论微小的不同程度

我们会发现在计算过程中，我们必须处理各种微小程度的微小量。

我们还将了解在什么情况下，我们可以认为某些微小量小到可以忽略不计。一切都取决于相对微小程度。

在确定任何规则之前，让我们先思考一些熟悉的例子。一小时有 $60$ 分钟，一天有 $24$ 小时，一周有 $7$ 天。因此，一天有 $1440$ 分钟，一周有 $10080$ 分钟。

显然，与一整周相比， $1$ 分钟是一个非常微小的时间量。事实上，我们的祖先认为与一小时相比它很小，并称之为“一分钟”，意思是一小时的微小部分——即六十分之一。当需要更小的时间细分时，他们将每分钟分成 $60$ 个更小的部分，在16世纪，他们称之为“第二分钟”（即微小程度的第二级微小量）。如今，我们把这些第二级微小的量称为“秒”。但很少有人知道为什么这样称呼。

既然一分钟与一整天相比如此之小，那么一秒相比之下又该小多少呢！

再想想一便士与一张十美元钞票相比：它只值 $\frac{1}{1000}$ 部分。与十美元钞票相比，多一便士或少一便士都微不足道：它当然可以被视为一个微小量。但是，将一便士与 $$ 10, 000$ 相比：相对于这个更大的数额，一便士的重要性，仅相当于十美元钞票的 $\frac{1}{1000}$ 的一便士。即使 $10,000 在亿万富翁的财富中也相对可以忽略不计。现在，如果我们确定某一个数值分数，作为为任何目的而称为相对微小的比例，那么我们就可以轻易地表述出更高微小程度的其他分数。因此，如果为了时间的目的，将 ___MATH_BLOCK_10___ 称为一个微小分数，那么 ___MATH_BLOCK_11___ 的 ___MATH_BLOCK_12___（即微小分数的微小分数）可以被视为微小程度的第二级微小量。<a class="footnote-ref" href="#fn1" id="fnref1" role="doc-noteref">1</a>或者，如果为了任何目的，我们将 ___MATH_BLOCK_13___ %（即 ___MATH_BLOCK_14___）视为一个微小分数，那么 ___MATH_BLOCK_15___ % 的 ___MATH_BLOCK_16___ %（即 ___MATH_BLOCK_17___）将是第二级微小的微小分数；而 ___MATH_BLOCK_18___ 将是第三级微小的微小分数，也就是 ___MATH_BLOCK_19___ % 的 ___MATH_BLOCK_20___ % 的 ___MATH_BLOCK_21___ %。最后，假设为了某个非常精确的目的，我们将 ___MATH_BLOCK_22___ 视为“微小”。这样，如果一台一流的天文钟一年内误差不超过半分钟，它就必须以 ___MATH_BLOCK_23___ 分之 ___MATH_BLOCK_24___ 的精度计时。那么，如果为了这样的目的，我们将 ___MATH_BLOCK_25___（即百万分之一）视为一个微小量，那么 ___MATH_BLOCK_26___ 的 ___MATH_BLOCK_27___，也就是 ___MATH_BLOCK_28___（即万亿分之一）将是第二级微小的微小量，并且相比之下可以完全忽略不计。于是我们看到，一个微小量本身越小，相应的第二级微小量就越发可以忽略不计。因此我们知道，只要我们把第一级微小量本身取得足够小，我们就有理由在所有情况下忽略第二级或第三级（或更高级）的微小量。但是，必须记住，如果微小量在我们的表达式中作为乘以某个其他因子的因子出现，而其他因子本身很大，那么它们可能变得重要。即使是一便士，只要乘以几百倍，也会变得重要。在微积分中，我们将 ___MATH_BLOCK_29___ 的一小段写成 ___MATH_BLOCK_30___。像 ___MATH_BLOCK_31___、___MATH_BLOCK_32___、___MATH_BLOCK_33___ 这样的东西被称为“微分”，即 ___MATH_BLOCK_34___ 的微分、___MATH_BLOCK_35___ 的微分或 ___MATH_BLOCK_36___ 的微分，视情况而定。[你读作 dee-eks，或 dee-you，或 dee-wy。] 如果 ___MATH_BLOCK_37___ 是 ___MATH_BLOCK_38___ 的一小段，并且本身相对较小，那么像 ___MATH_BLOCK_39___、___MATH_BLOCK_40___ 或 ___MATH_BLOCK_41___ 这样的量就未必可以忽略。但是 ___MATH_BLOCK_42___ 可以忽略，因为它是一个第二级微小量。一个非常简单的例子可以作为说明。让我们把 ___MATH_BLOCK_43___ 看作一个可以通过微小增量增长的量，从而变成 ___MATH_BLOCK_44___，其中 ___MATH_BLOCK_45___ 是增长所增加的小增量。它的平方是 ___MATH_BLOCK_46___。第二项不可忽略，因为它是一阶量；而第三项是第二级微小量，即 ___MATH_BLOCK_47___ 的一点、一点。因此，如果我们取 ___MATH_BLOCK_48___ 的数值意义为，比如说 ___MATH_BLOCK_49___ 的 ___MATH_BLOCK_50___，那么第二项将是 ___MATH_BLOCK_51___ 的 ___MATH_BLOCK_52___，而第三项将是 ___MATH_BLOCK_53___ 的 ___MATH_BLOCK_54___。显然，这最后一项不如第二项重要。但如果我们进一步，取 ___MATH_BLOCK_55___ 仅表示 ___MATH_BLOCK_56___ 的 ___MATH_BLOCK_57___，那么第二项将是 ___MATH_BLOCK_58___ 的 ___MATH_BLOCK_59___，而第三项仅为 ___MATH_BLOCK_60___ 的 ___MATH_BLOCK_61___。从几何上看，这可以描述如下：画一个正方形（图 <a href="#fig:fig1" data-reference-type="ref" data-reference="fig:fig1">2.1</a>），我们将其边长取为表示 ___MATH_BLOCK_62___。<figure id="fig:fig1"><figure class="image"><img style="aspect-ratio:350/346;" src="/book-images/CME/Fig1.svg" width="350" height="346"></figure><figcaption>图 2.1</figcaption></figure>现在假设这个正方形在每个方向上都增加一个小段 ___MATH_BLOCK_63___ 从而变大。扩大的正方形由原来的正方形 ___MATH_BLOCK_64___、顶部和右侧的两个矩形（每个面积为 ___MATH_BLOCK_65___，合计 ___MATH_BLOCK_66___）以及右上角的小正方形 ___MATH_BLOCK_67___ 组成。在图 <a href="#fig:fig2" data-reference-type="ref" data-reference="fig:fig2">2.2</a> 中，我们将 ___MATH_BLOCK_68___ 取为 ___MATH_BLOCK_69___ 的相当大的一个分数——大约 ___MATH_BLOCK_70___。<figure id="fig:fig2"><figure class="image"><img style="aspect-ratio:350/340;" src="/book-images/CME/Fig2.svg" width="350" height="340"></figure><figcaption>图 2.2</figcaption></figure>但是，假设我们只取了 ___MATH_BLOCK_71___——大约是用细笔画出的墨线粗细（图 <a href="#fig:fig3" data-reference-type="ref" data-reference="fig:fig3">2.3</a>）。那么角落的小正方形的面积仅为 ___MATH_BLOCK_72___ 的 ___MATH_BLOCK_73___，几乎看不见。显然，只要我们认为增量 ___MATH_BLOCK_74___ 本身足够小，___MATH_BLOCK_75___ 就可以忽略不计。<figure id="fig:fig3"><figure class="image"><img style="aspect-ratio:350/306;" src="/book-images/CME/Fig3.svg" width="350" height="306"></figure><figcaption>图 2.3</figcaption></figure>让我们考虑一个比喻。假设一个百万富翁对他的秘书说：下周我将把我收到的任何钱的一小部分给你。假设秘书对他的侍从说：我将把我得到的一小部分给你。假设每次的比例都是 ___MATH_BLOCK_76___。那么，如果百万富翁先生下周收到$ $1000$ ，秘书将收到 $ $10$ ，而侍从将得到 $10$ 美分。十美元与 $ $1000$ 相比是一个小量；但 10 美分确实是一个非常小的量，属于非常次要的级别。但是如果这个分数不是 $\frac{1}{100}$ ，而是定为 $\frac{1}{1000}$ 的话，那又会是多么不成比例啊！那么，当百万富翁先生得到他的 $___MATH_BLOCK_83___ 时，秘书先生只能得到$ $1$ ，而侍从只能得到 0.1 美分！

机智的斯威夫特院长² 曾写道：

自然主义者观察到，一只跳蚤
身上有更小的跳蚤捕食它。
而这些又有更小的跳蚤来咬它们，
如此这般以至无穷。

一头牛可能会为一只普通大小的跳蚤而烦恼——一个第一级微小的微小生物。但它大概不会为一只跳蚤的跳蚤而烦恼；因为属于第二级微小，所以可以忽略不计。即使是一大群跳蚤的跳蚤，对牛来说也无足轻重。