دربارهٔ درجات مختلف کوچکی

خواهیم یافت که در فرآیندهای محاسباتی خود باید با کمیت‌های کوچکی با درجات مختلف کوچکی سروکار داشته باشیم.

همچنین باید بیاموزیم که تحت چه شرایطی می‌توانیم کمیت‌های کوچک را چنان ناچیز در نظر بگیریم که بتوانیم آن‌ها را از بررسی حذف کنیم. همه چیز به کوچکی نسبی بستگی دارد.

پیش از آنکه قاعده‌ای وضع کنیم، اجازه دهید به چند مورد آشنا بیندیشیم. در هر ساعت $60$ دقیقه، در هر روز $24$ ساعت و در هر هفته $7$ روز وجود دارد. بنابراین در هر روز $1440$ دقیقه و در هر هفته $10080$ دقیقه وجود دارد.

بدیهی است که $1$ دقیقه در مقایسه با یک هفته کامل، کمیت زمانی بسیار کوچکی است. در واقع، نیاکان ما آن را در مقایسه با یک ساعت کوچک می‌دانستند و آن را «یک دقیقه» نامیدند، به معنای کسری کوچک — یعنی یک شصتم — از یک ساعت. هنگامی که آن‌ها به زیرتقسیم‌های کوچک‌تری از زمان نیاز یافتند، هر دقیقه را به $60$ بخش کوچک‌تر تقسیم کردند که در قرن شانزدهم آن‌ها را «دقیقه‌های دوم» نامیدند (یعنی کمیت‌های کوچکی از مرتبه دوم کوچکی). امروزه ما این کمیت‌های کوچک از مرتبه دوم کوچکی را «ثانیه» می‌نامیم. اما اندکی از مردم می‌دانند که چرا آن‌ها چنین نامیده شده‌اند.

حال اگر یک دقیقه در مقایسه با یک روز کامل این‌قدر کوچک باشد، یک ثانیه در مقایسه چقدر کوچک‌تر است!

باز هم بیندیشید به یک پنی در مقایسه با یک اسکناس ده دلاری: ارزش آن تنها $\frac{1}{1000}$ بخش است. یک پنی کم یا زیاد در مقایسه با یک اسکناس ده دلاری اهمیتی بسیار ناچیز دارد: بی‌گمان می‌توان آن را کمیتی کوچک در نظر گرفت. اما یک پنی را با $\mathrm{\$}10,000$ مقایسه کنید: نسبت به این مبلغ بزرگ‌تر، یک پنی اهمیتی بیش از $\frac{1}{1000}$ یک پنی در برابر یک اسکناس ده دلاری ندارد. حتی ۱۰,۰۰۰ دلار نیز نسبت به ثروت یک میلیاردر کمیتی قابل صرف‌نظر است.

حال اگر کسر عددی معینی را به عنوان نسبتی که برای هر منظوری آن را نسبتاً کوچک می‌نامیم انتخاب کنیم، می‌توانیم به سادگی کسرهای دیگری با درجه بالاتری از کوچکی را بیان کنیم. بنابراین اگر، برای هدف زمان، $\frac{1}{60}$ را کسری کوچک بنامیم، آنگاه $\frac{1}{60}$ از $\frac{1}{60}$ (که کسری کوچک از کسری کوچک است) را می‌توان کمیتی کوچک از مرتبه دوم کوچکی در نظر گرفت.¹

یا، اگر برای هر منظوری قرار باشد $1$ درصد (یعنی $\frac{1}{100}$) را به عنوان کسری کوچک در نظر بگیریم، آنگاه $1$ درصد از $1$ درصد (یعنی $\frac{1}{10,000}$) کسری کوچک از مرتبه دوم کوچکی خواهد بود؛ و $\frac{1}{1,000,000}$ کسری کوچک از مرتبه سوم کوچکی خواهد بود، که $1$ درصد از $1$ درصد از $1$ درصد است.

سرانجام، فرض کنید که برای هدفی بسیار دقیق می‌بایست $\frac{1}{1,000,000}$ را «کوچک» در نظر بگیریم. بنابراین، اگر یک زمان‌سنج درجه‌یک نباید در یک سال بیش از نیم دقیقه جلو یا عقب بیفتد، باید زمان را با دقت $1$ بخش از $1,051,200$ نگه دارد. حال اگر، برای چنین هدفی، $\frac{1}{1,000,000}$ (یا یک میلیونیم) را کمیتی کوچک در نظر بگیریم، آنگاه $\frac{1}{1,000,000}$ از $\frac{1}{1,000,000}$، یعنی $\frac{1}{1,000,000,000,000}$ (یا یک تریلیونیم) کمیتی کوچک از مرتبه دوم کوچکی خواهد بود و می‌توان به طور کامل از آن صرف‌نظر کرد.

آنگاه می‌بینیم که هرچه خود یک کمیت کوچک کوچک‌تر باشد، کمیت کوچک متناظر از مرتبه دوم ناچیزتر می‌شود. از این رو درمی‌یابیم که در همه مواردی که تنها خودِ کمیت کوچکِ مرتبه اول به قدر کافی کوچک در نظر گرفته شود، مجازیم که از کمیت‌های کوچکِ مرتبه دوم — یا سوم (یا بالاتر) — صرف‌نظر کنیم.

اما، باید به خاطر داشت که کمیت‌های کوچک اگر در عبارات ما به عنوان عواملی که در عامل دیگری ضرب شده‌اند ظاهر شوند، ممکن است در صورتی که عامل دیگر خود بزرگ باشد، مهم شوند. حتی یک پنی هم اگر در چند صد ضرب شود مهم می‌شود.

اکنون در حسابان ما $dx$ را برای بخش کوچکی از $x$ می‌نویسیم. این چیزها مانند $dx$، و $du$، و $dy$، «دیفرانسیل» نامیده می‌شوند، دیفرانسیل $x$، یا $u$، یا $y$، بسته به مورد. [شما آن‌ها را دِ-ایکس، یا دِ-یو، یا دِ-وای می‌خوانید.] اگر $dx$ بخش کوچکی از $x$ و به خودی خود نسبتاً کوچک باشد، نتیجه نمی‌شود که کمیت‌هایی مانند $x\cdot dx$، یا $x^{2}dx$، یا $a^{x}dx$ قابل صرف‌نظر باشند. اما $dx\times dx$ قابل صرف‌نظر خواهد بود، چرا که کمیتی کوچک از مرتبه دوم است.

مثالی بسیار ساده به عنوان تصویر مطرح می‌شود.

اجازه دهید $x$ را کمیتی در نظر بگیریم که می‌تواند به اندازه‌ای کوچک رشد کند به گونه‌ای که به $x+dx$ تبدیل شود، جایی که $dx$ افزایش کوچک افزوده‌شده بر اثر رشد است. مربع این عبارت $x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2$ است. جمله دوم قابل صرف‌نظر نیست زیرا کمیتی از مرتبه اول است؛ در حالی که جمله سوم از مرتبه دوم کوچکی است، چرا که بخشی از، بخشی از $x^2$ است. بنابراین اگر $dx$ را به طور عددی، مثلاً، $\frac{1}{60}$ از $x$ در نظر بگیریم، آنگاه جمله دوم $\frac{2}{60}$ از $x^2$ خواهد بود، در حالی که جمله سوم $\frac{1}{3600}$ از $x^2$ خواهد بود. این جمله آخر به وضوح کم‌اهمیت‌تر از جمله دوم است. اما اگر جلوتر برویم و $dx$ را فقط $\frac{1}{1000}$ از $x$ در نظر بگیریم، آنگاه جمله دوم $\frac{2}{1000}$ از $x^2$ خواهد بود، در حالی که جمله سوم تنها $\frac{1}{1,000,000}$ از $x^2$ خواهد بود.

از نظر هندسی این مطلب را می‌توان چنین به تصویر کشید: مربعی رسم کنید (شکل 2.1) که ضلع آن را نماینده $x$ در نظر می‌گیریم.

حال فرض کنید مربع با افزودن بخش $dx$ به اندازه خود از هر طرف رشد کند. مربع بزرگ‌شده از مربع اصلی $x^2$، دو مستطیل در بالا و راست که هر یک مساحت $x\cdot dx$ دارند (یا روی هم $2x\cdot dx$)، و مربع کوچک در گوشه بالا سمت راست که $(dx{)}^2$ است تشکیل شده است. در شکل 2.2 ما $dx$ را کسر نسبتاً بزرگی از $x$ در نظر گرفته‌ایم — حدود $\frac{1}{5}$.

اما فرض کنید آن را تنها $\frac{1}{100}$ در نظر گرفته بودیم — حدود ضخامت یک خط جوهری که با قلمی نازک کشیده شده باشد (شکل 2.3). آنگاه مربع گوشه کوچک مساحتی تنها برابر $\frac{1}{10,000}$ از $x^2$ خواهد داشت و عملاً نامرئی خواهد بود. به وضوح $(dx{)}^2$ قابل صرف‌نظر است اگر تنها خودِ افزایش $dx$ را به قدر کافی کوچک در نظر بگیریم.

اجازه دهید تشبیهی را در نظر بگیریم.

فرض کنید یک میلیونر به منشی خود بگوید: هفته آینده بخش کوچکی از هر پولی که به دستم برسد را به تو خواهم داد. فرض کنید که منشی به پسر خدمتکارش بگوید: بخش کوچکی از آنچه می‌گیرم را به تو خواهم داد. فرض کنید کسر در هر مورد $\frac{1}{100}$ بخش باشد. حال اگر آقای میلیونر در طول هفته بعد ۱۰۰۰ دلار دریافت کند، منشی ۱۰ دلار و پسر ۱۰ سنت دریافت خواهد کرد. ده دلار در مقایسه با ۱۰۰۰ دلار کمیتی کوچک خواهد بود؛ اما ۱۰ سنت در واقع کمیتی کوچکِ کوچک، از مرتبه‌ای بسیار ثانویه است. اما اگر کسر به جای $\frac{1}{100}$، $\frac{1}{1000}$ بخش تعیین شده بود، چه تناسبی برقرار می‌شد؟ آنگاه، در حالی که آقای میلیونر ۱۰۰۰ دلار خود را می‌گرفت، آقای منشی تنها ۱ دلار دریافت می‌کرد و پسر ۰.۱ سنت!

دین سوئیفت شوخ‌طبع² زمانی نوشت:

پس، طبیعی‌دانان مشاهده می‌کنند، یک کک
کک‌های کوچک‌تری دارد که بر او طعمه می‌شوند.
و این‌ها کک‌های کوچک‌تری برای گزیدن خود دارند،
و همین‌طور تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد.

یک گاو نر ممکن است نگران ککی با اندازه معمولی باشد — موجودی کوچک از مرتبه اول کوچکی. اما او احتمالاً خود را به زحمت ککِ کک نمی‌اندازد؛ چون از مرتبه دوم کوچکی است، قابل صرف‌نظر خواهد بود. حتی یک جین از کک‌های کک‌ها هم برای گاو نر اهمیت چندانی نخواهد داشت.