La règle des puissances

Exemple 4.1. Dériver $y=x^2$.

Solution. Commençons par l'expression simple $y=x^2$. Rappelez-vous que la notion fondamentale du calcul est l'idée de croissance. Les mathématiciens l'appellent variation. Or, comme $y$ et $x^2$ sont égaux l'un à l'autre, il est clair que si $x$ croît, $x^2$ croîtra aussi. Et si $x^2$ croît, alors $y$ croîtra également. Ce que nous devons découvrir, c'est la proportion entre la croissance de $y$ et la croissance de $x$. En d'autres termes, notre tâche est de trouver le rapport entre $dy$ et $dx$, ou, en bref, de trouver la valeur de ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$.

Laissons alors $x$ croître un tout petit peu et devenir $x+dx$ ; de même, $y$ croîtra un peu et deviendra $y+dy$. Alors, clairement, il sera toujours vrai que le $y$ agrandi sera égal au carré du $x$ agrandi. En écrivant cela, nous avons : $$y+dy=(x+dx{)}^2.$$ En élevant au carré, nous obtenons : $$y+dy=x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2.$$

Que signifie $(dx{)}^2$ ? Rappelez-vous que $dx$ signifiait un bout — un petit bout — de $x$. Alors $(dx{)}^2$ signifiera un petit bout d'un petit bout de $x$ ; c'est-à-dire, comme expliqué précédemment, que c'est une petite quantité du second ordre de petitesse. Elle peut donc être ignorée comme étant tout à fait négligeable en comparaison avec les autres termes. En la laissant de côté, nous avons alors : $$y+dy=x^2+2x\cdot dx.$$ Or $y=x^2$ ; soustrayons donc ceci de l'équation et il nous reste $$dy=2x\cdot dx.$$ En divisant de part et d'autre par $dx$, nous trouvons $$\frac{dy}{dx}=2x.$$

Or ceci¹ est ce que nous cherchions à trouver. Le rapport entre la croissance de $y$ et la croissance de $x$ se trouve être, dans le cas présent, $2x$.

Supposons que $x=100$ et donc $y=10000$. Faisons alors croître $x$ jusqu'à ce qu'il devienne $101$ (c'est-à-dire, posons $dx=1$). Alors le $y$ agrandi sera $101\times 101=10201$. Mais si nous convenons que nous pouvons ignorer les petites quantités du second ordre, le nombre $1$ peut être rejeté par rapport à $10000$ ; nous pouvons donc arrondir le $y$ agrandi à $10200$. $y$ est passé de $10000$ à $10200$ ; le morceau ajouté est $dy$, qui vaut donc $200$.

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{200}{1}}=200$. D'après le calcul algébrique du paragraphe précédent, nous trouvons ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=2x$. Et c'est bien le cas ; car $x=100$ et $2x=200$.

Mais, direz-vous, nous avons négligé une unité entière.

Eh bien, réessayez, en donnant à $dx$ une valeur encore plus petite.

Essayons $dx=\frac{1}{10}$. Alors $x+dx=100,1$, et $$(x+dx{)}^2=100,1\times 100,1=10020,01.$$

Or, le dernier chiffre $1$ n'est qu'un millionième de $10000$, et est complètement négligeable ; nous pouvons donc prendre $10020$ sans la petite décimale à la fin. Et cela donne $dy=20$ ; et ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{20}{0,1}}=200$, ce qui est toujours identique à $2x$.

Exemple 4.2. Essayez de dériver $y=x^3$ de la même manière.

Solution. Laissons $y$ croître jusqu'à $y+dy$, tandis que $x$ croît jusqu'à $x+dx$.

Nous avons alors $$y+dy=(x+dx{)}^3.$$

En élevant au cube, nous obtenons $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx+3x(dx{)}^2+(dx{)}^3.$$

Nous savons maintenant que nous pouvons négliger les petites quantités du deuxième et du troisième ordre ; car, lorsque $dy$ et $dx$ deviennent tous deux indéfiniment petits, $(dx{)}^2$ et $(dx{)}^3$ deviendront indéfiniment plus petits par comparaison. Ainsi, en les considérant comme négligeables, il nous reste : $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx.$$

Or $y=x^3$ ; et, en soustrayant ceci, nous avons : \begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align} et \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}

Exemple 4.3. Essayez de dériver $y=x^4$.

Solution. En commençant comme précédemment et en laissant $y$ et $x$ croître un peu, nous avons : \begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align} En calculant l'élévation à la puissance quatre, nous obtenons $$y+dy=x^4+4x^{3}dx+6x^2(dx{)}^2+4x(dx{)}^3+(dx{)}^4.$$ En supprimant alors les termes contenant toutes les puissances supérieures de $dx$, car ils sont négligeables par comparaison, nous obtenons $$y+dy=x^4+4x^{3}dx.$$ En soustrayant l'équation d'origine $y=x^4$, il nous reste $$dy=4x^{3}dx,$$ et $$\frac{dy}{dx}=4x^3.$$

Exemple 4.4. Essayez de dériver $y=x^5$.

Solution. Alors \begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align} En négligeant tous les termes contenant des petites quantités d'ordres supérieurs, il nous reste $$y+dy=x^5+5x^{4}dx,$$ et en soustrayant $y=x^5$, il nous reste $$dy=5x^{4}dx,$$ d'où \begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align} exactement comme nous l'avions supposé.

Exemple 4.5. Dériver $y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

Solution. Nous pouvons écrire $y=x^{-2}$. Procédons ensuite comme auparavant : \begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align} En développant ceci par la formule du binôme (voir l'annexe), nous obtenons \begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align} Ainsi, en négligeant les petites quantités d'ordres de petitesse supérieurs, nous avons : $$y+dy=x^{-2}-2x^{-3}\cdot dx.$$ En soustrayant l'équation d'origine $y=x^{-2}$, nous trouvons \begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align} ou $$\frac{dy}{dx}=-2x^{-3}.$$ Et ceci est toujours en accord avec la règle déduite plus haut.

Exemple 4.6. Dériver $y=\sqrt{x}$.

Solution. Remarquez que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.² Posons donc $y=x^{\frac{1}{2}}$. Alors, comme précédemment, \begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{termes avec des puissances supérieures de } dx. \end{align} En soustrayant l'équation d'origine $y=x^{\frac{1}{2}}$ et en négligeant les puissances supérieures, il nous reste : $$dy=\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\cdot dx,$$ et ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}$. Ce qui concorde avec la règle générale.