Voyons maintenant comment, à partir des premiers principes, nous pouvons dériver une expression algébrique simple \(y=x^n\).
Cas d'une puissance positive
Exemple 4.1. Dériver \(y=x^2\).
Solution. Commençons par l'expression simple \(y=x^2\). Rappelez-vous que la notion fondamentale du calcul est l'idée de croissance. Les mathématiciens l'appellent variation. Or, comme \(y\) et \(x^2\) sont égaux l'un à l'autre, il est clair que si \(x\) croît, \(x^2\) croîtra aussi. Et si \(x^2\) croît, alors \(y\) croîtra également. Ce que nous devons découvrir, c'est la proportion entre la croissance de \(y\) et la croissance de \(x\). En d'autres termes, notre tâche est de trouver le rapport entre \(dy\) et \(dx\), ou, en bref, de trouver la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\).
Laissons alors \(x\) croître un tout petit peu et devenir \(x + dx\) ; de même, \(y\) croîtra un peu et deviendra \(y + dy\). Alors, clairement, il sera toujours vrai que le \(y\) agrandi sera égal au carré du \(x\) agrandi. En écrivant cela, nous avons : \[y + dy = (x + dx)^2.\] En élevant au carré, nous obtenons : \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2.\]
Que signifie \((dx)^2\) ? Rappelez-vous que \(dx\) signifiait un bout — un petit bout — de \(x\). Alors \((dx)^2\) signifiera un petit bout d'un petit bout de \(x\) ; c'est-à-dire, comme expliqué précédemment, que c'est une petite quantité du second ordre de petitesse. Elle peut donc être ignorée comme étant tout à fait négligeable en comparaison avec les autres termes. En la laissant de côté, nous avons alors : \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx.\] Or \(y=x^2\) ; soustrayons donc ceci de l'équation et il nous reste \[dy = 2x \cdot dx.\] En divisant de part et d'autre par \(dx\), nous trouvons \[\frac{dy}{dx} = 2x.\]
Or ceci1 est ce que nous cherchions à trouver. Le rapport entre la croissance de \(y\) et la croissance de \(x\) se trouve être, dans le cas présent, \(2x\).
Supposons que \(x=100\) et donc \(y=10\,000\). Faisons alors croître \(x\) jusqu'à ce qu'il devienne \(101\) (c'est-à-dire, posons \(dx=1\)). Alors le \(y\) agrandi sera \(101 \times 101 = 10\,201\). Mais si nous convenons que nous pouvons ignorer les petites quantités du second ordre, le nombre \(1\) peut être rejeté par rapport à \(10\,000\) ; nous pouvons donc arrondir le \(y\) agrandi à \(10\,200\). \(y\) est passé de \(10\,000\) à \(10\,200\) ; le morceau ajouté est \(dy\), qui vaut donc \(200\).
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200\). D'après le calcul algébrique du paragraphe précédent, nous trouvons \(\dfrac{dy}{dx} = 2x\). Et c'est bien le cas ; car \(x=100\) et \(2x=200\).
Mais, direz-vous, nous avons négligé une unité entière.
Eh bien, réessayez, en donnant à \(dx\) une valeur encore plus petite.
Essayons \(dx=\frac{1}{10}\). Alors \(x+dx=100{,}1\), et \[(x+dx)^2 = 100{,}1 \times 100{,}1 = 10\,020{,}01.\]
Or, le dernier chiffre \(1\) n'est qu'un millionième de \(10\,000\), et est complètement négligeable ; nous pouvons donc prendre \(10\,020\) sans la petite décimale à la fin. Et cela donne \(dy=20\) ; et \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0{,}1} = 200\), ce qui est toujours identique à \(2x\).
Exemple 4.2. Essayez de dériver \(y = x^3\) de la même manière.
Solution. Laissons \(y\) croître jusqu'à \(y+dy\), tandis que \(x\) croît jusqu'à \(x+dx\).
Nous avons alors \[y + dy = (x + dx)^3.\]
En élevant au cube, nous obtenons \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 3x(dx)^2+(dx)^3.\]
Nous savons maintenant que nous pouvons négliger les petites quantités du deuxième et du troisième ordre ; car, lorsque \(dy\) et \(dx\) deviennent tous deux indéfiniment petits, \((dx)^2\) et \((dx)^3\) deviendront indéfiniment plus petits par comparaison. Ainsi, en les considérant comme négligeables, il nous reste : \[y + dy=x^3+3x^2 \cdot dx.\]
Or \(y=x^3\) ; et, en soustrayant ceci, nous avons : \[\begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align}\] et \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]
Exemple 4.3. Essayez de dériver \(y=x^4\).
Solution. En commençant comme précédemment et en laissant \(y\) et \(x\) croître un peu, nous avons : \[\begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align}\] En calculant l'élévation à la puissance quatre, nous obtenons \[y + dy = x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4.\] En supprimant alors les termes contenant toutes les puissances supérieures de \(dx\), car ils sont négligeables par comparaison, nous obtenons \[y + dy = x^4+4x^3\, dx.\] En soustrayant l'équation d'origine \(y=x^4\), il nous reste \[dy = 4x^3\, dx,\] et \[\frac{dy}{dx} = 4x^3.\]
Tous ces cas sont très simples. Rassemblons les résultats pour voir si nous pouvons en déduire une règle générale. Plaçons-les dans deux colonnes, les valeurs de \(y\) dans l'une et les valeurs correspondantes trouvées pour \(\dfrac{dy}{dx}\) dans l'autre : ainsi
| \(y\) | \(\dfrac{dy}{dx}\) |
|---|---|
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) |
| \(x^4\) | \(4x^3\) |
Examinez simplement ces résultats : l'opération de dérivation semble avoir eu pour effet de diminuer la puissance de \(x\) de \(1\) (par exemple, dans le dernier cas, en réduisant \(x^4\) à \(x^3\)), et en même temps de multiplier par un nombre (le même nombre, en fait, qui apparaissait initialement comme la puissance). Or, une fois que vous avez remarqué cela, vous pourriez facilement deviner comment les autres vont se comporter. Vous vous attendriez à ce que dériver \(x^5\) donne \(5x^4\), ou que dériver \(x^6\) donne \(6x^5\). En cas de doute, essayez l'un d'entre eux, et voyez si la conjecture se vérifie.
Exemple 4.4. Essayez de dériver \(y = x^5\).
Solution. Alors \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align}\] En négligeant tous les termes contenant des petites quantités d'ordres supérieurs, il nous reste \[y + dy = x^5 + 5x^4\, dx,\] et en soustrayant \(y= x^5\), il nous reste \[dy = 5x^4\, dx,\] d'où \[\begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align}\] exactement comme nous l'avions supposé.
En suivant logiquement notre observation, nous devrions conclure que si nous voulons traiter une puissance supérieure quelconque — appelons-la \(n\) — nous pourrions l'aborder de la même manière.
Soit \[y = x^n,\] alors, nous devrions nous attendre à trouver que \[\frac{dy}{dx} = nx^{n-1}.\] Par exemple, soit \(n=8\), alors \(y=x^8\) ; et sa dérivation donnerait \(\dfrac{dy}{dx} = 8x^7\).
Et en effet, la règle selon laquelle la dérivation de \(x^n\) donne comme résultat \(nx^{n-1}\) est vraie dans tous les cas où \(n\) est un nombre entier et positif. [Le développement de \((x + dx)^n\) par la formule du binôme (voir l'annexe) le montrera immédiatement.] Mais la question de savoir si elle est vraie pour les cas où \(n\) a des valeurs négatives ou fractionnaires nécessite un examen plus approfondi.
Cas d'une puissance négative
Exemple 4.5. Dériver \(y=\dfrac{1}{x^2}\).
Solution. Nous pouvons écrire \(y = x^{-2}\). Procédons ensuite comme auparavant : \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align}\] En développant ceci par la formule du binôme (voir l'annexe), nous obtenons \[\begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align}\] Ainsi, en négligeant les petites quantités d'ordres de petitesse supérieurs, nous avons : \[y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx.\] En soustrayant l'équation d'origine \(y = x^{-2}\), nous trouvons \[\begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align}\] ou \[\frac{dy}{dx} = -2x^{-3}.\] Et ceci est toujours en accord avec la règle déduite plus haut.
Cas d'une puissance fractionnaire
Exemple 4.6. Dériver \(y=\sqrt{x}\).
Solution. Remarquez que \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).2 Posons donc \(y= x^{\frac{1}{2}}\). Alors, comme précédemment, \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{termes avec des puissances supérieures de } dx. \end{align}\] En soustrayant l'équation d'origine \(y = x^{\frac{1}{2}}\) et en négligeant les puissances supérieures, il nous reste : \[dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx,\] et \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\). Ce qui concorde avec la règle générale.
Résumé
Voyons où nous en sommes. Nous avons abouti à la règle suivante : pour dériver \(x^n\), multipliez par l'exposant et réduisez l'exposant de un, ce qui nous donne \(nx^{n-1}\) comme résultat.
\[\boxed{y=x^n\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=n\,x^{n-1}}\tag{$n$ est un nombre quelconque}\]
Exercices
Dérivez les expressions suivantes :
Exercice 4.1. \(y = x^{13}\)
Solution
\[y=x^{13} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=13 x^{12}\]
Exercice 4.2. \(y = x^{-\frac{3}{2}}\)
Solution
\[y=x^{-\frac{3}{2}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\left(-\frac{3}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}-1}=-\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}\]
Exercice 4.3. \(y = x^{2a}\)
Solution
\[y=x^{2 a} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 a x^{2 a-1}\]
Exercice 4.4. \(u = t^{2{,}4}\)
Solution
\[y=t^{2{,}4} \Rightarrow \frac{d y}{d t}=2{,}4 t^{1{,}4}\]
Exercice 4.5. \(z = \sqrt[3]{u}\)
Réponse
\(\dfrac{dz}{du} = \dfrac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}\).Solution
\[z=\sqrt[3]{u}=u^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \frac{d z}{d u}=\frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{u^{2}}}\]
Exercice 4.6. \(y = \sqrt[3]{x^{-5}}\)
Réponse
\(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}\).Solution
\[y=\sqrt[3]{x^{-5}}=x^{-\frac{5}{3}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{5}{3} x^{-\frac{8}{3}}\]
Exercice 4.7. \(u = \sqrt[5]{\dfrac{1}{x^8}}\)
Réponse
\(\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{8}{5}x^{-\frac{13}{5}}\).Solution
\[u=\sqrt[5]{\frac{1}{x^{8}}}=x^{-\frac{8}{5}} \Rightarrow \frac{d u}{d x}=-\frac{8}{5} x^{-\frac{13}{5}}\]
Exercice 4.8. \(y = 2x^a\)
Solution
\[y=2 x^{a} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 a x^{a-1}\]
Exercice 4.9. \(y = \sqrt[q]{x^3}\)
Réponse
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{q} x^{\frac{3-q}{q}}\).Solution
\[y=\sqrt[q]{x^{3}}=x^{\frac{3}{q}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{q} x^{\frac{3-q}{q}}\]
Exercice 4.10. \(y = \sqrt[n]{\dfrac{1}{x^m}}\)
Réponse
\(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{m}{n} x^{-\frac{m+n}{n}}\).Solution
\[y=\sqrt[n]{\frac{1}{x^{m}}}=x^{-\frac{m}{n}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{m}{n} x^{-\frac{m+n}{n}}\]
Ce rapport \(\dfrac{dy}{dx}\) est le résultat de la dérivation de \(y\) par rapport à \(x\). Dériver signifie trouver la dérivée. Supposons que nous ayons une autre fonction de \(x\), comme, par exemple, \(u = 7x^2 + 3\). Alors si on nous demandait de dériver cela par rapport à \(x\), nous devrions trouver \(\dfrac{du}{dx}\), ou, ce qui revient au même, \(\dfrac{d(7x^2 + 3)}{dx}\). D'autre part, nous pourrions avoir un cas où le temps est la variable indépendante (voir ici), comme ceci : \(y = b + \frac{1}{2} at^2\). Alors, si on nous demandait de la dériver, cela signifierait que nous devons trouver sa dérivée par rapport à \(t\). Notre tâche serait alors d'essayer de trouver \(\dfrac{dy}{dt}\), c'est-à-dire de trouver \(\dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt}\).↩︎
En général, \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\).↩︎
