Sobre Diferentes Graus de Pequenez

Veremos que, em nossos processos de cálculo, temos que lidar com pequenas quantidades de vários graus de pequenez.

Teremos também que aprender sob quais circunstâncias podemos considerar as pequenas quantidades tão minúsculas que podemos omiti-las da consideração. Tudo depende da pequenez relativa.

Antes de fixarmos quaisquer regras, vamos pensar em alguns casos familiares. Há \(60\) minutos na hora, \(24\) horas no dia, \(7\) dias na semana. Há, portanto, \(1440\) minutos no dia e \(10080\) minutos na semana.

Obviamente \(1\) minuto é uma quantidade de tempo muito pequena comparada a uma semana inteira. De fato, nossos antepassados o consideravam pequeno quando comparado com uma hora, e o chamavam de "um minuto", significando uma fração minuta — a saber, um sexagésimo — de uma hora. Quando passaram a necessitar de subdivisões de tempo ainda menores, dividiram cada minuto em \(60\) partes ainda menores, as quais, no século XVI, chamaram de "segundos minutos" (i.e. pequenas quantidades de segunda ordem de pequenez). Hoje em dia chamamos essas pequenas quantidades de segunda ordem de pequenez de "segundos". Mas poucas pessoas sabem por que são chamadas assim.

Ora, se um minuto é tão pequeno quando comparado a um dia inteiro, quão menor por comparação é um segundo!

Novamente, pense em uma moeda de um centavo comparada a uma nota de dez dólares: ela vale apenas a \(\frac{1}{1000}\) parte. Um centavo a mais ou a menos é de preciosa pouca importância comparado a uma nota de dez dólares: pode certamente ser considerado uma quantidade pequena. Mas compare um centavo com \(\$10,000\): relativamente a essa soma maior, o centavo não tem mais importância do que \(\frac{1}{1000}\) de um centavo teria para uma nota de dez dólares. Mesmo $10.000 é uma quantidade relativamente negligenciável na riqueza de um bilionário.

Agora, se fixarmos qualquer fração numérica como constituindo a proporção que, para qualquer propósito, chamamos de relativamente pequena, podemos facilmente enunciar outras frações de um grau maior de pequenez. Assim, se, para fins de tempo, \(\frac{1}{60}\) for chamada de uma fração pequena, então \(\frac{1}{60}\) de \(\frac{1}{60}\) (sendo uma fração pequena de uma fração pequena) pode ser considerada como uma pequena quantidade de segunda ordem de pequenez.¹

Ou, se para qualquer propósito tomássemos \(1\) por cento (i.e. \(\frac{1}{100}\)) como uma fração pequena, então \(1\) por cento de \(1\) por cento (i.e. \(\frac{1}{10,000}\)) seria uma pequena fração de segunda ordem de pequenez; e \(\frac{1}{1,000,000}\) seria uma pequena fração de terceira ordem de pequenez, sendo \(1\) por cento de \(1\) por cento de \(1\) por cento.

Por último, suponha que para algum propósito muito preciso devêssemos considerar \(\frac{1}{1,000,000}\) como "pequeno". Assim, se um cronômetro de primeira linha não deve atrasar ou adiantar mais de meio minuto em um ano, ele deve manter o tempo com uma precisão de \(1\) parte em \(1,051,200\). Ora, se, para tal propósito, considerarmos \(\frac{1}{1,000,000}\) (ou um milionésimo) como uma quantidade pequena, então \(\frac{1}{1,000,000}\) de \(\frac{1}{1,000,000}\), isto é \(\frac{1}{1,000,000,000,000}\) (ou um trilionésimo) será uma quantidade pequena de segunda ordem de pequenez, e pode ser totalmente desconsiderada, por comparação.

Vemos então que quanto menor é a própria quantidade pequena, mais insignificante se torna a correspondente quantidade pequena de segunda ordem. Portanto, sabemos que em todos os casos temos justificativa para negligenciar as pequenas quantidades de segunda — ou terceira (ou superior) — ordens, desde que tomemos a pequena quantidade de primeira ordem pequena o suficiente em si mesma.

Mas, deve-se lembrar que pequenas quantidades, se ocorrerem em nossas expressões como fatores multiplicados por algum outro fator, podem se tornar importantes se o outro fator for, ele próprio, grande. Mesmo um centavo torna-se importante se for multiplicado por algumas centenas.

Agora, no cálculo, escrevemos \(dx\) para um pedacinho de \(x\). Essas coisas tais como \(dx\), e \(du\), e \(dy\), são chamadas de "diferenciais", a diferencial de \(x\), ou de \(u\), ou de \(y\), conforme o caso. [Você as lê como dê-xis, ou dê-u, ou dê-ípsilon.] Se \(dx\) for um pedacinho de \(x\), e relativamente pequeno em si mesmo, não se segue que tais quantidades como \(x \cdot dx\), ou \(x^2\, dx\), ou \(a^x\, dx\) sejam negligenciáveis. Mas \(dx \times dx\) seria negligenciável, sendo uma quantidade pequena de segunda ordem.

Um exemplo muito simples servirá como ilustração.

Vamos pensar em \(x\) como uma quantidade que pode crescer uma pequena quantia de modo a se tornar \(x + dx\), onde \(dx\) é o pequeno incremento adicionado pelo crescimento. O quadrado disso é \(x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2\). O segundo termo não é negligenciável porque é uma quantidade de primeira ordem; enquanto o terceiro termo é de segunda ordem de pequenez, sendo um pedacinho de um pedacinho de \(x^2\). Assim, se tomássemos \(dx\) significando numericamente, digamos, \(\frac{1}{60}\) de \(x\), então o segundo termo seria \(\frac{2}{60}\) de \(x^2\), ao passo que o terceiro termo seria \(\frac{1}{3600}\) de \(x^2\). Este último termo é claramente menos importante que o segundo. Mas se formos além e tomarmos \(dx\) significando apenas \(\frac{1}{1000}\) de \(x\), então o segundo termo será \(\frac{2}{1000}\) de \(x^2\), enquanto o terceiro termo será apenas \(\frac{1}{1,000,000}\) de \(x^2\).

Geometricamente isso pode ser representado da seguinte maneira: Desenhe um quadrado (Fig. 2.1) cujo lado tomaremos para representar \(x\).

Agora suponha que o quadrado cresça tendo um pedacinho \(dx\) adicionado ao seu tamanho em cada sentido. O quadrado aumentado é constituído pelo quadrado original \(x^2\), os dois retângulos no topo e à direita, cada um com área \(x \cdot dx\) (ou juntos \(2x \cdot dx\)), e o pequeno quadrado no canto superior direito que é \((dx)^2\). Na Fig. 2.2 tomamos \(dx\) como uma fração bem grande de \(x\) — cerca de \(\frac{1}{5}\).

Mas suponha que tivéssemos tomado apenas \(\frac{1}{100}\) — cerca da espessura de uma linha de tinta desenhada com uma caneta fina (Fig. 2.3). Então o pequeno quadrado do canto terá uma área de apenas \(\frac{1}{10,000}\) de \(x^2\), e será praticamente invisível. Claramente \((dx)^2\) é negligenciável desde que consideremos o incremento \(dx\) pequeno o suficiente em si mesmo.

Consideremos uma analogia.

Suponha que um milionário dissesse ao seu secretário: na próxima semana lhe darei uma pequena fração de qualquer dinheiro que entrar para mim. Suponha que o secretário dissesse ao seu garoto: darei a você uma pequena fração do que eu receber. Suponha que a fração em cada caso seja a \(\frac{1}{100}\) parte. Ora, se o Sr. Milionário recebesse durante a próxima semana $\(1000\), o secretário receberia $\(10\) e o garoto \(10\) centavos. Dez dólares seria uma quantidade pequena comparada a $\(1000\); mas 10 centavos é de fato uma quantidade pequena pequena, de uma ordem muito secundária. Mas qual seria a desproporção se a fração, em vez de ser \(\frac{1}{100}\), tivesse sido fixada na \(\frac{1}{1000}\) parte? Então, enquanto o Sr. Milionário ficasse com seus $\(1000\), o Sr. Secretário receberia apenas $\(1\), e o garoto 0,1 centavos!

O espirituoso Dean Swift² escreveu certa vez:

Pois, observam os Naturalistas, uma Pulga
Tem Pulgas menores que nela predam.
E estas têm Pulgas menores para mordê-las,
E assim procedem ad infinitum

Um boi pode se preocupar com uma pulga de tamanho comum — uma pequena criatura de primeira ordem de pequenez. Mas ele provavelmente não se incomodaria com a pulga da pulga; sendo de segunda ordem de pequenez, seria negligenciável. Mesmo uma grosa de pulgas de pulgas não seria de muita importância para o boi.

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Os matemáticos falam sobre a segunda ordem de "magnitude" (i.e. grandeza) quando na verdade querem dizer segunda ordem de pequenez. Isso é muito confuso para iniciantes.↩︎

On Poetry: a Rhapsody (página 20), impresso em 1733 — geralmente citado incorretamente.↩︎