Agora vejamos como, a partir dos primeiros princípios, podemos derivar uma expressão algébrica simples y=x^n.
Caso de uma Potência Positiva
Exemplo 4.1. Derive y=x^2.
Solução. Comecemos com a expressão simples y=x^2. Agora lembre-se de que a noção fundamental sobre o cálculo é a ideia de crescimento. Os matemáticos chamam isso de variação. Ora, como y e x^2 são iguais um ao outro, é claro que se x cresce, x^2 também crescerá. E se x^2 cresce, então y também crescerá. O que temos que descobrir é a proporção entre o crescimento de y e o crescimento de x. Em outras palavras, nossa tarefa é descobrir a razão entre dy e dx, ou, em resumo, encontrar o valor de \dfrac{dy}{dx}.
Deixe x, então, crescer um pouquinho mais e se tornar x + dx; da mesma forma, y crescerá um pouco mais e se tornará y + dy. Então, claramente, continuará sendo verdade que o y ampliado será igual ao quadrado do x ampliado. Escrevendo isso, temos: y + dy = (x + dx)^2. Fazendo a elevação ao quadrado, obtemos: y + dy = x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2.
O que significa (dx)^2? Lembre-se que dx significava um pedaço — um pedacinho — de x. Então (dx)^2 significará um pedacinho de um pedacinho de x; ou seja, como explicado acima, é uma quantidade pequena de segunda ordem de pequenez. Pode, portanto, ser descartada como totalmente insignificante em comparação com os outros termos. Deixando-a de lado, temos então: y + dy = x^2 + 2x \cdot dx. Agora y=x^2; então vamos subtrair isso da equação e nos resta dy = 2x \cdot dx. Dividindo tudo por dx, encontramos \frac{dy}{dx} = 2x.
Ora, isto1 é o que nos propusemos a encontrar. A razão do crescimento de y para o crescimento de x é, no caso diante de nós, encontrada como 2x.
Suponha que x=100 e portanto y=10.000. Então deixe x crescer até se tornar 101 (isto é, seja dx=1). Então o y ampliado será 101 \times 101 = 10.201. Mas se concordarmos que podemos ignorar quantidades pequenas de segunda ordem, 1 pode ser rejeitado em comparação com 10.000; então podemos arredondar o y ampliado para 10.200. y cresceu de 10.000 para 10.200; o pedaço adicionado é dy, que é, portanto, 200.
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200. De acordo com o cálculo algébrico do parágrafo anterior, encontramos \dfrac{dy}{dx} = 2x. E assim é; pois x=100 e 2x=200.
Mas, você dirá, nós negligenciamos uma unidade inteira.
Bem, tente novamente, fazendo de dx um pedacinho ainda menor.
Tente dx=\frac{1}{10}. Então x+dx=100{,}1, e (x+dx)^2 = 100{,}1 \times 100{,}1 = 10.020{,}01.
Agora, o último algarismo 1 é apenas a milionésima parte de 10.000, e é totalmente insignificante; então podemos tomar 10.020 sem o pequeno decimal no final. E isso faz com que dy=20; e \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0{,}1} = 200, que ainda é o mesmo que 2x.
Exemplo 4.2. Tente derivar y = x^3 da mesma maneira.
Solução. Deixamos y crescer para y+dy, enquanto x cresce para x+dx.
Então temos y + dy = (x + dx)^3.
Fazendo a elevação ao cubo, obtemos y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 3x(dx)^2+(dx)^3.
Agora sabemos que podemos negligenciar quantidades pequenas de segunda e terceira ordens; já que, quando dy e dx se tornam ambos indefinidamente pequenos, (dx)^2 e (dx)^3 se tornarão indefinidamente menores em comparação. Então, considerando-os como insignificantes, nos resta: y + dy=x^3+3x^2 \cdot dx.
Mas y=x^3; e, subtraindo isso, temos: \begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align} e \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}
Exemplo 4.3. Tente derivar y=x^4.
Solução. Começando como antes, deixando tanto y quanto x crescerem um pouco, temos: \begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align} Calculando a elevação à quarta potência, obtemos y + dy = x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4. Então, eliminando os termos que contêm todas as potências superiores de dx, por serem insignificantes em comparação, temos y + dy = x^4+4x^3\, dx. Subtraindo o y=x^4 original, nos resta dy = 4x^3\, dx, e \frac{dy}{dx} = 4x^3.
Agora, todos esses casos são bastante fáceis. Vamos reunir os resultados para ver se podemos inferir alguma regra geral. Coloque-os em duas colunas, os valores de y em uma e os valores correspondentes encontrados para \dfrac{dy}{dx} na outra: assim
| y | \dfrac{dy}{dx} |
|---|---|
| x^2 | 2x |
| x^3 | 3x^2 |
| x^4 | 4x^3 |
Basta olhar para esses resultados: a operação de derivar parece ter tido o efeito de diminuir a potência de x em 1 (por exemplo, no último caso, reduzindo x^4 para x^3), e ao mesmo tempo multiplicando por um número (o mesmo número, de fato, que apareceu originalmente como a potência). Agora, uma vez que você tenha visto isso, poderia facilmente conjecturar como os outros se comportarão. Você esperaria que derivar x^5 daria 5x^4, ou derivar x^6 daria 6x^5. Se você hesitar, tente um desses, e veja se a conjectura está certa.
Exemplo 4.4. Tente derivar y = x^5.
Solução. Então \begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align} Negligenciando todos os termos que contêm quantidades pequenas de ordens superiores, nos resta y + dy = x^5 + 5x^4\, dx, e subtraindo y= x^5 nos deixa dy = 5x^4\, dx, de onde \begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align} exatamente como supusemos.
Seguindo logicamente nossa observação, deveríamos concluir que se quisermos lidar com qualquer potência superior — chamemos de n — poderíamos abordá-la da mesma maneira.
Seja y = x^n, então, deveríamos esperar encontrar que \frac{dy}{dx} = nx^{n-1}. Por exemplo, seja n=8, então y=x^8; e derivá-lo daria \dfrac{dy}{dx} = 8x^7.
E, de fato, a regra de que derivar x^n dá como resultado nx^{n-1} é verdadeira para todos os casos em que n é um número inteiro e positivo. [Expandir (x + dx)^n pelo teorema binomial (veja o apêndice) vai mostrar isso imediatamente.] Mas a questão de saber se é verdade para casos em que n tem valores negativos ou fracionários requer maior consideração.
Caso de uma Potência Negativa
Exemplo 4.5. Derive y=\dfrac{1}{x^2}.
Solução. Podemos escrever y = x^{-2}. Então prossiga como antes: \begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align} Expandindo isso pelo teorema binomial (veja o apêndice), obtemos \begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align} Então, negligenciando as quantidades pequenas de ordens superiores de pequenez, temos: y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx. Subtraindo o y = x^{-2} original, encontramos \begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align} ou \frac{dy}{dx} = -2x^{-3}. E isso ainda está de acordo com a regra inferida acima.
Caso de uma Potência Fracionária
Exemplo 4.6. Derive y=\sqrt{x}.
Solução. Note que \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.2 Então seja y= x^{\frac{1}{2}}. Então, como antes, \begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{termos com potências superiores de } dx. \end{align} Subtraindo o y = x^{\frac{1}{2}} original, e negligenciando as potências superiores, nos resta: dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx, e \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}. Concordando com a regra geral.
Resumo
Vejamos até onde chegamos. Chegamos à seguinte regra: Para derivar x^n, multiplique pela potência e reduza a potência em um, dando-nos assim nx^{n-1} como resultado.
\boxed{y=x^n\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=n\,x^{n-1}}\tag{$n$ é um número qualquer}
Exercícios
Derive o seguinte:
Exercício 4.1. y = x^{13}
Solução
y=x^{13} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=13 x^{12}
Exercício 4.2. y = x^{-\frac{3}{2}}
Solução
y=x^{-\frac{3}{2}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\left(-\frac{3}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}-1}=-\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}
Exercício 4.3. y = x^{2a}
Solução
y=x^{2 a} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 a x^{2 a-1}
Exercício 4.4. u = t^{2{,}4}
Solução
y=t^{2{,}4} \Rightarrow \frac{d y}{d t}=2{,}4 t^{1{,}4}
Exercício 4.5. z = \sqrt[3]{u}
Resposta
\dfrac{dz}{du} = \dfrac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}.Solução
z=\sqrt[3]{u}=u^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \frac{d z}{d u}=\frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{u^{2}}}
Exercício 4.6. y = \sqrt[3]{x^{-5}}
Resposta
\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}.Solução
y=\sqrt[3]{x^{-5}}=x^{-\frac{5}{3}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{5}{3} x^{-\frac{8}{3}}
Exercício 4.7. u = \sqrt[5]{\dfrac{1}{x^8}}
Resposta
\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{8}{5}x^{-\frac{13}{5}}.Solução
u=\sqrt[5]{\frac{1}{x^{8}}}=x^{-\frac{8}{5}} \Rightarrow \frac{d u}{d x}=-\frac{8}{5} x^{-\frac{13}{5}}
Exercício 4.8. y = 2x^a
Solução
y=2 x^{a} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 a x^{a-1}
Exercício 4.9. y = \sqrt[q]{x^3}
Resposta
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{q} x^{\frac{3-q}{q}}.Solução
y=\sqrt[q]{x^{3}}=x^{\frac{3}{q}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{q} x^{\frac{3-q}{q}}
Exercício 4.10. y = \sqrt[n]{\dfrac{1}{x^m}}
Resposta
\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{m}{n} x^{-\frac{m+n}{n}}.Solução
y=\sqrt[n]{\frac{1}{x^{m}}}=x^{-\frac{m}{n}} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{m}{n} x^{-\frac{m+n}{n}}
Essa razão \dfrac{dy}{dx} é o resultado da derivação de y em relação a x. Derivar significa encontrar a derivada. Suponha que tivéssemos alguma outra função de x, como, por exemplo, u = 7x^2 + 3. Então, se nos pedissem para derivar isso em relação a x, teríamos que encontrar \dfrac{du}{dx}, ou, o que é a mesma coisa, \dfrac{d(7x^2 + 3)}{dx}. Por outro lado, podemos ter um caso em que o tempo fosse a variável independente (veja aqui), como este: y = b + \frac{1}{2} at^2. Então, se nos pedissem para derivá-lo, isso significaria que devemos encontrar sua derivada em relação a t. De modo que nosso trabalho seria tentar encontrar \dfrac{dy}{dt}, isto é, encontrar \dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt}.↩︎
Em geral \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}.↩︎
