As Constantes Somadas e as Constantes Multiplicadas: Seus Efeitos nas Derivadas

Em nossas equações, consideramos $x$ como crescendo, e como resultado de $x$ crescer, $y$ também alterava seu valor e crescia. Normalmente pensamos em $x$ como uma quantidade que podemos variar; e, considerando a variação de $x$ como uma espécie de causa, consideramos a variação resultante de $y$ como um efeito. Em outras palavras, consideramos o valor de $y$ como dependente do de $x$ . Ambos $x$ e $y$ são variáveis, mas $x$ é aquela sobre a qual operamos, e $y$ é a "variável dependente." Em todo o capítulo anterior, tentamos descobrir as regras para a proporção que a variação dependente em $y$ mantém com a variação feita independentemente em $x$ .

Nosso próximo passo é descobrir qual efeito sobre o processo de diferenciação é causado pela presença de constantes, ou seja, de números que não mudam quando $x$ ou $y$ alteram seus valores.

Constantes Adicionadas

Vamos começar com um caso simples de uma constante adicionada, assim:

Example 1.

Exemplo 5.1. Seja $y = x^{3} + 5.$ Como antes, suponhamos que $x$ cresça para $x + d x$ e $y$ cresça para $y + d y$ .

Então: \begin{align} y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align} Desprezando as quantidades infinitesimais de ordens superiores, isto se torna $y + d y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot d x + 5.$ Subtraindo o $y = x^{3} + 5$ original, e temos: \begin{align} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}

Então o $5$ desapareceu completamente. Não acrescentou nada ao crescimento de $x$ , e não entra na derivada. Se tivéssemos colocado $7$ , ou $700$ , ou qualquer outro número, em vez de $5$ , teria desaparecido. Então se tomarmos a letra $a$ , ou $b$ , ou $c$ para representar qualquer constante, ela simplesmente desaparecerá quando diferenciamos.

Se a constante adicional tivesse um valor negativo, como $- 5$ ou $- b$ , teria igualmente desaparecido.

Em geral:

$\frac{d (x^{n} + b)}{d x} = \frac{d (x^{n})}{d x}$ onde $n$ e $b$ são constantes.

Constantes Multiplicadas

Tome como um experimento simples este caso:

Example 2.

Exemplo 5.2. Seja $y = 7 x^{2}$ .
Então, prosseguindo como antes, obtemos: \begin{align} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\left\{x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2\right\} \\ &= 7x^2 + 14x\cdot dx + 7(dx)^2. \end{align} Então, subtraindo o $y = 7 x^{2}$ original, e desprezando o último termo, temos \begin{align} dy &= 14x\cdot dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align}

Vamos ilustrar este exemplo elaborando os gráficos das equações $y = 7 x^{2}$ e $\frac{d y}{d x} = 14 x$ , atribuindo a $x$ um conjunto de valores sucessivos, $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , etc., e encontrando os valores correspondentes de $y$ e de $\frac{d y}{d x}$ . Esses valores tabulamos da seguinte forma:

$x$	0	1	2	3	4	5	$- 1$	$- 2$	$- 3$
$y$	0	7	28	63	112	175	7	28	63
$\frac{d y}{d x}$	0	14	28	42	56	70	$- 14$	$- 28$	$- 42$

Agora plotamos esses valores em uma escala conveniente, e obtemos as duas curvas, Figs. 5.1 e 5.2.

Fig. 5.1: Gráfico de <math xmlns= — **Figure 1** Fig. 5.1: Gráfico de $y = 7 x^{2}$ .

Fig. 5.2: Gráfico de <math xmlns= — **Figure 2** Fig. 5.2: Gráfico de $\frac{d y}{d x} = 14 x$ .

Compare cuidadosamente as duas figuras, e verifique por inspeção que a altura de cada ponto no gráfico da derivada (Fig. 5.2) é proporcional à inclinação do gráfico¹ da função original (Fig. 5.1) no valor correspondente de $x$ . À esquerda da origem, onde o gráfico da função original tem inclinação negativa (isto é, desce da esquerda para a direita), as coordenadas verticais correspondentes de pontos no gráfico da derivada são negativas.

Agora se olharmos para o Exemplo 4.1, veremos que simplesmente diferenciar $x^{2}$ nos dá $2 x$ . Então a derivada de $7 x^{2}$ é apenas $7$ vezes maior que a de $x^{2}$ . Se tivéssemos tomado $8 x^{2}$ , a derivada teria saído oito vezes maior que a de $x^{2}$ . Se colocarmos $y = a x^{2}$ , obteremos $\frac{d y}{d x} = a \times 2 x .$

Se tivéssemos começado com $y = a x^{n}$ , teríamos $\frac{d y}{d x} = a \times n x^{n - 1}$ . Então qualquer mera multiplicação por uma constante reaparece como uma mera multiplicação quando a coisa é diferenciada. E, o que é verdadeiro sobre multiplicação é igualmente verdadeiro sobre divisão: pois se, no exemplo acima, tivéssemos tomado a constante $\frac{1}{7}$ em vez de $7$ , teríamos tido a mesma $\frac{1}{7}$ saindo no resultado após a diferenciação.

$\frac{d (a x^{n})}{d x} = a \frac{d (x^{n})}{d x}$ onde $n$ e $a$ são constantes.

Combinando essas duas regras:

$\frac{d (a x^{n} + b)}{d x} = a \times n \times x^{n - 1}$ onde $n$ , $a$ , e $b$ são constantes.

Alguns Exemplos Adicionais

Os exemplos adicionais a seguir, totalmente resolvidos, permitirão que você domine completamente o processo de diferenciação conforme aplicado a expressões algébricas ordinárias, e permitirão que você resolva por si próprio os exemplos fornecidos no final deste capítulo.

Example 3.

Exemplo 5.3. Diferencie $y = \frac{x^{5}}{7} - \frac{3}{5}$ .

Solução. $\frac{3}{5}$ é uma constante adicionada e desaparece (veja aqui).

Podemos então escrever imediatamente $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{7} \times 5 \times x^{5 - 1},$ ou $\frac{d y}{d x} = \frac{5}{7} x^{4} .$

Example 4.

Exemplo 5.4. Diferencie $y = a \sqrt{x} - \frac{1}{2} \sqrt{a}$ .

Solução. O termo $\frac{1}{2} \sqrt{a}$ desaparece, sendo uma constante adicionada; e como $a \sqrt{x}$ , na forma de índice, é escrito $a x^{\frac{1}{2}}$ , temos $\frac{d y}{d x} = a \times \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{a}{2} \times x^{- \frac{1}{2}},$ ou $\frac{d y}{d x} = \frac{a}{2 \sqrt{x}} .$

Example 5.

Exemplo 5.5. Se $a y + b x = b y - a x + (x + y) \sqrt{a^{2} - b^{2}},$ encontre a derivada de $y$ com respeito a $x$ .

Solução. Como regra, uma expressão deste tipo precisará de um pouco mais de conhecimento do que adquirimos até agora; no entanto, é sempre aconselhável tentar se a expressão pode ser colocada em uma forma mais simples.

Primeiro, devemos tentar trazê-la à forma $y =$ alguma expressão envolvendo apenas $x$ .

A expressão pode ser escrita $(a - b) y + (a + b) x = (x + y) \sqrt{a^{2} - b^{2}} .$

Elevando ao quadrado, obtemos $(a - b)^{2} y^{2} + (a + b)^{2} x^{2} + 2 (a + b) (a - b) x y = (x^{2} + y^{2} + 2 x y) (a^{2} - b^{2}),$ que simplifica para $(a - b)^{2} y^{2} + (a + b)^{2} x^{2} = x^{2} (a^{2} - b^{2}) + y^{2} (a^{2} - b^{2});$ ou $[(a - b)^{2} - (a^{2} - b^{2})] y^{2} = [(a^{2} - b^{2}) - (a + b)^{2}] x^{2},$ isto é $2 b (b - a) y^{2} = - 2 b (b + a) x^{2};$

portanto² $y = \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} x and \frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} .$

Example 6.

Exemplo 5.6. (a) O volume de um cilindro com raio $r$ e altura $h$ é dado pela fórmula $V = π r^{2} h$ . Encontre a taxa de variação do volume com o raio quando $r = 5.5$ in e $h = 20$ in (b) Se $r = h$ , encontre as dimensões do cilindro de modo que uma mudança de $1$ in no raio cause uma mudança de $400$ in $^{3}$ no volume.

Solução. (a) A taxa de variação de $V$ com respeito a $r$ é $\frac{d V}{d r} = 2 π r h .$

Se $r = 5.5$ in e $h = 20$ in, isto se torna $690.8$ . Significa que uma mudança de raio de $1$ polegada causará uma mudança de volume de $690.8$ in $^{3}$ . Isto pode ser facilmente verificado, pois os volumes com $r = 5$ e $r = 6$ são $1570$ in $^{3}$ e $2260.8$ in $^{3}$ respectivamente, e $2260.8 - 1570 = 690.8$ .

(b) Se $r = h, and \frac{d V}{d r} = 2 π r^{2} = 400 \frac{{in}^{3}}{in}$ devemos ter $r = h = \sqrt{\frac{400}{2 π}} \approx 7.98 in .$

Example 7.

Exemplo 5.7. A leitura $θ$ de um pirômetro de radiação de Féry está relacionada à temperatura em Celsius $T$ do corpo observado pela relação $\frac{θ}{θ_{1}} = {(\frac{T}{T_{1}})}^{4},$ onde $θ_{1}$ é a leitura correspondente a uma temperatura conhecida $T_{1}$ do corpo observado.

Compare a sensibilidade do pirômetro nas temperaturas $800^{\circ}$ C, $1000^{\circ}$ C, $1200^{\circ}$ C, dado que ele marcava $25$ quando a temperatura era $1000^{\circ}$ C.

Solução. A sensibilidade é a taxa de variação da leitura com a temperatura, ou seja $\frac{d θ}{d T}$ . A fórmula pode ser escrita $θ = \frac{θ_{1}}{T_{1}^{4}} T^{4} = \frac{25 T^{4}}{1000^{4}},$ e temos $\frac{d θ}{d T} = \frac{100 T^{3}}{1000^{4}} = \frac{T^{3}}{10, 000, 000, 000} .$

Quando $T = 800^{\circ}$ C, $1000^{\circ}$ C e $1200^{\circ}$ C, obtemos $\frac{d θ}{d T} = 0.0512$ , $0.1$ e $0.1728$ , respectivamente. A sensibilidade é aproximadamente duplicada de $800^{\circ}$ C para $1000^{\circ}$ C, e torna-se três quartos tão grande novamente até $1200^{\circ}$ C.

Exercícios

Diferencie o seguinte:

Exercise 1.

Exercício 5.1. $y = a x^{3} + 6$ .

Solução

A constante $6$ é adicionada e desaparece durante o processo de diferenciação. $\frac{d y}{d x} = 3 a x^{2} .$

Exercise 2.

Exercício 5.2. $y = 13 x^{\frac{3}{2}} - c$ .

Solução

$- c$ é uma constante adicionada e desaparece durante o processo de diferenciação. $\frac{d y}{d x} = 13 \times \frac{3}{2} x = \frac{39}{2} x$

Exercise 3.

Exercício 5.3. $y = 12 x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}$ .

Solução

$c^{\frac{1}{2}}$ é uma constante adicionada e desaparece. $\frac{d y}{d x} = 12 \times \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = 6 x^{- \frac{1}{2}} = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Exercise 4.

Exercício 5.4. $y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Solução

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} c^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{c}{x}}$

Exercise 5.

Exercício 5.5. $u = \frac{a z^{n} - 1}{c}$ .

Solução

$\frac{d u}{d z} = n \frac{a}{c} z^{n - 1}$

Exercise 6.

Exercício 5.6. $y = 1.18 t^{2} + 22.4$

Solução

$\frac{d y}{d x} = 2 \times 1.18 t = 2.36 t$

Invente alguns outros exemplos para si mesmo, e tente sua mão em diferenciação deles.

Exercise 7.

Exercício 5.7. Se $l_{t}$ e $l_{0}$ sejam os comprimentos de uma vara de ferro nas temperaturas $T^{\circ}$ C. e $0^{\circ}$ C. respectivamente, então $l_{T} = l_{0} (1 + 0.000012 T)$ . Encontre a mudança de comprimento da vara por grau centígrado.

Solução

$\frac{d l_{T}}{d T} = l_{0} \times 0.000012 = 0.000012 l_{0}$

Exercise 8.

Exercício 5.8. Foi descoberto que se $c$ seja a potência luminosa de uma lâmpada elétrica incandescente, e $V$ seja a tensão, $c = a V^{b}$ , onde $a$ e $b$ são constantes.

Encontre a taxa de variação da potência luminosa com a tensão, e calcule a mudança de potência luminosa por volt a $80$ , $100$ e $120$ volts no caso de uma lâmpada para a qual $a = 0.5 \times 10^{- 10}$ e $b = 6$ .

Solução

$\frac{d c}{d V} = a b V^{b - 1}$ Então para $a = 0.5 \times 10^{- 10}$ e $b = 6$ ,

$\frac{d c}{d V} = 3.0 \times 10^{- 10} V^{5} .$

Quando $V = 80$ volts $\frac{d c}{d V} = 3 \times 10^{- 10} \times 80^{5} = 0.98304 .$

Quando $V = 100$ volts

$\frac{d c}{d V} = 3 \times 10^{- 10} \times 100^{5} = 3.$

Quando $V = 120$ volts

$\frac{d c}{d V} = 3 \times 10^{- 10} \times 120^{5} = 7.46496 .$

Exercise 9.

Exercício 5.9. A frequência $n$ de vibração de uma corda de diâmetro $D$ , comprimento $L$ e densidade específica $σ$ , esticada com uma força $T$ , é dada por $n = \frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g T}{π σ}} .$

Encontre a taxa de variação da frequência quando $D$ , $L$ , $σ$ e $T$ são variados individualmente.

Solução

Quando $D$ é variado, escrevemos

$n = \frac{1}{L} D^{- 1} \sqrt{\frac{g T}{π σ}}$

então

$\frac{d n}{d D} = \frac{- 1}{L} D^{- 2} \sqrt{\frac{g T}{π σ}} = \frac{- 1}{L D^{2}} \sqrt{\frac{g T}{π σ}}$

Quando $L$ é variado

$n = \frac{L^{- 1}}{D} \sqrt{\frac{g T}{π σ}} \Rightarrow \frac{d n}{d L} = \frac{- 1}{D L^{2}} \sqrt{\frac{g T}{π σ}}$

Quando $σ$ é variado

\begin{align} n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d \sigma} & =\frac{-1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{3}{2}} \\ & =-\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma^{3}}} \end{align}

Quando $T$ é variado

$n = \frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g}{π σ}} T^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d T} = \frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g}{π σ}} T^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{9}{π σ} T}$

Exercise 10.

Exercício 5.10. A maior pressão externa $P$ que um tubo pode suportar sem colapsar é dada por $P = (\frac{2 E}{1 - σ^{2}}) \frac{t^{3}}{D^{3}},$ onde $E$ e $σ$ são constantes, $t$ é a espessura do tubo e $D$ é seu diâmetro. (Esta fórmula assume que $4 t$ é pequeno comparado a $D$ .)

Compare a taxa na qual $P$ varia para uma pequena mudança de espessura e para uma pequena mudança de diâmetro ocorrendo separadamente.

Solução

O problema está nos pedindo para calcular $\frac{d P}{d t}$ e $\frac{d P}{d D}$ e encontrar sua razão

\begin{align} & P=\frac{2 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{3}}{D^{3}} \Rightarrow \frac{d P}{d t}=\frac{6 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{2}}{D^{3}} \\ & P=\frac{2 E}{1-\sigma^{2}} t^{3} D^{-3} \Rightarrow \frac{d P}{d D}=\frac{-6 E}{1-\sigma^{2}} t^{3} D^{-4}=-\frac{6 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{3}}{D^{4}} \\ & \frac{\dfrac{d P}{d t}}{\dfrac{d P}{d D}}=\frac{\text { taxa de variação de } P \text { quando } t \text { varia }}{\text { taxa de variação de } P \text { quando } D \text { varia }}=-\frac{D}{t} \end{align}

Exercise 11.

Exercício 5.11. Encontre, a partir dos primeiros princípios, a taxa na qual o seguinte varia com respeito a uma mudança no raio:

a circunferência de um círculo de raio $r$ ;

a área de um círculo de raio $r$ ;

a área lateral de um cone de dimensão de inclinação $l$ ;

o volume de um cone de raio $r$ e altura $h$ ;

a área de uma esfera de raio $r$ ;

o volume de uma esfera de raio $r$ .

Resposta

$2 π$ , $2 π r$ , $π l$ , $\frac{2}{3} π r h$ , $8 π r$ , $4 π r^{2}$ .

Solução

(a) A circunferência $C$ de um círculo é dada por

$C = 2 π r$

Portanto

$\frac{d C}{d r} = 2 π$

(b) A área $A$ de um círculo é dada por

$A = π r^{2}$

Portanto

$\frac{d A}{d r} = 2 π r$

$A_{L} = π r l$

Portanto, $\frac{d A_{L}}{d r} = π l$

(d) O volume $V$ de um cone de raio $r$ e altura é

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Portanto

$\frac{d V}{d r} = \frac{2}{3} π r h$

(e) A área $S$ de uma esfera de raio $r$ é

\begin{align} S & =4 \pi r^{2} \\ \Rightarrow \quad & \frac{d S}{d r}=8 \pi r \end{align}

(f) O volume de uma esfera $V$ de raio $T$ é

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Portanto

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$

Exercise 12.

Exercício 5.12. O comprimento $L$ de uma vara de ferro na temperatura $T$ sendo dado por $L = l_{0} [1 + 0.000012 (T - T_{0})]$ , onde $l_{0}$ é o comprimento na temperatura $T_{0}$ , encontre a taxa de variação do diâmetro $D$ de uma fita de ferro adequada para encolher em uma roda, quando a temperatura $T$ varia.

Resposta

$2 π$ , $2 π r$ , $π l$ , $\frac{2}{3} π r h$ , $8 π r$ , $4 π r^{2}$ .

Solução

Como $L = π D$ , temos $D = \frac{l_{0}}{π} [1 + 0.000012 (T - T_{0})]$ $\Rightarrow \frac{d D}{d T} = 0.000012 \frac{l_{0}}{π}$

Você agora aprendeu como diferenciar potências de $x$ . Como é fácil!

O Capítulo [slope] fornecerá uma discussão mais aprofundada da inclinação de uma curva em um ponto↩︎

Vamos supor que tanto $x$ quanto $y$ são positivos ou negativos.↩︎

As Constantes Somadas e as Constantes Multiplicadas: Seus Efeitos nas Derivadas

Constantes Adicionadas

Constantes Multiplicadas

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