Em nossas equações, consideramos x como crescendo, e como resultado de x crescer, y também alterava seu valor e crescia. Normalmente pensamos em x como uma quantidade que podemos variar; e, considerando a variação de x como uma espécie de causa, consideramos a variação resultante de y como um efeito. Em outras palavras, consideramos o valor de y como dependente do de x. Ambos x e y são variáveis, mas x é aquela sobre a qual operamos, e y é a "variável dependente." Em todo o capítulo anterior, tentamos descobrir as regras para a proporção que a variação dependente em y mantém com a variação feita independentemente em x.
Nosso próximo passo é descobrir qual efeito sobre o processo de diferenciação é causado pela presença de constantes, ou seja, de números que não mudam quando x ou y alteram seus valores.
Constantes Adicionadas
Vamos começar com um caso simples de uma constante adicionada, assim:
Exemplo 5.1. Seja y=x^3+5. Como antes, suponhamos que x cresça para x+dx e y cresça para y+dy.
Então: \begin{align} y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align} Desprezando as quantidades infinitesimais de ordens superiores, isto se torna y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 5. Subtraindo o y = x^3 + 5 original, e temos: \begin{align} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}
Então o 5 desapareceu completamente. Não acrescentou nada ao crescimento de x, e não entra na derivada. Se tivéssemos colocado 7, ou 700, ou qualquer outro número, em vez de 5, teria desaparecido. Então se tomarmos a letra a, ou b, ou c para representar qualquer constante, ela simplesmente desaparecerá quando diferenciamos.
Se a constante adicional tivesse um valor negativo, como -5 ou -b, teria igualmente desaparecido.
Em geral:
\dfrac{d(x^n+b)}{dx}=\dfrac{d(x^n)}{dx} onde n e b são constantes.
Constantes Multiplicadas
Tome como um experimento simples este caso:
Exemplo 5.2. Seja y = 7x^2.
Então, prosseguindo como antes, obtemos: \begin{align} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\left\{x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2\right\} \\ &= 7x^2 + 14x\cdot dx + 7(dx)^2. \end{align} Então, subtraindo o y = 7x^2 original, e desprezando o último termo, temos \begin{align} dy &= 14x\cdot dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align}
Vamos ilustrar este exemplo elaborando os gráficos das equações y = 7x^2 e \dfrac{dy}{dx} = 14x, atribuindo a x um conjunto de valores sucessivos, 0, 1, 2, 3, etc., e encontrando os valores correspondentes de y e de \dfrac{dy}{dx}. Esses valores tabulamos da seguinte forma:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | -1 | -2 | -3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | 7 | 28 | 63 | 112 | 175 | 7 | 28 | 63 |
| \dfrac{dy}{dx} | 0 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | -14 | -28 | -42 |
Agora plotamos esses valores em uma escala conveniente, e obtemos as duas curvas, Figs. 5.1 e 5.2.
y=7x^2." style="max-width: 100%; height: auto; display: block; margin: 0 auto;">
\dfrac{dy}{dx}=14x." style="max-width: 100%; height: auto; display: block; margin: 0 auto;">
Compare cuidadosamente as duas figuras, e verifique por inspeção que a altura de cada ponto no gráfico da derivada (Fig. 5.2) é proporcional à inclinação do gráfico1 da função original (Fig. 5.1) no valor correspondente de x. À esquerda da origem, onde o gráfico da função original tem inclinação negativa (isto é, desce da esquerda para a direita), as coordenadas verticais correspondentes de pontos no gráfico da derivada são negativas.
Agora se olharmos para o Exemplo 4.1, veremos que simplesmente diferenciar x^2 nos dá 2x. Então a derivada de 7x^2 é apenas 7 vezes maior que a de x^2. Se tivéssemos tomado 8x^2, a derivada teria saído oito vezes maior que a de x^2. Se colocarmos y = ax^2, obteremos \frac{dy}{dx} = a \times 2x.
Se tivéssemos começado com y = ax^n, teríamos \dfrac{dy}{dx} = a\times nx^{n-1}. Então qualquer mera multiplicação por uma constante reaparece como uma mera multiplicação quando a coisa é diferenciada. E, o que é verdadeiro sobre multiplicação é igualmente verdadeiro sobre divisão: pois se, no exemplo acima, tivéssemos tomado a constante \frac{1}{7} em vez de 7, teríamos tido a mesma \frac{1}{7} saindo no resultado após a diferenciação.
\dfrac{d(ax^n)}{dx}=a\dfrac{d(x^n)}{dx} onde n e a são constantes.
Combinando essas duas regras:
\dfrac{d(ax^n+b)}{dx}=a\times n \times x^{n-1} onde n, a, e b são constantes.
Alguns Exemplos Adicionais
Os exemplos adicionais a seguir, totalmente resolvidos, permitirão que você domine completamente o processo de diferenciação conforme aplicado a expressões algébricas ordinárias, e permitirão que você resolva por si próprio os exemplos fornecidos no final deste capítulo.
Exemplo 5.3. Diferencie y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}.
Solução. \dfrac{3}{5} é uma constante adicionada e desaparece (veja aqui).
Podemos então escrever imediatamente \frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} \times 5 \times x^{5-1}, ou \frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4.
Exemplo 5.4. Diferencie y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}.
Solução. O termo \dfrac{1}{2}\sqrt{a} desaparece, sendo uma constante adicionada; e como a\sqrt{x}, na forma de índice, é escrito ax^{\frac{1}{2}}, temos \frac{dy}{dx} = a \times \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{a}{2} \times x^{-\frac{1}{2}}, ou \frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}.
Exemplo 5.5. Se ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2}, encontre a derivada de y com respeito a x.
Solução. Como regra, uma expressão deste tipo precisará de um pouco mais de conhecimento do que adquirimos até agora; no entanto, é sempre aconselhável tentar se a expressão pode ser colocada em uma forma mais simples.
Primeiro, devemos tentar trazê-la à forma y = {} alguma expressão envolvendo apenas x.
A expressão pode ser escrita (a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}.
Elevando ao quadrado, obtemos (a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2), que simplifica para (a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 = x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2); ou [(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 = [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2, isto é 2b(b-a)y^2 = -2b(b+a)x^2;
portanto2 y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{and}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.
Exemplo 5.6. (a) O volume de um cilindro com raio r e altura h é dado pela fórmula V = \pi r^2 h. Encontre a taxa de variação do volume com o raio quando r = 5.5 in e h=20 in (b) Se r = h, encontre as dimensões do cilindro de modo que uma mudança de 1 in no raio cause uma mudança de 400 in^3 no volume.
Solução. (a) A taxa de variação de V com respeito a r é \frac{dV}{dr} = 2 \pi r h.
Se r = 5.5 in e h=20 in, isto se torna 690.8. Significa que uma mudança de raio de 1 polegada causará uma mudança de volume de 690.8 in^3. Isto pode ser facilmente verificado, pois os volumes com r = 5 e r = 6 são 1570 in^3 e 2260.8 in^3 respectivamente, e 2260.8 - 1570 = 690.8.
(b) Se r=h,\quad\text{and}\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400~\frac{\text{in}^3}{\text{in}} devemos ter r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} \approx 7.98~\text{in}.
Exemplo 5.7. A leitura \theta de um pirômetro de radiação de Féry está relacionada à temperatura em Celsius T do corpo observado pela relação \dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{T}{T_1}\right)^4, onde \theta_1 é a leitura correspondente a uma temperatura conhecida T_1 do corpo observado.
Compare a sensibilidade do pirômetro nas temperaturas 800\,^\circC, 1000\,^\circC, 1200\,^\circC, dado que ele marcava 25 quando a temperatura era 1000\,^\circC.
Solução. A sensibilidade é a taxa de variação da leitura com a temperatura, ou seja \dfrac{d\theta}{dT}. A fórmula pode ser escrita \theta = \dfrac{\theta_1}{T_1^4} T^4 = \dfrac{25\ T^4}{1000^4}, e temos \dfrac{d\theta}{dT} = \dfrac{100\ T^3}{1000^4} = \dfrac{T^3}{10,000,000,000}.
Quando T=800\,^\circC, 1000\,^\circC e 1200\,^\circC, obtemos \dfrac{d\theta}{dT} = 0.0512, 0.1 e 0.1728, respectivamente. A sensibilidade é aproximadamente duplicada de 800\,^\circC para 1000\,^\circC, e torna-se três quartos tão grande novamente até 1200\,^\circC.
Exercícios
Diferencie o seguinte:
Exercício 5.1. y = ax^3 + 6.
Solução
A constante 6 é adicionada e desaparece durante o processo de diferenciação. \frac{d y}{d x}=3 a x^{2}.
Exercício 5.2. y = 13x^{\frac{3}{2}} - c.
Solução
-c é uma constante adicionada e desaparece durante o processo de diferenciação. \frac{d y}{d x}=13 \times \frac{3}{2} x=\frac{39}{2} x
Exercício 5.3. y = 12x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}.
Solução
c^{\frac{1}{2}} é uma constante adicionada e desaparece. \frac{d y}{d x}=12 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=6 x^{-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\sqrt{x}}
Exercício 5.4. y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}.
Solução
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} c^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{c}{x}}
Exercício 5.5. u = \dfrac{az^n - 1}{c}.
Solução
\frac{d u}{d z}=n \frac{a}{c} z^{n-1}
Exercício 5.6. y = 1.18t^2 + 22.4
Solução
\frac{d y}{d x}=2 \times 1.18 t=2.36 t
Invente alguns outros exemplos para si mesmo, e tente sua mão em diferenciação deles.
Exercício 5.7. Se l_t e l_0 sejam os comprimentos de uma vara de ferro nas temperaturas T~^\circC. e 0~^\circC. respectivamente, então l_T = l_0(1 + 0.000012T). Encontre a mudança de comprimento da vara por grau centígrado.
Solução
\frac{d l_{T}}{d T}=l_{0} \times 0.000012=0.000012 l_{0}
Exercício 5.8. Foi descoberto que se c seja a potência luminosa de uma lâmpada elétrica incandescente, e V seja a tensão, c = aV^b, onde a e b são constantes.
Encontre a taxa de variação da potência luminosa com a tensão, e calcule a mudança de potência luminosa por volt a 80, 100 e 120 volts no caso de uma lâmpada para a qual a = 0.5\times10^{-10} e b=6.
Solução
\frac{d c}{d V}=a b V^{b-1} Então para a=0.5 \times 10^{-10} e b=6,
\frac{dc}{dV}=3.0\times 10^{-10} V^5.
Quando V=80 volts \frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 80^{5}=0.98304.
Quando V=100 volts
\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 100^{5}=3.
Quando V=120 volts
\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 120^{5}=7.46496.
Exercício 5.9. A frequência n de vibração de uma corda de diâmetro D, comprimento L e densidade específica \sigma, esticada com uma força T, é dada por n = \dfrac{1}{DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi\sigma}}.
Encontre a taxa de variação da frequência quando D, L, \sigma e T são variados individualmente.
Solução
Quando D é variado, escrevemos
n=\frac{1}{L} D^{-1} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}
então
\frac{d n}{d D}=\frac{-1}{L} D^{-2} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}=\frac{-1}{L D^{2}} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}
Quando L é variado
n=\frac{L^{-1}}{D} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}} \Rightarrow \frac{d n}{d L}=\frac{-1}{D L^{2}} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}
Quando \sigma é variado
\begin{align} n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d \sigma} & =\frac{-1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{3}{2}} \\ & =-\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma^{3}}} \end{align}
Quando T é variado
n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g}{\pi \sigma}} T^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d T}=\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g}{\pi \sigma}} T^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{9}{\pi \sigma} T}
Exercício 5.10. A maior pressão externa P que um tubo pode suportar sem colapsar é dada por P = \left(\dfrac{2E}{1-\sigma^2}\right) \dfrac{t^3}{D^3}, onde E e \sigma são constantes, t é a espessura do tubo e D é seu diâmetro. (Esta fórmula assume que 4t é pequeno comparado a D.)
Compare a taxa na qual P varia para uma pequena mudança de espessura e para uma pequena mudança de diâmetro ocorrendo separadamente.
Solução
O problema está nos pedindo para calcular \dfrac{dP}{dt} e \dfrac{dP}{dD} e encontrar sua razão
\begin{align} & P=\frac{2 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{3}}{D^{3}} \Rightarrow \frac{d P}{d t}=\frac{6 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{2}}{D^{3}} \\ & P=\frac{2 E}{1-\sigma^{2}} t^{3} D^{-3} \Rightarrow \frac{d P}{d D}=\frac{-6 E}{1-\sigma^{2}} t^{3} D^{-4}=-\frac{6 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{3}}{D^{4}} \\ & \frac{\dfrac{d P}{d t}}{\dfrac{d P}{d D}}=\frac{\text { taxa de variação de } P \text { quando } t \text { varia }}{\text { taxa de variação de } P \text { quando } D \text { varia }}=-\frac{D}{t} \end{align}
Exercício 5.11. Encontre, a partir dos primeiros princípios, a taxa na qual o seguinte varia com respeito a uma mudança no raio:
a circunferência de um círculo de raio r;
a área de um círculo de raio r;
a área lateral de um cone de dimensão de inclinação l;
o volume de um cone de raio r e altura h;
a área de uma esfera de raio r;
o volume de uma esfera de raio r.
Resposta
2\pi, 2\pi r, \pi l, \frac{2}{3}\pi rh, 8\pi r, 4\pi r^2.
Solução
(a) A circunferência C de um círculo é dada por
C=2 \pi r
Portanto
\frac{d C}{d r}=2 \pi
(b) A área A de um círculo é dada por
A=\pi r^{2}
Portanto
\frac{d A}{d r}=2 \pi r
(c) A área lateral A_L de um cone de dimensão de inclinação l é dada por
A_{L}=\pi r l
Portanto, \frac{d A_{L}}{d r}=\pi l
(d) O volume V de um cone de raio r e altura é
V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h
Portanto
\frac{d V}{d r}=\frac{2}{3} \pi r h
(e) A área S de uma esfera de raio r é
\begin{align} S & =4 \pi r^{2} \\ \Rightarrow \quad & \frac{d S}{d r}=8 \pi r \end{align}
(f) O volume de uma esfera V de raio T é
V=\frac{4}{3} \pi r^{3}
Portanto
\frac{d V}{d r}=4 \pi r^{2}
Exercício 5.12. O comprimento L de uma vara de ferro na temperatura T sendo dado por L = l_0\bigl[1 + 0.000012(T-T_0)\bigr], onde l_0 é o comprimento na temperatura T_0, encontre a taxa de variação do diâmetro D de uma fita de ferro adequada para encolher em uma roda, quando a temperatura T varia.
Resposta
2\pi, 2\pi r, \pi l, \frac{2}{3}\pi rh, 8\pi r, 4\pi r^2.
Solução
Como L=\pi D, temos D=\frac{l_{0}}{\pi}\left[1+0.000012\left(T-T_{0}\right)\right] \Rightarrow \frac{d D}{d T} =0.000012 \frac{l_{0}}{\pi}
Você agora aprendeu como diferenciar potências de x. Como é fácil!
O Capítulo [slope] fornecerá uma discussão mais aprofundada da inclinação de uma curva em um ponto↩︎
Vamos supor que tanto x quanto y são positivos ou negativos.↩︎
