ثابت‌های اضافه‌شده و ثابت‌های ضرب‌شده: تأثیرات آنها بر مشتق‌ها

مثال 5.1. فرض کنید $$y=x^3+5.$$ درست مثل قبل، فرض می‌کنیم $x$ به $x+dx$ و $y$ به $y+dy$ رشد کند.

آنگاه: با صرف‌نظر کردن از مقادیر کوچک از درجات بالاتر، این تبدیل می‌شود به $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx+5.$$ $y=x^3+5$ اصلی را کم کنیم، باقی می‌ماند:

بنابراین $5$ کاملاً ناپدید شده است. چیزی به رشد $x$ اضافه نکرد و وارد مشتق نمی‌شود. اگر به جای $5$ عدد $7$، یا $700$، یا هر عدد دیگری قرار می‌دادیم، باز هم ناپدید می‌شد. بنابراین اگر حرف $a$، یا $b$، یا $c$ را برای نمایش هر ثابتی به کار ببریم، به سادگی هنگام مشتق‌گیری ناپدید می‌شود.

مثال 5.2. فرض کنید $y=7x^2$. 
سپس با ادامه مانند قبل به دست می‌آوریم: سپس، با کم کردن $y=7x^2$ اصلی، و صرف‌نظر از جمله آخر، داریم

مثال 5.3. از $y={\displaystyle \frac{x^5}{7}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ مشتق بگیرید.

حل. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ یک ثابت اضافه‌شده است و ناپدید می‌شود (به اینجا مراجعه کنید).

سپس می‌توانیم بلافاصله بنویسیم $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{7}\times 5\times x^{5-1},$$ یا $$\frac{dy}{dx}=\frac{5}{7}{x}^4.$$

مثال 5.4. از $y=a\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a}$ مشتق بگیرید.

حل. جمله ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a}$ ناپدید می‌شود، زیرا یک ثابت اضافه‌شده است؛ و از آنجا که $a\sqrt{x}$، به فرم توانی، به صورت $a{x}^{\frac{1}{2}}$ نوشته می‌شود، داریم $$\frac{dy}{dx}=a\times \frac{1}{2}\times x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{a}{2}\times x^{-\frac{1}{2}},$$ یا $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{2\sqrt{x}}.$$

مثال 5.5. اگر $$ay+bx=by-ax+(x+y)\sqrt{a^2-b^2},$$ مشتق $y$ را نسبت به $x$ بیابید.

حل. معمولاً عبارتی از این نوع به دانش کمی بیشتر از آنچه تاکنون کسب کرده‌ایم نیاز دارد؛ با این حال، همیشه ارزش امتحان کردن دارد که آیا می‌توان عبارت را به شکل ساده‌تری درآورد.

ابتدا، باید سعی کنیم آن را به شکل $y=$ عبارتی که فقط شامل $x$ است درآوریم.

عبارت می‌تواند به صورت $$(a-b)y+(a+b)x=(x+y)\sqrt{a^2-b^2}$$ نوشته شود.

با به توان دو رساندن، به دست می‌آوریم $$(a-b{)}^2{y}^2+(a+b{)}^2{x}^2+2(a+b)(a-b)xy=(x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2),$$ که ساده می‌شود به $$(a-b{)}^2{y}^2+(a+b{)}^2{x}^2=x^2(a^2-b^2)+y^2(a^2-b^2);$$ یا $$[(a-b{)}^2-(a^2-b^2)]y^2=[(a^2-b^2)-(a+b{)}^2]x^2,$$ یعنی $$2b(b-a)y^2=-2b(b+a)x^2;$$

بنابراین² $$y=\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}x\text{و}\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.$$

مثال 5.6. (الف) حجم یک استوانه با شعاع $r$ و ارتفاع $h$ با فرمول $V=\pi r^{2}h$ داده می‌شود. نرخ تغییر حجم نسبت به شعاع را وقتی $r=5.5$ اینچ و $h=20$ اینچ است بیابید. (ب) اگر $r=h$، ابعاد استوانه را چنان بیابید که تغییر $1$ اینچ در شعاع باعث تغییر $400$ اینچ${}^3$ در حجم شود.

حل. (الف) نرخ تغییر $V$ نسبت به $r$ برابر است با $$\frac{dV}{dr}=2\pi rh.$$

اگر $r=5.5$ اینچ و $h=20$ اینچ باشد، این مقدار برابر $690.8$ می‌شود. یعنی تغییر شعاع به اندازه $1$ اینچ باعث تغییر حجم به اندازه $690.8$ اینچ${}^3$ خواهد شد. این را می‌توان به راحتی تأیید کرد، زیرا حجم‌ها با $r=5$ و $r=6$ به ترتیب $1570$ اینچ${}^3$ و $2260.8$ اینچ${}^3$ هستند، و $2260.8-1570=690.8$.

(ب) اگر $$r=h,\text{و}\frac{dV}{dr}=2\pi r^2=400\frac{{\text{اینچ}}^3}{\text{اینچ}}$$ باید داشته باشیم $$r=h=\sqrt{\frac{400}{2\pi }}\approx 7.98\text{اینچ}.$$

مثال 5.7. قرائت $\theta$ یک پیرومتر تابشی فِری با دمای سانتی‌گراد $T$ جسم مشاهده‌شده با رابطه $$\frac{\theta }{{\theta }_1}={\left(\frac{T}{T_1}\right)}^4$$ مرتبط است، که در آن ${\theta }_1$ قرائت متناظر با دمای معلوم $T_1$ جسم مشاهده‌شده است.

حساسیت پیرومتر را در دماهای $800{}^{\circ }$ سانتی‌گراد، $1000{}^{\circ }$ سانتی‌گراد، $1200{}^{\circ }$ سانتی‌گراد مقایسه کنید، با فرض اینکه وقتی دما $1000{}^{\circ }$ سانتی‌گراد بود، قرائت $25$ را نشان می‌داد.

حل. حساسیت عبارت است از نرخ تغییر قرائت نسبت به دما، یعنی ${\displaystyle \frac{d\theta }{dT}}$. فرمول را می‌توان به صورت $$\theta =\frac{{\theta }_1}{T_1^4}{T}^4=\frac{25T^4}{{1000}^4}$$ نوشت، و داریم $$\frac{d\theta }{dT}=\frac{100T^3}{{1000}^4}=\frac{T^3}{10,000,000,000}.$$

وقتی $T=800{}^{\circ }$ سانتی‌گراد، $1000{}^{\circ }$ سانتی‌گراد و $1200{}^{\circ }$ سانتی‌گراد، به ترتیب ${\displaystyle \frac{d\theta }{dT}}=0.0512$، $0.1$ و $0.1728$ به دست می‌آید. حساسیت از $800{}^{\circ }$ سانتی‌گراد تا $1000{}^{\circ }$ سانتی‌گراد تقریباً دو برابر می‌شود، و تا $1200{}^{\circ }$ سانتی‌گراد باز هم به اندازه سه‌چهارم بزرگتر می‌شود.