As Constantes Somadas e as Constantes Multiplicadas: Seus Efeitos nas Derivadas

Exemplo 5.1. Seja \[y=x^3+5.\] Como antes, suponhamos que \(x\) cresça para \(x+dx\) e \(y\) cresça para \(y+dy\).

Então: \[\begin{align} y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align}\] Desprezando as quantidades infinitesimais de ordens superiores, isto se torna \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 5.\] Subtraindo o \(y = x^3 + 5\) original, e temos: \[\begin{align} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]

Então o \(5\) desapareceu completamente. Não acrescentou nada ao crescimento de \(x\), e não entra na derivada. Se tivéssemos colocado \(7\), ou \(700\), ou qualquer outro número, em vez de \(5\), teria desaparecido. Então se tomarmos a letra \(a\), ou \(b\), ou \(c\) para representar qualquer constante, ela simplesmente desaparecerá quando diferenciamos.

Exemplo 5.2. Seja \(y = 7x^2\). 
Então, prosseguindo como antes, obtemos: \[\begin{align} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\left\{x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2\right\} \\ &= 7x^2 + 14x\cdot dx + 7(dx)^2. \end{align}\] Então, subtraindo o \(y = 7x^2\) original, e desprezando o último termo, temos \[\begin{align} dy &= 14x\cdot dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align}\]

Exemplo 5.3. Diferencie \(y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}\).

Solução. \(\dfrac{3}{5}\) é uma constante adicionada e desaparece (veja aqui).

Podemos então escrever imediatamente \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} \times 5 \times x^{5-1},\] ou \[\frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4.\]

Exemplo 5.4. Diferencie \(y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}\).

Solução. O termo \(\dfrac{1}{2}\sqrt{a}\) desaparece, sendo uma constante adicionada; e como \(a\sqrt{x}\), na forma de índice, é escrito \(ax^{\frac{1}{2}}\), temos \[\frac{dy}{dx} = a \times \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{a}{2} \times x^{-\frac{1}{2}},\] ou \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}.\]

Exemplo 5.5. Se \[ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2},\] encontre a derivada de \(y\) com respeito a \(x\).

Solução. Como regra, uma expressão deste tipo precisará de um pouco mais de conhecimento do que adquirimos até agora; no entanto, é sempre aconselhável tentar se a expressão pode ser colocada em uma forma mais simples.

Primeiro, devemos tentar trazê-la à forma \(y = {}\) alguma expressão envolvendo apenas \(x\).

A expressão pode ser escrita \[(a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}.\]

Elevando ao quadrado, obtemos \[(a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2),\] que simplifica para \[(a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 = x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2);\] ou \[[(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 = [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2,\] isto é \[2b(b-a)y^2 = -2b(b+a)x^2;\]

portanto² \[y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{and}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.\]

Exemplo 5.6. (a) O volume de um cilindro com raio \(r\) e altura \(h\) é dado pela fórmula \(V = \pi r^2 h\). Encontre a taxa de variação do volume com o raio quando \(r = 5.5\) in e \(h=20\) in (b) Se \(r = h\), encontre as dimensões do cilindro de modo que uma mudança de \(1\) in no raio cause uma mudança de \(400\) in\(^3\) no volume.

Solução. (a) A taxa de variação de \(V\) com respeito a \(r\) é \[\frac{dV}{dr} = 2 \pi r h.\]

Se \(r = 5.5\) in e \(h=20\) in, isto se torna \(690.8\). Significa que uma mudança de raio de \(1\) polegada causará uma mudança de volume de \(690.8\) in\(^3\). Isto pode ser facilmente verificado, pois os volumes com \(r = 5\) e \(r = 6\) são \(1570\) in\(^3\) e \(2260.8\) in\(^3\) respectivamente, e \(2260.8 - 1570 = 690.8\).

(b) Se \[r=h,\quad\text{and}\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400~\frac{\text{in}^3}{\text{in}}\] devemos ter \[r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} \approx 7.98~\text{in}.\]

Exemplo 5.7. A leitura \(\theta\) de um pirômetro de radiação de Féry está relacionada à temperatura em Celsius \(T\) do corpo observado pela relação \[\dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{T}{T_1}\right)^4,\] onde \(\theta_1\) é a leitura correspondente a uma temperatura conhecida \(T_1\) do corpo observado.

Compare a sensibilidade do pirômetro nas temperaturas \(800\,^\circ\)C, \(1000\,^\circ\)C, \(1200\,^\circ\)C, dado que ele marcava \(25\) quando a temperatura era \(1000\,^\circ\)C.

Solução. A sensibilidade é a taxa de variação da leitura com a temperatura, ou seja \(\dfrac{d\theta}{dT}\). A fórmula pode ser escrita \[\theta = \dfrac{\theta_1}{T_1^4} T^4 = \dfrac{25\ T^4}{1000^4},\] e temos \[\dfrac{d\theta}{dT} = \dfrac{100\ T^3}{1000^4} = \dfrac{T^3}{10,000,000,000}.\]

Quando \(T=800\,^\circ\)C, \(1000\,^\circ\)C e \(1200\,^\circ\)C, obtemos \(\dfrac{d\theta}{dT} = 0.0512\), \(0.1\) e \(0.1728\), respectivamente. A sensibilidade é aproximadamente duplicada de \(800\,^\circ\)C para \(1000\,^\circ\)C, e torna-se três quartos tão grande novamente até \(1200\,^\circ\)C.