قانون توان

مثال ۴.۱. مشتق‌گیری کنید $y=x^2$.

راه حل. اجازه دهید با عبارت ساده $y=x^2$ شروع کنیم. اکنون به یاد داشته باشید که مفهوم اساسی حسابان، ایده رشد است. ریاضیدانان آن را تغییر می‌نامند. حال چون $y$ و $x^2$ با یکدیگر برابرند، واضح است که اگر $x$ رشد کند، $x^2$ نیز رشد خواهد کرد. و اگر $x^2$ رشد کند، آنگاه $y$ نیز رشد خواهد کرد. آنچه باید پیدا کنیم نسبت بین رشد $y$ و رشد $x$ است. به عبارت دیگر، وظیفه ما پیدا کردن نسبت بین $dy$ و $dx$، یا به اختصار، یافتن مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ است.

بنابراین، اجازه دهید $x$ کمی بزرگتر شود و به $x+dx$ تبدیل شود؛ به همین ترتیب، $y$ نیز کمی بزرگتر شده و به $y+dy$ تبدیل خواهد شد. آنگاه، به وضوح، همچنان درست خواهد بود که $y$ بزرگ شده برابر با مربع $x$ بزرگ شده خواهد بود. با نوشتن این، داریم: $$y+dy=(x+dx{)}^2.$$ با انجام مربع کردن به دست می‌آوریم: $$y+dy=x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2.$$

$(dx{)}^2$ به چه معناست؟ به خاطر داشته باشید که $dx$ به معنای یک ذره – یک ذره کوچک – از $x$ بود. آنگاه $(dx{)}^2$ به معنای ذره‌ای از ذره‌ای از $x$ خواهد بود؛ یعنی همانطور که در بالا توضیح داده شد، یک کمیت کوچک از مرتبه دوم کوچکی است. بنابراین می‌توان آن را در مقایسه با دیگر جملات کاملاً ناچیز شمرد و کنار گذاشت. با حذف آن، خواهیم داشت: $$y+dy=x^2+2x\cdot dx.$$ اکنون $y=x^2$؛ پس بیایید این را از معادله کم کنیم و آنچه باقی می‌ماند: $$dy=2x\cdot dx.$$ با تقسیم دو طرف بر $dx$، می‌یابیم: $$\frac{dy}{dx}=2x.$$

اکنون این¹ همان چیزی است که به دنبالش بودیم. نسبت رشد $y$ به رشد $x$، در این مورد، برابر با $2x$ یافت می‌شود.

فرض کنید $x=100$ و بنابراین $y=10,000$. سپس اجازه دهید $x$ رشد کند تا به $101$ تبدیل شود (یعنی $dx=1$). آنگاه $y$ بزرگ شده $101\times 101=10,201$ خواهد بود. اما اگر توافق کنیم که می‌توانیم کمیت‌های کوچک مرتبه دوم را نادیده بگیریم، $1$ را می‌توان در مقایسه با $10,000$ ناچیز شمرد؛ پس می‌توانیم $y$ بزرگ شده را به $10,200$ گرد کنیم. $y$ از $10,000$ به $10,200$ رشد کرده است؛ مقداری که اضافه شده $dy$ است، که بنابراین $200$ می‌شود.

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{200}{1}}=200$. طبق محاسبات جبری پاراگراف قبل، می‌یابیم که ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=2x$. و واقعاً همین‌طور است؛ زیرا $x=100$ و $2x=200$.

اما، خواهید گفت، ما یک واحد کامل را نادیده گرفتیم.

خب، دوباره امتحان کنید، $dx$ را ذره‌ای باز هم کوچکتر بگیرید.

امتحان کنید $dx=\frac{1}{10}$. آنگاه $x+dx=100.1$، و $$(x+dx{)}^2=100.1\times 100.1=10,020.01.$$

اکنون رقم آخر $1$ فقط یک میلیونیم $10,000$ است، و کاملاً قابل چشم‌پوشی است؛ بنابراین می‌توانیم $10,020$ را بدون اعشار کوچک انتهایی در نظر بگیریم. و این نتیجه می‌دهد $dy=20$؛ و ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{20}{0.1}}=200$، که همچنان همان $2x$ است.

مثال ۴.۲. سعی کنید به روش مشابه $y=x^3$ را مشتق‌گیری کنید.

راه حل. ما $y$ را به $y+dy$ رشد می‌دهیم، در حالی که $x$ به $x+dx$ رشد می‌کند.

سپس داریم: $$y+dy=(x+dx{)}^3.$$

با انجام مکعب‌گیری به دست می‌آوریم: $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx+3x(dx{)}^2+(dx{)}^3.$$

اکنون می‌دانیم که می‌توانیم کمیت‌های کوچک از مرتبه‌های دوم و سوم را نادیده بگیریم؛ زیرا وقتی $dy$ و $dx$ هر دو به طور نامحدود کوچک شوند، $(dx{)}^2$ و $(dx{)}^3$ در مقایسه به طور نامحدود کوچکتر خواهند شد. بنابراین، با در نظر گرفتن آن‌ها به عنوان ناچیز، برایمان باقی می‌ماند: $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx.$$

اما $y=x^3$؛ و با کم کردن این، داریم: و

مثال ۴.۳. سعی کنید $y=x^4$ را مشتق‌گیری کنید.

راه حل. مانند قبل با رشد دادن اندکی $y$ و $x$ شروع می‌کنیم: با محاسبه به توان چهارم رساندن، به دست می‌آوریم: $$y+dy=x^4+4x^{3}dx+6x^2(dx{)}^2+4x(dx{)}^3+(dx{)}^4.$$ سپس با حذف جملات شامل توان‌های بالاتر $dx$، به عنوان ناچیز در مقایسه، داریم: $$y+dy=x^4+4x^{3}dx.$$ با کم کردن $y=x^4$ اصلی، برایمان باقی می‌ماند: $$dy=4x^{3}dx,$$ و $$\frac{dy}{dx}=4x^3.$$

مثال ۴.۴. سعی کنید $y=x^5$ را مشتق‌گیری کنید.

راه حل. آنگاه با نادیده گرفتن تمام جملات شامل کمیت‌های کوچک از مرتبه‌های بالاتر، برایمان باقی می‌ماند: $$y+dy=x^5+5x^{4}dx,$$ و با کم کردن $y=x^5$ به ما می‌دهد: $$dy=5x^{4}dx,$$ از آن‌جا: دقیقاً همان‌طور که حدس زدیم.

مثال ۴.۵. مشتق‌گیری کنید $y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

راه حل. می‌توانیم بنویسیم $y=x^{-2}$. سپس مانند قبل ادامه می‌دهیم: با بسط این با قضیه دوجمله‌ای (به پیوست مراجعه کنید)، به دست می‌آوریم: بنابراین، با نادیده گرفتن کمیت‌های کوچک از مرتبه‌های بالاتر کوچکی، داریم: $$y+dy=x^{-2}-2x^{-3}\cdot dx.$$ با کم کردن $y=x^{-2}$ اصلی، می‌یابیم: یا $$\frac{dy}{dx}=-2x^{-3}.$$ و این همچنان مطابق با قاعده استنباط شده بالاست.

مثال ۴.۶. مشتق‌گیری کنید $y=\sqrt{x}$.

راه حل. توجه کنید که $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.² بنابراین فرض می‌کنیم $y=x^{\frac{1}{2}}$. سپس، مانند قبل: با کم کردن $y=x^{\frac{1}{2}}$ اصلی و نادیده گرفتن توان‌های بالاتر، برایمان باقی می‌ماند: $$dy=\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\cdot dx,$$ و ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}$. مطابق با قاعده کلی.