论微小的不同程度

我们会发现在计算过程中，我们必须处理各种微小程度的微小量。

我们还将了解在什么情况下，我们可以认为某些微小量小到可以忽略不计。一切都取决于相对微小程度。

在确定任何规则之前，让我们先思考一些熟悉的例子。一小时有 $60$ 分钟，一天有 $24$ 小时，一周有 $7$ 天。因此，一天有 $1440$ 分钟，一周有 $10080$ 分钟。

显然，与一整周相比，$1$ 分钟是一个非常微小的时间量。事实上，我们的祖先认为与一小时相比它很小，并称之为“一分钟”，意思是一小时的微小部分——即六十分之一。当需要更小的时间细分时，他们将每分钟分成 $60$ 个更小的部分，在16世纪，他们称之为“第二分钟”（即微小程度的第二级微小量）。如今，我们把这些第二级微小的量称为“秒”。但很少有人知道为什么这样称呼。

既然一分钟与一整天相比如此之小，那么一秒相比之下又该小多少呢！

再想想一便士与一张十美元钞票相比：它只值 $\frac{1}{1000}$ 部分。与十美元钞票相比，多一便士或少一便士都微不足道：它当然可以被视为一个微小量。但是，将一便士与 $\mathrm{\$}10,000$ 相比：相对于这个更大的数额，一便士的重要性，仅相当于十美元钞票的 $\frac{1}{1000}$ 的一便士。即使 $10,000 在亿万富翁的财富中也相对可以忽略不计。

现在，如果我们确定某一个数值分数，作为为任何目的而称为相对微小的比例，那么我们就可以轻易地表述出更高微小程度的其他分数。因此，如果为了时间的目的，将 $\frac{1}{60}$ 称为一个微小分数，那么 $\frac{1}{60}$ 的 $\frac{1}{60}$（即微小分数的微小分数）可以被视为微小程度的第二级微小量。¹

或者，如果为了任何目的，我们将 $1$ %（即 $\frac{1}{100}$）视为一个微小分数，那么 $1$ % 的 $1$ %（即 $\frac{1}{10,000}$）将是第二级微小的微小分数；而 $\frac{1}{1,000,000}$ 将是第三级微小的微小分数，也就是 $1$ % 的 $1$ % 的 $1$ %。

最后，假设为了某个非常精确的目的，我们将 $\frac{1}{1,000,000}$ 视为“微小”。这样，如果一台一流的天文钟一年内误差不超过半分钟，它就必须以 $1$ 分之 $1,051,200$ 的精度计时。那么，如果为了这样的目的，我们将 $\frac{1}{1,000,000}$（即百万分之一）视为一个微小量，那么 $\frac{1}{1,000,000}$ 的 $\frac{1}{1,000,000}$，也就是 $\frac{1}{1,000,000,000,000}$（即万亿分之一）将是第二级微小的微小量，并且相比之下可以完全忽略不计。

于是我们看到，一个微小量本身越小，相应的第二级微小量就越发可以忽略不计。因此我们知道，只要我们把第一级微小量本身取得足够小，我们就有理由在所有情况下忽略第二级或第三级（或更高级）的微小量。

但是，必须记住，如果微小量在我们的表达式中作为乘以某个其他因子的因子出现，而其他因子本身很大，那么它们可能变得重要。即使是一便士，只要乘以几百倍，也会变得重要。

在微积分中，我们将 $x$ 的一小段写成 $dx$。像 $dx$、$du$、$dy$ 这样的东西被称为“微分”，即 $x$ 的微分、$u$ 的微分或 $y$ 的微分，视情况而定。[你读作 dee-eks，或 dee-you，或 dee-wy。] 如果 $dx$ 是 $x$ 的一小段，并且本身相对较小，那么像 $x\cdot dx$、$x^{2}dx$ 或 $a^{x}dx$ 这样的量就未必可以忽略。但是 $dx\times dx$ 可以忽略，因为它是一个第二级微小量。

一个非常简单的例子可以作为说明。

让我们把 $x$ 看作一个可以通过微小增量增长的量，从而变成 $x+dx$，其中 $dx$ 是增长所增加的小增量。它的平方是 $x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2$。第二项不可忽略，因为它是一阶量；而第三项是第二级微小量，即 $x^2$ 的一点、一点。因此，如果我们取 $dx$ 的数值意义为，比如说 $x$ 的 $\frac{1}{60}$，那么第二项将是 $x^2$ 的 $\frac{2}{60}$，而第三项将是 $x^2$ 的 $\frac{1}{3600}$。显然，这最后一项不如第二项重要。但如果我们进一步，取 $dx$ 仅表示 $x$ 的 $\frac{1}{1000}$，那么第二项将是 $x^2$ 的 $\frac{2}{1000}$，而第三项仅为 $x^2$ 的 $\frac{1}{1,000,000}$。

从几何上看，这可以描述如下：画一个正方形（图 2.1），我们将其边长取为表示 $x$。

现在假设这个正方形在每个方向上都增加一个小段 $dx$ 从而变大。扩大的正方形由原来的正方形 $x^2$、顶部和右侧的两个矩形（每个面积为 $x\cdot dx$，合计 $2x\cdot dx$）以及右上角的小正方形 $(dx{)}^2$ 组成。在图 2.2 中，我们将 $dx$ 取为 $x$ 的相当大的一个分数——大约 $\frac{1}{5}$。

但是，假设我们只取了 $\frac{1}{100}$——大约是用细笔画出的墨线粗细（图 2.3）。那么角落的小正方形的面积仅为 $x^2$ 的 $\frac{1}{10,000}$，几乎看不见。显然，只要我们认为增量 $dx$ 本身足够小，$(dx{)}^2$ 就可以忽略不计。

让我们考虑一个比喻。

假设一个百万富翁对他的秘书说：下周我将把我收到的任何钱的一小部分给你。假设秘书对他的侍从说：我将把我得到的一小部分给你。假设每次的比例都是 $\frac{1}{100}$。那么，如果百万富翁先生下周收到 $$1000$，秘书将收到 $$10$，而侍从将得到 $10$ 美分。十美元与 $$1000$ 相比是一个小量；但 10 美分确实是一个非常小的量，属于非常次要的级别。但是如果这个分数不是 $\frac{1}{100}$，而是定为 $\frac{1}{1000}$ 的话，那又会是多么不成比例啊！那么，当百万富翁先生得到他的 $$1000$ 时，秘书先生只能得到 $$1$，而侍从只能得到 0.1 美分！

机智的斯威夫特院长² 曾写道：

自然主义者观察到，一只跳蚤
身上有更小的跳蚤捕食它。
而这些又有更小的跳蚤来咬它们，
如此这般以至无穷。

一头牛可能会为一只普通大小的跳蚤而烦恼——一个第一级微小的微小生物。但它大概不会为一只跳蚤的跳蚤而烦恼；因为属于第二级微小，所以可以忽略不计。即使是一大群跳蚤的跳蚤，对牛来说也无足轻重。