Sobre los distintos grados de pequeñez

Veremos que en nuestros procesos de cálculo tenemos que tratar con pequeñas cantidades de varios grados de pequeñez.

Tendremos que aprender también bajo qué circunstancias podemos considerar las pequeñas cantidades como tan diminutas que podemos omitirlas de la consideración. Todo depende de la pequeñez relativa.

Antes de fijar cualquier regla, pensemos en algunos casos familiares. Hay $60$ minutos en la hora, $24$ horas en el día, $7$ días en la semana. Por lo tanto, hay $1440$ minutos en el día y $10080$ minutos en la semana.

Obviamente, $1$ minuto es una cantidad muy pequeña de tiempo en comparación con una semana completa. De hecho, nuestros antepasados lo consideraban pequeño en comparación con una hora, y lo llamaron “un minuto”, significando una fracción diminuta—es decir, una sesentava parte—de una hora. Cuando llegaron a necesitar subdivisiones de tiempo aún más pequeñas, dividieron cada minuto en $60$ partes aún más pequeñas, que, en el siglo XVI, llamaron “segundos minutos” (es decir, pequeñas cantidades del segundo orden de pequeñez). Hoy en día llamamos a estas pequeñas cantidades del segundo orden de pequeñez “segundos”. Pero pocas personas saben por qué se les llama así.

Ahora, si un minuto es tan pequeño en comparación con un día completo, ¡cuánto más pequeño es un segundo en comparación!

Nuevamente, piense en un centavo en comparación con un billete de diez dólares: solo vale $\frac{1}{1000}$ parte. Un centavo más o menos tiene muy poca importancia en comparación con un billete de diez dólares: ciertamente se puede considerar como una cantidad pequeña. Pero compare un centavo con $\$10,000$: en relación con esta suma mayor, el centavo no tiene más importancia que $\frac{1}{1000}$ de un centavo tendría para un billete de diez dólares. Incluso $10,000 es relativamente una cantidad despreciable en la riqueza de un multimillonario.

Ahora, si nos decidimos por cualquier fracción numérica que constituya la proporción que para cualquier propósito llamamos relativamente pequeña, podemos fácilmente afirmar otras fracciones de un grado superior de pequeñez. Así, si, para el propósito del tiempo, $\frac{1}{60}$ se llama una fracción pequeña, entonces $\frac{1}{60}$ de $\frac{1}{60}$ (siendo una fracción pequeña de una fracción pequeña) puede considerarse como una cantidad del segundo orden de pequeñez.¹

O, si para cualquier propósito tomáramos $1$ por ciento (es decir, $\frac{1}{100}$) como una fracción pequeña, entonces $1$ por ciento de $1$ por ciento (es decir, $\frac{1}{10,000}$) sería una fracción pequeña del segundo orden de pequeñez; y $\frac{1}{1,000,000}$ sería una fracción pequeña del tercer orden de pequeñez, siendo $1$ por ciento de $1$ por ciento de $1$ por ciento.

Por último, supongamos que para algún propósito muy preciso deberíamos considerar $\frac{1}{1,000,000}$ como “pequeño”. Así, si un cronómetro de primera categoría no debe perder ni ganar más de medio minuto en un año, debe mantener el tiempo con una precisión de $1$ parte en $1,051,200$. Ahora, si para tal propósito consideramos $\frac{1}{1,000,000}$ (o una millonésima) como una cantidad pequeña, entonces $\frac{1}{1,000,000}$ de $\frac{1}{1,000,000}$, es decir $\frac{1}{1,000,000,000,000}$ (o una billonésima) será una cantidad pequeña del segundo orden de pequeñez, y puede ser completamente desestimada, por comparación.

Entonces vemos que cuanto más pequeña es una cantidad pequeña en sí misma, más insignificante se vuelve la correspondiente cantidad pequeña del segundo orden. Por lo tanto, sabemos que en todos los casos estamos justificados en despreciar las pequeñas cantidades del segundo—o tercer (o superior)—órdenes, si solo tomamos la pequeña cantidad del primer orden suficientemente pequeña en sí misma.

Pero, se debe recordar, que las pequeñas cantidades si aparecen en nuestras expresiones como factores multiplicados por algún otro factor, pueden volverse importantes si el otro factor en sí mismo es grande. Incluso un centavo se vuelve importante si solo se multiplica por unos pocos cientos.

Ahora, en el cálculo escribimos $dx$ para un pequeño fragmento de $x$. Estas cosas, como $dx$, y $du$, y $dy$, se llaman “diferenciales”, el diferencial de $x$, o de $u$, o de $y$, según sea el caso. [Los lees como dee-eks, o dee-you, o dee-yi.] Si $dx$ es un pequeño fragmento de $x$, y relativamente pequeño en sí mismo, no se sigue que tales cantidades como $x \cdot dx$, o $x^2\, dx$, o $a^x\, dx$ sean insignificantes. Pero $dx \times dx$ sería insignificante, siendo una cantidad pequeña del segundo orden.

Un ejemplo muy simple servirá de ilustración.

Pensemos en $x$ como una cantidad que puede crecer por una pequeña cantidad hasta convertirse en $x + dx$, donde $dx$ es el pequeño incremento agregado por el crecimiento. El cuadrado de esto es $x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2$. El segundo término no es insignificante porque es una cantidad de primer orden; mientras que el tercer término es del segundo orden de pequeñez, siendo un pedazo de, un pedazo de $x^2$. Así que si tomáramos $dx$ para significar numéricamente, digamos, $\frac{1}{60}$ de $x$, entonces el segundo término sería $\frac{2}{60}$ de $x^2$, mientras que el tercer término sería $\frac{1}{3600}$ de $x^2$. Este último término es claramente menos importante que el segundo. Pero si vamos más lejos y tomamos $dx$ para significar solo $\frac{1}{1000}$ de $x$, entonces el segundo término será $\frac{2}{1000}$ de $x^2$, mientras que el tercer término será solo $\frac{1}{1,000,000}$ de $x^2$.

Geométricamente esto se puede representar de la siguiente manera: Dibuja un cuadrado (Fig. 2.1) cuyo lado tomaremos para representar $x$.

Ahora, supongamos que el cuadrado crezca al agregarle un poco $dx$ a su tamaño en cada dirección. El cuadrado ampliado se compone del cuadrado original $x^2$, los dos rectángulos en la parte superior y derecha, cada uno de los cuales tiene un área de $x \cdot dx$ (o juntos $2x \cdot dx$), y el pequeño cuadrado en la esquina superior derecha que es $(dx)^2$. En la Fig. 2.2 hemos tomado $dx$ como una fracción bastante grande de $x$—aproximadamente $\frac{1}{5}$.

Pero supongamos que lo hubiéramos tomado solo $\frac{1}{100}$—aproximadamente el grosor de una línea entintada dibujada con una pluma fina (Fig. 2.3). Entonces el pequeño cuadrado de la esquina tendría un área de solo $\frac{1}{10,000}$ de $x^2$, y sería prácticamente invisible. Claramente $(dx)^2$ es insignificante si solo consideramos el incremento $dx$ como suficientemente pequeño en sí mismo.

Consideremos una comparación.

Supongamos que un millonario dijera a su secretario: la próxima semana te daré una pequeña fracción de cualquier dinero que me llegue. Supongamos que el secretario dijera a su hijo: te daré una pequeña fracción de lo que reciba. Supongamos que la fracción en cada caso sea $\frac{1}{100}$ parte. Ahora, si el Sr. Millonario recibiera durante la próxima semana $$1000$, el secretario recibiría $$10$ y el niño $10$ centavos. Diez dólares serían una cantidad pequeña en comparación con $$1000$; pero 10 centavos es una cantidad muy pequeña, de un orden muy secundario. Pero, ¿cuál sería la desproporción si la fracción, en lugar de ser $\frac{1}{100}$, hubiera sido establecida en $\frac{1}{1000}$ parte? Entonces, mientras el Sr. Millonario obtenía su $$1000$, el Sr. Secretario recibiría solo $$1$, y el niño 0.1 centavos!

El ingenioso Dean Swift² una vez escribió:

Así, los Naturalistas observan, una Pulga
Tiene pulgas más pequeñas que de él se alimentan.
Y estas tienen pulgas más pequeñas que las muerden,
Y así prosiguen ad infinitum

Un buey podría preocuparse por una pulga de tamaño ordinario—una pequeña criatura del primer orden de pequeñez. Pero probablemente no se preocupe por una pulga de pulga; siendo del segundo orden de pequeñez, sería insignificante. Incluso una gruesa de pulgas de pulgas no tendría mucha importancia para el buey.