2} \end{align}
Para determinar se y tem um máximo ou um mínimo quando x=-\frac{1}{2}, podemos usar o Teste da Segunda Derivada:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2\left(x^{2}+x+1\right)^{2}-2(2 x+1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{4}}.
Quando x=-\frac{1}{2}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-3 \frac{2 (+)-2\times 0 (\dots)}{(+)}=(-) Portanto, a curva é côncava para baixo e x=-\frac{1}{2} corresponde a um máximo y=4.
Alternativamente, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.
Quando x<\dfrac{1}{2}, \dfrac{d y}{d x}>0, a curva ascende
Quando x>\dfrac{1}{2}, \dfrac{d y}{d x}<0, a curva descende.
Assim, y=4 é um máximo que ocorre quando x=-\frac{1}{2}.
O gráfico de y=\dfrac{3}{x^{2}+x+1} é mostrado abaixo.
Exercício 12.6. Encontre os máximos e mínimos de y=\frac{5x}{2+x^2}.
Resposta
Máx.: x \approx 1.414, y \approx 1.768.
Mín.: x \approx -1.414, y \approx 1.768.
Solução
y=\frac{5 x}{2+x^{2}}
Usando a Regra do Quociente:
\frac{d y}{d x}=\frac{5\left(2+x^{2}\right)-5 x(2 x)}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}
ou
\frac{d y}{d x}=\frac{10-5 x^{2}}{\left(2+x^{2}\right)^{2}}
\begin{align} & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow 10-5 x^2=0 \\ & \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{2} \end{align}
Usando o Teste da Segunda Derivada: \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10 x\left(2+x^2\right)^2-2(2 x)\left(2+x^2\right)\left(10-5 x^2\right)}{\left(2+x^2\right)^4}
Quando x=\sqrt{2} \frac{d^2 y}{d r^2}=\frac{-10(+)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(-) Segue-se do Teste da Segunda Derivada que x=\sqrt{2} corresponde a um máximo y=\dfrac{5\sqrt{2}}{2+2}\approx 1.768.
Quando x=-\sqrt{2} \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{-10(-)(+)-2(+)(+)(0)}{(+)}=(+) Isso significa que x=-\sqrt{2} corresponde a um mínimo y=-\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\approx -1.768.
O gráfico de y=\dfrac{5 x}{2+x^{2}} é mostrado abaixo.
Exercício 12.7. Encontre os máximos e mínimos de y=\frac{3x}{x^2-3} + \frac{x}{2} + 5.
Resposta
Máx.: x \approx -3.565, y \approx 2.12.
Mín.: x\approx +3.565, y \approx 7.88.
Solução
\begin{align} & y=\frac{3 x}{x^{2}-3}+\frac{x}{2}+5 \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{3\left(x^{2}-3\right)-6 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{-9-3 x^{2}}{\left(x^{2}-3\right)^{2}}+\frac{1}{2} \\ & =\frac{2\left(-9-3 x^{2}\right)+\left(x^{2}-3\right)^{2}}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{-18-6 x^{2}+x^{4}-6 x^{2}+9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \\ & =\frac{x^{4}-12 x^{2}-9}{2\left(x^{2}-3\right)^{2}} \end{align} \frac{d y}{d x} =0 \quad\Leftrightarrow \quad x^4-12x^2-9=0. A equação x^{4}-12 x^{2}-9=0 é quadrática em termos de x^{2}. Assim x^{2}=\frac{12 \pm \sqrt{144+36}}{2}=\frac{12 \pm \sqrt{180}}{2} O valor negativo é inaceitável porque x^{2} \geq 0. Portanto
\begin{gathered} x^{2}=\frac{12+\sqrt{180}}{2}=3(\sqrt{5}+2) \\ \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565\ \text{ ou }\ x=-\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx-3.565 \end{gathered}
Usando o Teste da Segunda Derivada \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2\left(3 x^{2}-24 x\right)\left(x^{2}-3\right)^{2}-8 x\left(x^{2}-3\right)\left(x^{4}-12 x^{2}-9\right)}{4\left(x^{2}-3\right)^{4}}
Quando x=\sqrt{3(\sqrt{5}+2)} \approx 3.565
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{3\left(3 \times 3.565^{2}-24 \times 3.565\right)(+)-8(+)(-)(0)}{(+)} \\ & =\frac{3(-)(+)-0}{(+)} \\ & =(-) \end{align} Portanto, x \approx 3.565 corresponde a um máximo y \approx 7.884.
Quando x \approx-3.565
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{3(+)(+)-0}{(+)}=(+)
Portanto, x \approx-3.565 corresponde a um mínimo y \approx 2.116.
O gráfico de y=\dfrac{3x}{x^2-3} + \dfrac{x}{2} + 5 é mostrado abaixo.
Exercício 12.8. Divida um número N em duas partes de tal forma que três vezes o quadrado de uma parte mais duas vezes o quadrado da outra parte seja um mínimo.
Resposta
0.4N, 0.6N.
Solução
Seja
x= parte um
z= parte dois
Sabemos que x+z=N e queremos minimizar 3 x^{2}+2 z^{2}
Como z=N-x, queremos minimizar
3 x^{2}+2(N-x)^{2}
Seja y =3 x^{2}+2(N-x)^{2} então \begin{align} \frac{d y}{d x} & =6 x+2 \times 2 \times(-1)(N-x) \\ & =10 x-4 N \end{align} \frac{d y}{d x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.4 N
Será que x=0.4 corresponde a um mínimo y ou a um máximo y? Para responder a isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0
Segue-se do Teste da Segunda Derivada que x=0.4 N corresponde a um valor mínimo.
Quando x=0.4 N, z=0.6 N e
\begin{align} & y=3(0.4 N)^{2}+2(0.6 N)^{2} \\ & y=1.2 N^{2} \end{align}
Exercício 12.9. A eficiência u de um gerador elétrico em diferentes valores de saída x é expressa pela equação geral: u=\frac{x}{a+bx+cx^2}; onde a é uma constante que depende principalmente das perdas de energia no ferro e c uma constante que depende principalmente da resistência das partes de cobre. Encontre uma expressão para o valor da saída no qual a eficiência será máxima.
Resposta
x = \sqrt{\dfrac{a}{c}}.
Solução
u=\frac{x}{a+b x+c x^{2}\}
Usando a Regra do Quociente:
\begin{align} \frac{d u}{d x} & =\frac{\left(a+b x+c x^{2}\right)-x(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)} \\ & =\frac{a-c x^{2}}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{2}} \end{align} \frac{d u}{d x} =0 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{\frac{c}{a}} \frac{d^{2} u}{d x^{2}} =\frac{-2 c x(a+b x+c x)^{2}+\left(a-c x^{2}\right)(b+2 c x)}{\left(a+b x+c x^{2}\right)^{4}}
Quando x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}, \frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c \sqrt{\frac{c}{a}}(+)+0}{(+)}=(-) [Note que a-c x^{2} é zero quando x=\sqrt{\frac{c}{a}} ]
Portanto, x=\sqrt{\dfrac{c}{a}} torna u um máximo.
x não pode ser negativo (Qual é o significado de uma saída negativa de um gerador elétrico?), mas mesmo que x<0 fosse aceitável, quando x=-\sqrt{\frac{c}{a}}, temos
\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{-2 c\left(-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)(+)+0}{(+)}=(+), Portanto u é um mínimo quando x=-\sqrt{\dfrac{c}{a}}.
Exercício 12.10. Suponha que se saiba que o consumo de carvão por um certo vapor pode ser representado pela fórmula y = 0.3 + 0.001v^3; onde y é o número de toneladas de carvão queimadas por hora e v é a velocidade expressa em milhas náuticas por hora. O custo de salários, juros sobre o capital e depreciação desse navio são juntos iguais, por hora, ao custo de 1 tonelada de carvão. Qual velocidade tornará o custo total de uma viagem de 1000 milhas náuticas um mínimo? E, se o carvão custa \$132 por tonelada, qual será o valor desse custo mínimo da viagem?
Resposta
Velocidade \sqrt[3]{650}\approx 8.66 milhas náuticas por hora. Tempo levado 115.44 horas.
Custo mínimo \$29714.7.
Solução
\frac{\text{no. of tons}}{\text{hr}}=y=0.3+0.001 v^3 Como o custo de outras despesas é equivalente a 1\ \frac{\text{ton of coal}}{\text{hr}}, se a viagem leva t horas, então o custo total da viagem é \text{cost }= a\left(y\cdot t+t\right)=a(y+1)t onde a é o custo do carvão por tonelada.
Se a velocidade do vapor é v, como a viagem é de 1000 milhas náuticas, o tempo da viagem é t=\frac{1000}{v} Portanto, podemos escrever que o custo da viagem é \begin{align} \text{cost } &=a\left(1.3+0.001v^3\right)\frac{1000}{v}\\ &=a\left(\frac{1300}{v}+v^2\right). \end{align}
Para minimizar o custo, diferenciamos o custo em relação à velocidade e definimos o resultado como igual a zero:
\frac{d \text{ cost}}{dv}=a\left(-\frac{1300}{v^2}+2v\right)=0
\Rightarrow 2v=\frac{1300}{v^2} \Rightarrow v=\sqrt[3]{650}\approx 8.662
8.662 milhas náuticas por hora é a velocidade que tornará o custo total um mínimo.
Se o vapor se move na velocidade \sqrt[3]{650}, a viagem leva \dfrac{1000}{\sqrt[3]{650}}\approx 115.442 horas.
Para encontrar o custo mínimo, temos que calcular \text{cost} = a\left(\dfrac{1300}{v}+v^2\right) para a=132 e v=\sqrt[3]{650}\approx 8.66: \text{cost} \approx 132\left(\frac{1300}{8.662}+8.662^2 \right)\approx 29714.7.
Exercício 12.11. Encontre os máximos e mínimos dey = \pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}.
Resposta
Máx. e mín. para x = 7.5, y \approx \pm 5.413.
Solução
Primeiro considere y=\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)} Então \frac{d y}{d x}=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{d\left\{ \sqrt{x(10-x)} \right\}}{d x}
Para diferenciar \sqrt{x(10-x)}, seja u=x(10-x) e \begin{align} \frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d x} & =\frac{d \left(\sqrt{u}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(10-2 x) \\ & =\frac{1}{\sqrt{x(10-x)}} \cdot(5-x) \end{align} Portanto,
\begin{align} \frac{d y}{d x}&=\frac{1}{6} \sqrt{x(10-x)}+\frac{x}{6} \frac{5-x}{\sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{x(10-x)+x(5-x)}{6 \sqrt{x(10-x)}} \\ &=\frac{15 x-2 x^{2}}{6 \sqrt{x(10-x)}} \end{align} \begin{align} \frac{d y}{d x}=0 \quad &\Leftrightarrow\quad x(15-2 x)=0 \\ &\Leftrightarrow \quad x=0 \text { or } x=7.5 \end{align}
Para distinguir entre um máximo ou um mínimo, precisamos do sinal da segunda derivada para x=0 e para x=7.5.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 x) \sqrt{x(10-x)}-\frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x} \cdot\left(15 x-2 x^{2}\right)}{(\sqrt{x(10-x)})^{2}}
Note que, para encontrar o sinal de \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, não precisamos escrever a expressão para \frac{d(\sqrt{x(10-x)})}{d x} porque o resultado será multiplicado por \left(15 x-2 x^{2}\right), que é zero tanto para x=0 quanto para x=7.5.
Quando x=0 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{15 \cdot \sqrt{10}-0}{10}>0 . Portanto, x=0 corresponde a um mínimo y=0.
Quando x=7.5 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{6} \frac{(15-4 \times 7.5) \sqrt{7.5 \times 2.5}}{7.5 \times 2.5}<0 Portanto, x=7.5 corresponde a um máximo y=\frac{7.5}{6} \sqrt{7.5 \times(10-7.5)} \approx 5.413
Se formos descuidados, poderíamos dizer que x=0 corresponde a um mínimo y=0, mas notamos que y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)} é >0 se x>0 (não está definida para x<0 ). No entanto, esta curva tem outro ramo y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)} que é <0 quando x>0. Portanto, a curva não tem nem um mínimo nem um máximo se x=0.
Se considerarmos y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}, sua derivada também é zero quando x=0 ou x=7.5. A segunda derivada tem o sinal oposto da segunda derivada do outro ramo y=\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}. Portanto, \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}>0 quando x=7.5. Assim, y=-\dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)} tem um valor mínimo de y \approx-5.413 quando x=7.5.
A curva y= \pm \dfrac{x}{6} \sqrt{x(10-x)} é mostrada abaixo.
Exercício 12.12. Encontre os máximos e mínimos de y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1.
Resposta
Mín.: x = \frac{1}{2}, y= 0.25; máx.: x = - \frac{1}{3}, y\approx 1.407.
Solução
\begin{align} y & =4 x^{3}-x^{2}-2 x+1 \\ \frac{d y}{d x} & =12 x^{2}-2 x-2=2\left(6 x^{2}-x-1\right) \\ \frac{d y}{d x}=0 &\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{12}=\frac{1 \pm 5}{12} \\ \frac{d y}{d x} =0 & \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{1}{2} \quad \text { or } \quad x=-\frac{1}{3} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =2(12 x-1) \end{align}
Quando x=\dfrac{1}{2}, \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=10>0, a curva é côncava para cima e y tem um valor mínimo de 4 \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)+1=\dfrac{1}{4} quando x=\dfrac{1}{2}.
Quando x=-\dfrac{1}{3}, \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=-10<0, a curva é côncava para baixo e y tem um valor máximo de \dfrac{38}{27} \approx 1.407 quando x=-\dfrac{1}{3}.
O gráfico de y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1 é mostrado abaixo.
