附加常数与乘数常数：它们对导数的影响

在我们的方程中，我们将 $x$ 视为增长的量，并且由于 $x$ 被增长， $y$ 也随之改变其值并增长。我们通常将 $x$ 视为一个我们可以改变的变量；并且，将 $x$ 的变化视为一种原因，我们将 $y$ 随之而来的变化视为一种结果。换句话说，我们认为 $y$ 的值依赖于 $x$ 的值。 $x$ 和 $y$ 都是变量，但 $x$ 是我们操作的对象，而 $y$ 是“因变量”。在前一章中，我们一直在试图找出关于 $y$ 的因变量变化与 $x$ 的独立变化之间比例的规则。

我们的下一步是找出常数（即当 $x$ 或 $y$ 改变其值时不会改变的数字）的存在对微分过程产生的影响。

加法常数

让我们从一个加法常数的简单例子开始，如下所示：

例 1.

例 5.1. 设 $y = x^{3} + 5.$ 和之前一样，假设 $x$ 增长到 $x + d x$ ， $y$ 增长到 $y + d y$ 。

那么：忽略高阶小量，这变为 $y + d y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot d x + 5.$ 减去原始的 $y = x^{3} + 5$ ，我们得到：

所以 $5$ 完全消失了。它对 $x$ 的增长没有贡献，也不出现在导数中。如果我们用 $7$ 、 $700$ 或任何其他数字代替 $5$ ，它也会消失。因此，如果我们用字母 $a$ 、 $b$ 或 $c$ 表示任何常数，它在微分时就会简单地消失。

如果加法常数是负值，例如 $- 5$ 或 $- b$ ，它同样会消失。

一般来说：

$\frac{d (x^{n} + b)}{d x} = \frac{d (x^{n})}{d x}$ 其中 $n$ 和 $b$ 是常数。

乘法常数

以下面这个简单的实验为例：

例 2.

例 5.2. 设 $y = 7 x^{2}$ 。
然后像之前一样进行，我们得到：然后，减去原始的 $y = 7 x^{2}$ ，并忽略最后一项，我们得到

让我们通过绘制方程 $y = 7 x^{2}$ 和 $\frac{d y}{d x} = 14 x$ 的图形来说明这个例子，给 $x$ 赋予一系列连续的值， $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 等，并找出 $y$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 的对应值。我们将这些值制成如下表格：

$x$	0	1	2	3	4	5	$- 1$	$- 2$	$- 3$
$y$	0	7	28	63	112	175	7	28	63
$\frac{d y}{d x}$	0	14	28	42	56	70	$- 14$	$- 28$	$- 42$

现在将这些值按合适的比例绘制出来，我们得到两条曲线，图 5.1 和图 5.2。

图 5.1：<math xmlns= — **图 1** 图 5.1： $y = 7 x^{2}$ 的图形。

图 5.2：<math xmlns= — **图 2** 图 5.2： $\frac{d y}{d x} = 14 x$ 的图形。

仔细比较这两个图形，并通过观察验证，导数图形（图 5.2）上每个点的高度与原始函数图形（图 5.1）在相应 $x$ 值处的斜率成正比。在原点的左侧，原始函数图形斜率为负（即从左到右向下倾斜），导数图形上点的相应纵坐标为负。

现在，如果我们回顾一下例 4.1，我们会看到仅仅对 $x^{2}$ 求导得到 $2 x$ 。所以 $7 x^{2}$ 的导数正好是 $x^{2}$ 导数的 $7$ 倍。如果我们取 $8 x^{2}$ ，导数将是 $x^{2}$ 导数的八倍。如果我们设 $y = a x^{2}$ ，我们将得到 $\frac{d y}{d x} = a \times 2 x .$

如果我们从 $y = a x^{n}$ 开始，我们会得到 $\frac{d y}{d x} = a \times n x^{n - 1}$ 。所以 任何仅仅乘以一个常数的操作，在微分后都会重新表现为一个单纯的乘法。而且，对于乘法成立的情况，对于除法也同样成立：因为，如果在上述例子中，我们取常数 $\frac{1}{7}$ 而不是 $7$ ，那么在微分后的结果中也会出现同样的 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{d (a x^{n})}{d x} = a \frac{d (x^{n})}{d x}$ 其中 $n$ 和 $a$ 是常数。

结合这两条规则：

$\frac{d (a x^{n} + b)}{d x} = a \times n \times x^{n - 1}$ 其中 $n$ 、 $a$ 和 $b$ 是常数。

练习

对下列函数求导：

练习 1.

练习 5.1. $y = a x^{3} + 6$ 。

解答

常数 $6$ 是加法项，在微分过程中消失。 $\frac{d y}{d x} = 3 a x^{2} .$

练习 2.

练习 5.2. $y = 13 x^{\frac{3}{2}} - c$ .

解答

$- c$ 是一个加法常数，在微分过程中消失。 $\frac{d y}{d x} = 13 \times \frac{3}{2} x = \frac{39}{2} x$

练习 3.

练习 5.3. $y = 12 x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}$ .

解答

$c^{\frac{1}{2}}$ 是一个加法常数并消失。 $\frac{d y}{d x} = 12 \times \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = 6 x^{- \frac{1}{2}} = \frac{6}{\sqrt{x}}$

练习 4.

练习 5.4. $y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

解答

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} c^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{c}{x}}$

练习 5.

练习 5.5. $u = \frac{a z^{n} - 1}{c}$ .

解答

$\frac{d u}{d z} = n \frac{a}{c} z^{n - 1}$

练习 6.

练习 5.6. $y = 1.18 t^{2} + 22.4$

解答

$\frac{d y}{d x} = 2 \times 1.18 t = 2.36 t$

自己再举一些例子，并尝试对它们进行微分。

练习 7.

练习 5.7. 如果 $l_{t}$ 和 $l_{0}$ 分别是一根铁棒在温度 $T^{\circ}$ C 和 $0^{\circ}$ C 时的长度，那么 $l_{T} = l_{0} (1 + 0.000012 T)$ 。求该铁棒每摄氏度的长度变化量。

解答

$\frac{d l_{T}}{d T} = l_{0} \times 0.000012 = 0.000012 l_{0}$

练习 8.

练习 5.8. 已知如果 $c$ 是白炽灯的烛光功率， $V$ 是电压，则 $c = a V^{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

求烛光功率随电压的变化率，并计算在电压为 $80$ 、 $100$ 和 $120$ 伏特时，每伏特的烛光功率变化量，假设该灯泡的 $a = 0.5 \times 10^{- 10}$ 且 $b = 6$ 。

解答

$\frac{d c}{d V} = a b V^{b - 1}$ 因此对于 $a = 0.5 \times 10^{- 10}$ 和 $b = 6$ ，

$\frac{d c}{d V} = 3.0 \times 10^{- 10} V^{5} .$

当 $V = 80$ 伏特时 $\frac{d c}{d V} = 3 \times 10^{- 10} \times 80^{5} = 0.98304 .$

当 $V = 100$ 伏特时

$\frac{d c}{d V} = 3 \times 10^{- 10} \times 100^{5} = 3.$

当 $V = 120$ 伏特时

$\frac{d c}{d V} = 3 \times 10^{- 10} \times 120^{5} = 7.46496 .$

练习 9.

练习 5.9. 直径为 $D$ 、长度为 $L$ 、比重为 $σ$ 的弦，在拉力 $T$ 作用下的振动频率 $n$ 由下式给出： $n = \frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g T}{π σ}} .$

求当 $D$ 、 $L$ 、 $σ$ 和 $T$ 单独变化时频率的变化率。

解答

当 $D$ 变化时，我们写作

$n = \frac{1}{L} D^{- 1} \sqrt{\frac{g T}{π σ}}$

则

$\frac{d n}{d D} = \frac{- 1}{L} D^{- 2} \sqrt{\frac{g T}{π σ}} = \frac{- 1}{L D^{2}} \sqrt{\frac{g T}{π σ}}$

当 $L$ 变化时

$n = \frac{L^{- 1}}{D} \sqrt{\frac{g T}{π σ}} \Rightarrow \frac{d n}{d L} = \frac{- 1}{D L^{2}} \sqrt{\frac{g T}{π σ}}$

当 $σ$ 变化时

当 $T$ 变化时

$n = \frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g}{π σ}} T^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d T} = \frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g}{π σ}} T^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{9}{π σ} T}$

练习 10.

练习 5.10. 管子在不发生压溃的情况下能承受的最大外部压力 $P$ 由下式给出： $P = (\frac{2 E}{1 - σ^{2}}) \frac{t^{3}}{D^{3}},$ 其中 $E$ 和 $σ$ 是常数， $t$ 是管子的厚度， $D$ 是其直径。（此公式假设 $4 t$ 与 $D$ 相比很小。）

比较厚度微小变化和直径微小变化分别发生时 $P$ 的变化率。

解答

问题要求我们计算 $\frac{d P}{d t}$ 和 $\frac{d P}{d D}$ 并求它们的比值

$变化时的变化率变化时的变化率$

练习 11.

练习 5.11. 从基本原理出发，求下列量随半径变化的变化率：

半径为 $r$ 的圆的周长；

半径为 $r$ 的圆的面积；

斜高为 $l$ 的圆锥的侧面积；

半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥的体积；

半径为 $r$ 的球的表面积；

半径为 $r$ 的球的体积。

答案

$2 π$ , $2 π r$ , $π l$ , $\frac{2}{3} π r h$ , $8 π r$ , $4 π r^{2}$ .

解答

(a) 圆的周长 $C$ 由下式给出

$C = 2 π r$

因此

$\frac{d C}{d r} = 2 π$

(b) 圆的面积 $A$ 由下式给出

$A = π r^{2}$

因此

$\frac{d A}{d r} = 2 π r$

$A_{L} = π r l$

因此， $\frac{d A_{L}}{d r} = π l$

(d) 半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥的体积 $V$ 是

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

因此

$\frac{d V}{d r} = \frac{2}{3} π r h$

(e) 半径为 $r$ 的球的表面积 $S$ 是

(f) 半径为 $r$ 的球的体积 $V$ 是

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

因此

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$

练习 12.

练习 5.12. 铁棒在温度 $T$ 时的长度 $L$ 由 $L = l_{0} [1 + 0.000012 (T - T_{0})]$ 给出，其中 $l_{0}$ 是温度 $T_{0}$ 时的长度，求适合热套在轮子上的铁箍的直径 $D$ 随温度 $T$ 变化的变化率。

答案

$2 π$ , $2 π r$ , $π l$ , $\frac{2}{3} π r h$ , $8 π r$ , $4 π r^{2}$ .

解答

由于 $L = π D$ ，我们有 $D = \frac{l_{0}}{π} [1 + 0.000012 (T - T_{0})]$ $\Rightarrow \frac{d D}{d T} = 0.000012 \frac{l_{0}}{π}$

现在你已经学会了如何对 $x$ 的幂进行微分。多么简单啊！

第 [slope] 章将更深入地讨论曲线在某一点的斜率↩︎

我们假设 $x$ 和 $y$ 都为正或都为负。↩︎

加法常数

乘法常数

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