Des différents degrés de petitesse

Nous découvrirons que dans nos processus de calcul, nous devons traiter de petites quantités de différents degrés de petitesse.

Nous devrons également apprendre dans quelles circonstances nous pouvons considérer que de petites quantités sont si minimes que nous pouvons les omettre. Tout dépend de la petitesse relative.

Avant de fixer des règles, réfléchissons à quelques cas familiers. Il y a $60$ minutes dans une heure, $24$ heures dans une journée, $7$ jours dans une semaine. Il y a donc $1440$ minutes dans une journée et $10080$ minutes dans une semaine.

Évidemment, une $1$ minute est une quantité de temps très petite comparée à une semaine entière. En effet, nos ancêtres la considéraient petite par rapport à une heure et l'appelaient « une minute », signifiant une fraction minute — c’est-à-dire un soixantième — d’une heure. Quand ils ont eu besoin de subdivisions de temps encore plus petites, ils ont divisé chaque minute en $60$ parties encore plus petites, qu'au XVIe siècle, ils ont appelées « secondes minutes » (c’est-à-dire de petites quantités du second ordre de petitesse). De nos jours, nous appelons ces petites quantités du second ordre de petitesse « secondes ». Mais peu de gens savent pourquoi elles sont ainsi appelées.

Maintenant, si une minute est si petite comparée à une journée entière, à quel point une seconde est-elle plus petite en comparaison !

Encore une fois, pensez à un penny comparé à un billet de dix dollars : cela ne vaut que $\frac{1}{1000}$ partie. Un penny de plus ou de moins est de peu d'importance par rapport à un billet de dix dollars : il peut certainement être considéré comme une quantité petite. Mais comparez un penny à $\$10,000$ : relativement à cette plus grande somme, le penny n'est pas plus important que $\frac{1}{1000}$ d'un penny le serait pour un billet de dix dollars. Même $10,000 est relativement une quantité négligeable dans l’opulence d’un milliardaire.

Maintenant, si nous fixons une fraction numérique en tant que proportion que nous appelons pour quelque raison que ce soit relativement petite, nous pouvons facilement énoncer d'autres fractions de degré supérieur de petitesse. Ainsi, si, pour des fins de temps, $\frac{1}{60}$ est appelé une fraction petite, alors $\frac{1}{60}$ de $\frac{1}{60}$ (étant une fraction petite d'une fraction petite) peut être considérée comme une petite quantité du second ordre de petitesse.¹

Ou, si pour quelque raison que ce soit nous devions prendre $1$ pourcent (c'est-à-dire $\frac{1}{100}$) comme une fraction petite, alors $1$ pourcent de $1$ pourcent (c'est-à-dire $\frac{1}{10,000}$) serait une fraction petite du second ordre de petitesse ; et $\frac{1}{1,000,000}$ serait une fraction petite du troisième ordre de petitesse, étant $1$ pourcent de $1$ pourcent de $1$ pourcent.

Enfin, supposons que pour une raison très précise nous devions considérer $\frac{1}{1,000,000}$ comme « petit ». Ainsi, si un chronomètre de premier ordre ne doit pas perdre ou gagner plus d’une demi-minute en une année, il doit garder le temps avec une précision de $1$ partie en $1,051,200$. Maintenant, si, pour une telle raison, nous considérons $\frac{1}{1,000,000}$ (ou un millionième) comme une petite quantité, alors $\frac{1}{1,000,000}$ de $\frac{1}{1,000,000}$, c’est-à-dire $\frac{1}{1,000,000,000,000}$ (ou un billionième) sera une petite quantité du second ordre de petitesse, et peut être totalement négligée, en comparaison.

Ensuite, nous voyons que plus une petite quantité est petite, plus la quantité correspondante du second ordre devient négligeable. Ainsi, nous savons que dans tous les cas nous sommes justifiés de négliger les petites quantités du second — ou troisième (ou plus) — ordre, si seulement nous prenons la petite quantité du premier ordre suffisamment petite en elle-même.

Mais, il faut se rappeler que de petites quantités si elles apparaissent dans nos expressions comme des facteurs multipliés par un autre facteur, peuvent devenir importantes si l'autre facteur est lui-même grand. Même un penny devient important s'il est simplement multiplié par quelques centaines.

Maintenant, dans le calcul, nous écrivons $dx$ pour un petit morceau de $x$. Ces choses telles que $dx$, et $du$, et $dy$, sont appelées « différentiels », le différentiel de $x$, ou de $u$, ou de $y$, selon le cas. [Vous les lisez comme dee-eks, ou dee-you, ou dee-wy.] Si $dx$ est un petit morceau de $x$, et relativement petit en lui-même, cela ne signifie pas que des quantités telles que $x \cdot dx$, ou $x^2\, dx$, ou $a^x\, dx$ sont négligeables. Mais $dx \times dx$ serait négligeable, étant une petite quantité du second ordre.

Un exemple très simple servira d'illustration.

Pensons à $x$ comme une quantité qui peut croître d'une petite quantité pour devenir $x + dx$, où $dx$ est le petit incrément ajouté par la croissance. Le carré de cela est $x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2$. Le deuxième terme n'est pas négligeable car c'est une quantité du premier ordre ; tandis que le troisième terme est du second ordre de petitesse, étant un peu d’un peu de $x^2$. Ainsi, si nous prenons $dx$ pour signifier numériquement, disons, $\frac{1}{60}$ de $x$, alors le deuxième terme serait $\frac{2}{60}$ de $x^2$, tandis que le troisième terme serait $\frac{1}{3600}$ de $x^2$. Ce dernier terme est clairement moins important que le second. Mais si nous allons plus loin et prenons $dx$ pour signifier seulement $\frac{1}{1000}$ de $x$, alors le deuxième terme sera $\frac{2}{1000}$ de $x^2$, tandis que le troisième terme sera seulement $\frac{1}{1,000,000}$ de $x^2$.

Géométriquement, cela peut être représenté comme suit : Dessinez un carré (Fig. 2.1) dont le côté représentera $x$.

Supposons maintenant que le carré croisse en ajoutant un peu $dx$ à sa taille de chaque côté. Le carré agrandi est constitué du carré original $x^2$, des deux rectangles en haut et à droite, dont chacun est d'une surface $x \cdot dx$ (ou ensemble $2x \cdot dx$), et le petit carré en haut à droite qui est $(dx)^2$. Dans la Fig. 2.2, nous avons pris $dx$ comme une fraction assez grande de $x$ — environ $\frac{1}{5}$.

Mais supposons que nous l'ayons pris seulement $\frac{1}{100}$ — à peu près l'épaisseur d'une ligne encrée dessinée avec un stylo fin (Fig. 2.3). Alors le petit carré d'angle aura une surface de seulement $\frac{1}{10,000}$ de $x^2$, et sera pratiquement invisible. Clairement $(dx)^2$ est négligeable si seulement nous considérons l'incrément $dx$ comme étant lui-même suffisamment petit.

Considérons une comparaison.

Supposons qu'un millionnaire dise à son secrétaire : la semaine prochaine, je te donnerai une petite fraction de toute l'argent qui me parviendra. Supposons que le secrétaire dise à son garçon : je te donnerai une petite fraction de ce que je reçois. Supposons que la fraction dans chaque cas soit $\frac{1}{100}$ partie. Maintenant, si M. Millionnaire reçoit pendant la semaine suivante $$1000$, le secrétaire recevrait $$10$ et le garçon $10$ centimes. Dix dollars seraient une petite quantité comparée à $$1000$; mais 10 centimes sont une petite petite quantité en effet, d'un ordre très secondaire. Mais quelle serait la disproportion si la fraction, au lieu d'être $\frac{1}{100}$, avait été fixée à $\frac{1}{1000}$ partie ? Alors, tandis que M. Millionnaire obtenait ses $$1000$, M. Secrétaire obtiendrait seulement $$1$, et le garçon 0,1 centime !

Le spirituel Doyen Swift² a écrit une fois :

Donc, les naturalistes observent, une puce
A de plus petites puces qui la rongent.
Et celles-ci ont de plus petites puces pour les mordre,
Et ainsi de suite ad infinitum

Un bœuf pourrait se préoccuper d'une puce de taille ordinaire — une petite créature du premier ordre de petitesse. Mais il ne se donnerait probablement pas la peine d'une puce de puce ; étant du second ordre de petitesse, elle serait négligeable. Même une grosse douzaine de puces de puces ne serait pas de grande importance pour le bœuf.