La regla de la potencia

Ejemplo 4.1. Diferencia \(y=x^2\).

Solución. Comencemos con la expresión simple \(y=x^2\). Recuerda ahora que la noción fundamental del cálculo es la idea de crecimiento. Los matemáticos lo llaman variación. Ahora, dado que \(y\) y \(x^2\) son iguales entre sí, está claro que si \(x\) crece, \(x^2\) también crecerá. Y si \(x^2\) crece, entonces \(y\) también crecerá. Lo que tenemos que averiguar es la proporción entre el crecimiento de \(y\) y el crecimiento de \(x\). En otras palabras, nuestra tarea es encontrar la razón entre \(dy\) y \(dx\), o, en resumen, encontrar el valor de \(\dfrac{dy}{dx}\).

Dejemos que \(x\) crezca un poco y se convierta en \(x + dx\); de manera similar, \(y\) crecerá un poco y se convertirá en \(y + dy\). Entonces, claramente, seguirá siendo cierto que el \(y\) aumentado será igual al cuadrado del \(x\) aumentado. Escribiendo esto, tenemos: \[y + dy = (x + dx)^2.\] Al realizar el cuadrado obtenemos: \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2.\]

¿Qué significa \((dx)^2\)? Recuerda que \(dx\) significaba un poco—un poquito—de \(x\). Entonces \((dx)^2\) significará un poquito de un poquito de \(x\); es decir, como se explica arriba, es una pequeña cantidad del segundo orden de pequeñez. Por lo tanto, se puede descartar como insignificante en comparación con otros términos. Excluyéndolo, entonces tenemos: \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx.\] Ahora \(y=x^2\); así que restamos esto de la ecuación y tenemos \[dy = 2x \cdot dx.\] Dividiendo entre \(dx\), encontramos \[\frac{dy}{dx} = 2x.\]

Ahora esto¹ es lo que nos propusimos encontrar. La razón del crecimiento de \(y\) al crecimiento de \(x\) es, en el caso que nos ocupa, \(2x\).

Supongamos \(x=100\) y por lo tanto \(y=10,000\). Entonces, dejemos que \(x\) crezca hasta convertirse en \(101\) (es decir, que \(dx=1\)). Entonces el \(y\) aumentado será \(101 \times 101 = 10,201\). Pero si acordamos que podemos ignorar pequeñas cantidades de segundo orden, \(1\) puede ser rechazado en comparación con \(10,000\); así que podemos redondear el \(y\) aumentado a \(10,200\). \(y\) ha crecido de \(10,000\) a \(10,200\); el agregado es \(dy\), que es \(200\).

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200\). Según el cálculo algebraico del párrafo anterior, encontramos \(\dfrac{dy}{dx} = 2x\). Y así es; para \(x=100\) y \(2x=200\).

Pero, dirás, descuidamos una unidad completa.

Bueno, prueba de nuevo, haciendo que \(dx\) sea aún más pequeño.

Prueba \(dx=\frac{1}{10}\). Entonces \(x+dx=100.1\), y \[(x+dx)^2 = 100.1 \times 100.1 = 10,020.01.\]

Ahora, la última cifra \(1\) es solo una millonésima parte del \(10,000\), y es completamente insignificante; por lo que podemos tomar \(10,020\) sin el pequeño decimal al final. Y esto hace que \(dy=20\); y \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200\), que sigue siendo el mismo que \(2x\).

Ejemplo 4.2. Intenta diferenciar \(y = x^3\) de la misma manera.

Solución. Dejamos que \(y\) crezca a \(y+dy\), mientras que \(x\) crece a \(x+dx\).

Entonces tenemos \[y + dy = (x + dx)^3.\]

Al realizar el cubo obtenemos \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 3x(dx)^2+(dx)^3.\]

Ahora sabemos que podemos descartar las pequeñas cantidades de segundo y tercer orden; ya que, cuando \(dy\) y \(dx\) se hacen indefinidamente pequeños, \((dx)^2\) y \((dx)^3\) se volverán indefinidamente más pequeños en comparación. Así que, considerándolos despreciables, nos queda: \[y + dy=x^3+3x^2 \cdot dx.\]

Pero \(y=x^3\); y, restándole esto, tenemos: \[\begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align}\] y \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]

Ejemplo 4.3. Intenta diferenciar \(y=x^4\).

Solución. Comenzando como antes al dejar que tanto \(y\) y \(x\) crezcan un poco, tenemos: \[\begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align}\] Al trabajar en el levantamiento a la cuarta potencia, obtenemos \[y + dy = x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4.\] Luego, eliminando los términos que contienen todas las potencias más altas de \(dx\), al ser despreciables en comparación, tenemos \[y + dy = x^4+4x^3\, dx.\] Restando el original \(y=x^4\), nos queda \[dy = 4x^3\, dx,\] y \[\frac{dy}{dx} = 4x^3.\]

Ejemplo 4.4. Intenta diferenciar \(y = x^5\).

Solución. Entonces \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align}\] Al descartar los términos que contienen pequeñas cantidades de los órdenes superiores, nos queda \[y + dy = x^5 + 5x^4\, dx,\] y restando \(y= x^5\) nos queda \[dy = 5x^4\, dx,\] de donde \[\begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align}\] exactamente como suponíamos.

Ejemplo 4.5. Diferencia \(y=\dfrac{1}{x^2}\).

Solución. Podemos escribir \(y = x^{-2}\). Luego procedemos como antes: \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align}\] Expandiendo esto por el teorema binomial (ver el apéndice), obtenemos \[\begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align}\] Por lo tanto, descartando las pequeñas cantidades de órdenes superiores de pequeñez, tenemos: \[y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx.\] Restando el original \(y = x^{-2}\), encontramos \[\begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align}\] o \[\frac{dy}{dx} = -2x^{-3}.\] Y esto sigue estando de acuerdo con la regla inferida anteriormente.

Ejemplo 4.6. Diferencia \(y=\sqrt{x}\).

Solución. Observa que \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).² Así que deja \(y= x^{\frac{1}{2}}\). Entonces, como antes, \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{términos con mayores potencias de } dx. \end{align}\] Restando el original \(y = x^{\frac{1}{2}}\), y descartando las mayores potencias nos queda: \[dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx,\] y \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\). Concordando con la regla general.