Sobre Diferentes Graus de Pequenez

Veremos que, em nossos processos de cálculo, temos que lidar com pequenas quantidades de vários graus de pequenez.

Teremos também que aprender sob quais circunstâncias podemos considerar as pequenas quantidades tão minúsculas que podemos omiti-las da consideração. Tudo depende da pequenez relativa.

Antes de fixarmos quaisquer regras, vamos pensar em alguns casos familiares. Há $60$ minutos na hora, $24$ horas no dia, $7$ dias na semana. Há, portanto, $1440$ minutos no dia e $10080$ minutos na semana.

Obviamente $1$ minuto é uma quantidade de tempo muito pequena comparada a uma semana inteira. De fato, nossos antepassados o consideravam pequeno quando comparado com uma hora, e o chamavam de "um minuto", significando uma fração minuta — a saber, um sexagésimo — de uma hora. Quando passaram a necessitar de subdivisões de tempo ainda menores, dividiram cada minuto em $60$ partes ainda menores, as quais, no século XVI, chamaram de "segundos minutos" (i.e. pequenas quantidades de segunda ordem de pequenez). Hoje em dia chamamos essas pequenas quantidades de segunda ordem de pequenez de "segundos". Mas poucas pessoas sabem por que são chamadas assim.

Ora, se um minuto é tão pequeno quando comparado a um dia inteiro, quão menor por comparação é um segundo!

Novamente, pense em uma moeda de um centavo comparada a uma nota de dez dólares: ela vale apenas a $\frac{1}{1000}$ parte. Um centavo a mais ou a menos é de preciosa pouca importância comparado a uma nota de dez dólares: pode certamente ser considerado uma quantidade pequena. Mas compare um centavo com $\mathrm{\$}10,000$: relativamente a essa soma maior, o centavo não tem mais importância do que $\frac{1}{1000}$ de um centavo teria para uma nota de dez dólares. Mesmo $1000$, o secretário receberia $$10$ e o garoto $10$ centavos. Dez dólares seria uma quantidade pequena comparada a $$1000$; mas 10 centavos é de fato uma quantidade pequena pequena, de uma ordem muito secundária. Mas qual seria a desproporção se a fração, em vez de ser $\frac{1}{100}$, tivesse sido fixada na $\frac{1}{1000}$ parte? Então, enquanto o Sr. Milionário ficasse com seus $$1000$, o Sr. Secretário receberia apenas $$1$, e o garoto 0,1 centavos!

O espirituoso Dean Swift² escreveu certa vez:

Pois, observam os Naturalistas, uma Pulga
Tem Pulgas menores que nela predam.
E estas têm Pulgas menores para mordê-las,
E assim procedem ad infinitum

Um boi pode se preocupar com uma pulga de tamanho comum — uma pequena criatura de primeira ordem de pequenez. Mas ele provavelmente não se incomodaria com a pulga da pulga; sendo de segunda ordem de pequenez, seria negligenciável. Mesmo uma grosa de pulgas de pulgas não seria de muita importância para o boi.

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Os matemáticos falam sobre a segunda ordem de "magnitude" (i.e. grandeza) quando na verdade querem dizer segunda ordem de pequenez. Isso é muito confuso para iniciantes.↩︎

On Poetry: a Rhapsody (página 20), impresso em 1733 — geralmente citado incorretamente.↩︎