Nous découvrirons que dans nos processus de calcul, nous devons traiter de petites quantités de différents degrés de petitesse.
Nous devrons également apprendre dans quelles circonstances nous pouvons considérer que de petites quantités sont si minimes que nous pouvons les omettre. Tout dépend de la petitesse relative.
Avant de fixer des règles, réfléchissons à quelques cas familiers. Il y a minutes dans une heure, heures dans une journée, jours dans une semaine. Il y a donc minutes dans une journée et minutes dans une semaine.
Évidemment, une minute est une quantité de temps très petite comparée à une semaine entière. En effet, nos ancêtres la considéraient petite par rapport à une heure et l'appelaient « une minute », signifiant une fraction minute — c’est-à-dire un soixantième — d’une heure. Quand ils ont eu besoin de subdivisions de temps encore plus petites, ils ont divisé chaque minute en parties encore plus petites, qu'au XVIe siècle, ils ont appelées « secondes minutes » (c’est-à-dire de petites quantités du second ordre de petitesse). De nos jours, nous appelons ces petites quantités du second ordre de petitesse « secondes ». Mais peu de gens savent pourquoi elles sont ainsi appelées.
Maintenant, si une minute est si petite comparée à une journée entière, à quel point une seconde est-elle plus petite en comparaison !
Encore une fois, pensez à un penny comparé à un billet de dix dollars : cela ne vaut que partie. Un penny de plus ou de moins est de peu d'importance par rapport à un billet de dix dollars : il peut certainement être considéré comme une quantité petite. Mais comparez un penny à : relativement à cette plus grande somme, le penny n'est pas plus important que d'un penny le serait pour un billet de dix dollars. Même 10,000 est relativement une quantité négligeable dans l’opulence d’un milliardaire.
Maintenant, si nous fixons une fraction numérique en tant que proportion que nous appelons pour quelque raison que ce soit relativement petite, nous pouvons facilement énoncer d'autres fractions de degré supérieur de petitesse. Ainsi, si, pour des fins de temps, ___MATH_BLOCK_10___ est appelé une fraction petite, alors ___MATH_BLOCK_11___ de ___MATH_BLOCK_12___ (étant une fraction petite d'une fraction petite) peut être considérée comme une petite quantité du second ordre de petitesse.1
Ou, si pour quelque raison que ce soit nous devions prendre ___MATH_BLOCK_13___ pourcent (c'est-à-dire ___MATH_BLOCK_14___) comme une fraction petite, alors ___MATH_BLOCK_15___ pourcent de ___MATH_BLOCK_16___ pourcent (c'est-à-dire ___MATH_BLOCK_17___) serait une fraction petite du second ordre de petitesse ; et ___MATH_BLOCK_18___ serait une fraction petite du troisième ordre de petitesse, étant ___MATH_BLOCK_19___ pourcent de ___MATH_BLOCK_20___ pourcent de ___MATH_BLOCK_21___ pourcent.
Enfin, supposons que pour une raison très précise nous devions considérer ___MATH_BLOCK_22___ comme « petit ». Ainsi, si un chronomètre de premier ordre ne doit pas perdre ou gagner plus d’une demi-minute en une année, il doit garder le temps avec une précision de ___MATH_BLOCK_23___ partie en ___MATH_BLOCK_24___. Maintenant, si, pour une telle raison, nous considérons ___MATH_BLOCK_25___ (ou un millionième) comme une petite quantité, alors ___MATH_BLOCK_26___ de ___MATH_BLOCK_27___, c’est-à-dire ___MATH_BLOCK_28___ (ou un billionième) sera une petite quantité du second ordre de petitesse, et peut être totalement négligée, en comparaison.
Ensuite, nous voyons que plus une petite quantité est petite, plus la quantité correspondante du second ordre devient négligeable. Ainsi, nous savons que dans tous les cas nous sommes justifiés de négliger les petites quantités du second — ou troisième (ou plus) — ordre, si seulement nous prenons la petite quantité du premier ordre suffisamment petite en elle-même.
Mais, il faut se rappeler que de petites quantités si elles apparaissent dans nos expressions comme des facteurs multipliés par un autre facteur, peuvent devenir importantes si l'autre facteur est lui-même grand. Même un penny devient important s'il est simplement multiplié par quelques centaines.
Maintenant, dans le calcul, nous écrivons ___MATH_BLOCK_29___ pour un petit morceau de ___MATH_BLOCK_30___. Ces choses telles que ___MATH_BLOCK_31___, et ___MATH_BLOCK_32___, et ___MATH_BLOCK_33___, sont appelées « différentiels », le différentiel de ___MATH_BLOCK_34___, ou de ___MATH_BLOCK_35___, ou de ___MATH_BLOCK_36___, selon le cas. [Vous les lisez comme dee-eks, ou dee-you, ou dee-wy.] Si ___MATH_BLOCK_37___ est un petit morceau de ___MATH_BLOCK_38___, et relativement petit en lui-même, cela ne signifie pas que des quantités telles que ___MATH_BLOCK_39___, ou ___MATH_BLOCK_40___, ou ___MATH_BLOCK_41___ sont négligeables. Mais ___MATH_BLOCK_42___ serait négligeable, étant une petite quantité du second ordre.
Un exemple très simple servira d'illustration.
Pensons à ___MATH_BLOCK_43___ comme une quantité qui peut croître d'une petite quantité pour devenir ___MATH_BLOCK_44___, où ___MATH_BLOCK_45___ est le petit incrément ajouté par la croissance. Le carré de cela est ___MATH_BLOCK_46___. Le deuxième terme n'est pas négligeable car c'est une quantité du premier ordre ; tandis que le troisième terme est du second ordre de petitesse, étant un peu d’un peu de ___MATH_BLOCK_47___. Ainsi, si nous prenons ___MATH_BLOCK_48___ pour signifier numériquement, disons, ___MATH_BLOCK_49___ de ___MATH_BLOCK_50___, alors le deuxième terme serait ___MATH_BLOCK_51___ de ___MATH_BLOCK_52___, tandis que le troisième terme serait ___MATH_BLOCK_53___ de ___MATH_BLOCK_54___. Ce dernier terme est clairement moins important que le second. Mais si nous allons plus loin et prenons ___MATH_BLOCK_55___ pour signifier seulement ___MATH_BLOCK_56___ de ___MATH_BLOCK_57___, alors le deuxième terme sera ___MATH_BLOCK_58___ de ___MATH_BLOCK_59___, tandis que le troisième terme sera seulement ___MATH_BLOCK_60___ de ___MATH_BLOCK_61___.
Géométriquement, cela peut être représenté comme suit : Dessinez un carré (Fig. 2.1) dont le côté représentera ___MATH_BLOCK_62___.
Supposons maintenant que le carré croisse en ajoutant un peu ___MATH_BLOCK_63___ à sa taille de chaque côté. Le carré agrandi est constitué du carré original ___MATH_BLOCK_64___, des deux rectangles en haut et à droite, dont chacun est d'une surface ___MATH_BLOCK_65___ (ou ensemble ___MATH_BLOCK_66___), et le petit carré en haut à droite qui est ___MATH_BLOCK_67___. Dans la Fig. 2.2, nous avons pris ___MATH_BLOCK_68___ comme une fraction assez grande de ___MATH_BLOCK_69___ — environ ___MATH_BLOCK_70___.
Mais supposons que nous l'ayons pris seulement ___MATH_BLOCK_71___ — à peu près l'épaisseur d'une ligne encrée dessinée avec un stylo fin (Fig. 2.3). Alors le petit carré d'angle aura une surface de seulement ___MATH_BLOCK_72___ de ___MATH_BLOCK_73___, et sera pratiquement invisible. Clairement ___MATH_BLOCK_74___ est négligeable si seulement nous considérons l'incrément ___MATH_BLOCK_75___ comme étant lui-même suffisamment petit.
Considérons une comparaison.
Supposons qu'un millionnaire dise à son secrétaire : la semaine prochaine, je te donnerai une petite fraction de toute l'argent qui me parviendra. Supposons que le secrétaire dise à son garçon : je te donnerai une petite fraction de ce que je reçois. Supposons que la fraction dans chaque cas soit ___MATH_BLOCK_76___ partie. Maintenant, si M. Millionnaire reçoit pendant la semaine suivante, le secrétaire recevrait $ et le garçon centimes. Dix dollars seraient une petite quantité comparée à $; mais 10 centimes sont une petite petite quantité en effet, d'un ordre très secondaire. Mais quelle serait la disproportion si la fraction, au lieu d'être , avait été fixée à partie ? Alors, tandis que M. Millionnaire obtenait ses $, M. Secrétaire obtiendrait seulement $, et le garçon 0,1 centime !
Le spirituel Doyen Swift2 a écrit une fois :
Donc, les naturalistes observent, une puce
A de plus petites puces qui la rongent.
Et celles-ci ont de plus petites puces pour les mordre,
Et ainsi de suite ad infinitum
Un bœuf pourrait se préoccuper d'une puce de taille ordinaire — une petite créature du premier ordre de petitesse. Mais il ne se donnerait probablement pas la peine d'une puce de puce ; étant du second ordre de petitesse, elle serait négligeable. Même une grosse douzaine de puces de puces ne serait pas de grande importance pour le bœuf.
