Sobre los distintos grados de pequeñez

Veremos que en nuestros procesos de cálculo tenemos que tratar con pequeñas cantidades de varios grados de pequeñez.

Tendremos que aprender también bajo qué circunstancias podemos considerar las pequeñas cantidades como tan diminutas que podemos omitirlas de la consideración. Todo depende de la pequeñez relativa.

Antes de fijar cualquier regla, pensemos en algunos casos familiares. Hay $60$ minutos en la hora, $24$ horas en el día, $7$ días en la semana. Por lo tanto, hay $1440$ minutos en el día y $10080$ minutos en la semana.

Obviamente, $1$ minuto es una cantidad muy pequeña de tiempo en comparación con una semana completa. De hecho, nuestros antepasados lo consideraban pequeño en comparación con una hora, y lo llamaron “un minuto”, significando una fracción diminuta—es decir, una sesentava parte—de una hora. Cuando llegaron a necesitar subdivisiones de tiempo aún más pequeñas, dividieron cada minuto en $60$ partes aún más pequeñas, que, en el siglo XVI, llamaron “segundos minutos” (es decir, pequeñas cantidades del segundo orden de pequeñez). Hoy en día llamamos a estas pequeñas cantidades del segundo orden de pequeñez “segundos”. Pero pocas personas saben por qué se les llama así.

Ahora, si un minuto es tan pequeño en comparación con un día completo, ¡cuánto más pequeño es un segundo en comparación!

Nuevamente, piense en un centavo en comparación con un billete de diez dólares: solo vale $\frac{1}{1000}$ parte. Un centavo más o menos tiene muy poca importancia en comparación con un billete de diez dólares: ciertamente se puede considerar como una cantidad pequeña. Pero compare un centavo con $\mathrm{\$}10,000$: en relación con esta suma mayor, el centavo no tiene más importancia que $\frac{1}{1000}$ de un centavo tendría para un billete de diez dólares. Incluso $1000$, el secretario recibiría $$10$ y el niño $10$ centavos. Diez dólares serían una cantidad pequeña en comparación con $$1000$; pero 10 centavos es una cantidad muy pequeña, de un orden muy secundario. Pero, ¿cuál sería la desproporción si la fracción, en lugar de ser $\frac{1}{100}$, hubiera sido establecida en $\frac{1}{1000}$ parte? Entonces, mientras el Sr. Millonario obtenía su $$1000$, el Sr. Secretario recibiría solo $$1$, y el niño 0.1 centavos!

El ingenioso Dean Swift² una vez escribió:

Así, los Naturalistas observan, una Pulga
Tiene pulgas más pequeñas que de él se alimentan.
Y estas tienen pulgas más pequeñas que las muerden,
Y así prosiguen ad infinitum

Un buey podría preocuparse por una pulga de tamaño ordinario—una pequeña criatura del primer orden de pequeñez. Pero probablemente no se preocupe por una pulga de pulga; siendo del segundo orden de pequeñez, sería insignificante. Incluso una gruesa de pulgas de pulgas no tendría mucha importancia para el buey.