Effet des constantes ajoutées et multipliées sur les dérivées

Dans nos équations, nous avons considéré \(x\) comme croissant, et en conséquence \(y\) change également de valeur et augmente. Nous pensons généralement à \(x\) comme une quantité que nous pouvons faire varier ; et, considérant la variation de \(x\) comme une sorte de cause, nous considérons la variation résultante de \(y\) comme un effet. En d'autres termes, nous considérons la valeur de \(y\) comme dépendante de celle de \(x\). \(x\) et \(y\) sont des variables, mais c’est \(x\) sur lequel nous opérons, et \(y\) est la “variable dépendante.” Dans tout le chapitre précédent, nous avons essayé de trouver des règles pour la proportion que la variation dépendante de \(y\) porte à la variation faite indépendamment sur \(x\).

Notre prochaine étape est de découvrir quel effet sur le processus de différenciation est provoqué par la présence de constantes, c'est-à-dire de nombres qui ne changent pas lorsque \(x\) ou \(y\) changent leurs valeurs.

Constantes ajoutées

Commençons par un cas simple de constante ajoutée, ainsi :

Exemple 5.1. Soit \[y=x^3+5.\] Comme précédemment, supposons que \(x\) croît à \(x+dx\) et \(y\) croît à \(y+dy\).

Alors : \[\begin{align} y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align}\] En négligeant les petites quantités d'ordres supérieurs, cela devient \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 5.\] Soustrayant le \(y = x^3 + 5\) d'origine, il nous reste : \[\begin{align} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]

Ainsi, le \(5\) a complètement disparu. Il n'a rien ajouté à la croissance de \(y\), et n'entre pas dans le dérivé. Si nous avions mis \(7\), ou \(700\), ou n’importe quel autre nombre, à la place de \(5\), il aurait disparu. Donc, si nous prenons la lettre \(a\), ou \(b\), ou \(c\) pour représenter toute constante, elle disparaîtra simplement lorsque nous différencierons.

Si la constante supplémentaire avait été de valeur négative, comme \(-5\) ou \(-b\), elle aurait également disparu.

En général :

\[\dfrac{d(x^n+b)}{dx}=\dfrac{d(x^n)}{dx}\] où \(n\) et \(b\) sont des constantes.

Constantes multipliées

Considérons ce cas comme une simple expérience :

Exemple 5.2. Soit \(y = 7x^2\).
En procédant comme précédemment, nous obtenons : \[\begin{align} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\left\{x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2\right\} \\ &= 7x^2 + 14x\cdot dx + 7(dx)^2. \end{align}\] Ensuite, en soustrayant le \(y = 7x^2\) initial, et en négligeant le dernier terme, nous avons \[\begin{align} dy &= 14x\cdot dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align}\]

Illustrons cet exemple en traçant les graphes des équations \(y = 7x^2\) et \(\dfrac{dy}{dx} = 14x\), en assignant à \(x\) une série de valeurs successives, \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), etc., et en trouvant les valeurs correspondantes de \(y\) et de \(\dfrac{dy}{dx}\). Nous listons ces valeurs comme suit :

\(x\)	0	1	2	3	4	5	\(-1\)	\(-2\)	\(-3\)
\(y\)	0	7	28	63	112	175	7	28	63
\(\dfrac{dy}{dx}\)	0	14	28	42	56	70	\(-14\)	\(-28\)	\(-42\)

Tracez maintenant ces valeurs à une échelle appropriée et nous obtenons les deux courbes, figs. 5.1 et 5.2.

Fig. 5.2: Graphe de \(\dfrac{dy}{dx}=14x\).

Comparez soigneusement les deux figures, et vérifiez par inspection que la hauteur de chaque point sur le graphe de la dérivée (fig. 5.2) est proportionnelle à la pente du graphe¹ de la fonction d'origine (fig. 5.1) à la valeur correspondante de \(x\). À gauche de l'origine, où le graphe de la fonction d'origine a une pente négative (c'est-à-dire descendante de gauche à droite), les coordonnées verticales correspondantes des points sur le graphe de la dérivée sont négatives.

Maintenant, si nous regardons le Exemple 4.1, nous verrons que simplement différencier \(x^2\) nous donne \(2x\). Ainsi, la dérivée de \(7x^2\) est juste \(7\) fois plus grande que celle de \(x^2\). Si nous avions pris \(8x^2\), la dérivée aurait été huit fois plus grande que celle de \(x^2\). Si nous mettions \(y = ax^2\), nous obtiendrions \[\frac{dy}{dx} = a \times 2x.\]

Si nous avions commencé par \(y = ax^n\), nous aurions obtenu \(\dfrac{dy}{dx} = a\times nx^{n-1}\). Ainsi, toute simple multiplication par une constante réapparaît comme une simple multiplication quand la chose est différenciée. Et ce qui est vrai au sujet de la multiplication l'est également pour la division : car si, dans l'exemple ci-dessus, nous avions pris comme constante \(\frac{1}{7}\) au lieu de \(7\), nous aurions eu la même \(\frac{1}{7}\) qui ressort à la fin de la différenciation.

\[\dfrac{d(ax^n)}{dx}=a\dfrac{d(x^n)}{dx}\] où \(n\) et \(a\) sont des constantes.

En combinant ces deux règles :

\[\dfrac{d(ax^n+b)}{dx}=a\times n \times x^{n-1}\] où \(n\), \(a\), et \(b\) sont des constantes.

Quelques exemples supplémentaires

Les exemples suivants, entièrement développés, vous permettront de maîtriser complètement le processus de différenciation tel qu'appliqué aux expressions algébriques ordinaires, et vous permettront de résoudre par vous-même les exemples donnés à la fin de ce chapitre.

Exemple 5.3. Différencier \(y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}\).

Solution. \(\dfrac{3}{5}\) est une constante ajoutée et disparaît (voir ici).

Nous pouvons alors écrire directement \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} \times 5 \times x^{5-1},\] ou \[\frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4.\]

Exemple 5.4. Différencier \(y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}\).

Solution. Le terme \(\dfrac{1}{2}\sqrt{a}\) s'annule, étant une constante ajoutée; et comme \(a\sqrt{x}\), sous forme d'indice, s'écrit \(ax^{\frac{1}{2}}\), nous avons \[\frac{dy}{dx} = a \times \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{a}{2} \times x^{-\frac{1}{2}},\] ou \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}.\]

Exemple 5.5. Si \[ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2},\] trouver la dérivée de \(y\) par rapport à \(x\).

Solution. En règle générale, une expression de ce type nécessitera un peu plus de connaissances que nous n'en avons acquises jusqu'à présent; il vaut cependant toujours la peine d'essayer de voir si l'expression peut être simplifiée.

Tout d'abord, nous devons essayer de la mettre sous la forme \(y = {}\) une expression impliquant seulement \(x\).

L'expression peut être écrite \[(a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}.\]

En élevant au carré, nous obtenons \[(a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2),\] ce qui se simplifie en \[(a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 = x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2);\] ou \[[(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 = [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2,\] c'est-à-dire \[2b(b-a)y^2 = -2b(b+a)x^2;\]

donc² \[y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{et}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.\]

Exemple 5.6. (a) Le volume d'un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est donné par la formule \(V = \pi r^2 h\). Trouver le taux de variation du volume avec le rayon lorsque \(r = 5.5\) in et \(h=20\) in (b) Si \(r = h\), trouver les dimensions du cylindre de sorte qu'un changement de \(1\) in en rayon entraîne un changement de \(400\) in\(^3\) dans le volume.

Solution. (a) Le taux de variation de \(V\) par rapport à \(r\) est \[\frac{dV}{dr} = 2 \pi r h.\]

Si \(r = 5.5\) in et \(h=20\) in, cela devient \(690.8\). Cela signifie qu'un changement de rayon de \(1\) pouce entraînera un changement de volume de \(690.8\) in\(^3\). Cela peut être facilement vérifié, car les volumes avec \(r = 5\) et \(r = 6\) sont \(1570\) in\(^3\) et \(2260.8\) in\(^3\) respectivement, et \(2260.8 - 1570 = 690.8\).

(b) Si \[r=h,\quad\text{et}\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400~\frac{\text{in}^3}{\text{in}}\] nous devons avoir \[r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} \approx 7.98~\text{in}.\]

Exemple 5.7. La lecture \(\theta\) d'un pyromètre à rayonnement Féry est liée à la température en degrés Celsius \(T\) du corps observé par la relation \[\dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{T}{T_1}\right)^4,\] où \(\theta_1\) est la lecture correspondante à une température \(T_1\) connue du corps observé.

Comparez la sensibilité du pyromètre à des températures de \(800\,^\circ\)C, \(1000\,^\circ\)C, \(1200\,^\circ\)C, en sachant qu'il indique \(25\) lorsque la température était de \(1000\,^\circ\)C.

Solution. La sensibilité est le taux de variation de la lecture par rapport à la température, c'est-à-dire \(\dfrac{d\theta}{dT}\). La formule peut être écrite \[\theta = \dfrac{\theta_1}{T_1^4} T^4 = \dfrac{25\ T^4}{1000^4},\] et nous avons \[\dfrac{d\theta}{dT} = \dfrac{100\ T^3}{1000^4} = \dfrac{T^3}{10,000,000,000}.\]

Lorsque \(T=800\,^\circ\)C, \(1000\,^\circ\)C et \(1200\,^\circ\)C, nous obtenons \(\dfrac{d\theta}{dT} = 0.0512\), \(0.1\) et \(0.1728\), respectivement. La sensibilité est à peu près doublée de \(800\,^\circ\)C à \(1000\,^\circ\)C, et augmente des trois quarts encore jusqu'à \(1200\,^\circ\)C.

Exercices

Différenciez les éléments suivants :

Exercice 5.1. \(y = ax^3 + 6\).

Solution

La constante \(6\) est ajoutée et disparaît lors du processus de différenciation. \[\frac{d y}{d x}=3 a x^{2}.\]

Exercice 5.2. \(y = 13x^{\frac{3}{2}} - c\).

Solution

\(-c\) est une constante ajoutée et disparaît lors du processus de différenciation. \[\frac{d y}{d x}=13 \times \frac{3}{2} x=\frac{39}{2} x\]

Exercice 5.3. \(y = 12x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}\).

Solution

\(c^{\frac{1}{2}}\) est une constante ajoutée et disparaît. \[\frac{d y}{d x}=12 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=6 x^{-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\sqrt{x}}\]

Exercice 5.4. \(y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}\).

Solution

\[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} c^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{c}{x}}\]

Exercice 5.5. \(u = \dfrac{az^n - 1}{c}\).

Solution

\[\frac{d u}{d z}=n \frac{a}{c} z^{n-1}\]

Exercice 5.6. \(y = 1.18t^2 + 22.4\)

Solution

\[\frac{d y}{d x}=2 \times 1.18 t=2.36 t\]

Créez d'autres exemples pour vous-même, et essayez de les différencier.

Exercice 5.7. Si \(l_t\) et \(l_0\) sont les longueurs d'une tige de fer aux températures \(T~^\circ\) C. et \(0~^\circ\) C., respectivement, alors \(l_T = l_0(1 + 0.000012T)\). Trouvez la variation de longueur de la tige par degré Celsius.

Solution

\[\frac{d l_{T}}{d T}=l_{0} \times 0.000012=0.000012 l_{0}\]

Exercice 5.8. Il a été trouvé que si \(c\) est la puissance lumineuse d'une lampe électrique incandescente, et \(V\) est la tension, \(c = aV^b\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes.

Trouvez le taux de variation de la puissance lumineuse par rapport à la tension, et calculez le changement de puissance lumineuse par volt à \(80\), \(100\) et \(120\) volts dans le cas d'une lampe pour laquelle \(a = 0.5\times10^{-10}\) et \(b=6\).

Solution

\[\frac{d c}{d V}=a b V^{b-1}\] Donc pour \(a=0.5 \times 10^{-10}\) et \(b=6\),

\[\frac{dc}{dV}=3.0\times 10^{-10} V^5.\]

Quand \(V=80\) volts \[\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 80^{5}=0.98304.\]

Quand \(V=100\) volts

\[\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 100^{5}=3.\]

Quand \(V=120\) volts

\[\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 120^{5}=7.46496.\]

Exercice 5.9. La fréquence \(n\) de vibration d'une corde de diamètre \(D\), longueur \(L\) et gravité spécifique \(\sigma\), tendue avec une force \(T\), est donnée par \[n = \dfrac{1}{DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi\sigma}}.\]

Calculez le taux de changement de fréquence lorsque \(D\), \(L\), \(\sigma\) et \(T\) sont variés individuellement.

Solution

Lorsque \(D\) est varié, nous écrivons

\[n=\frac{1}{L} D^{-1} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}\]

puis

\[\frac{d n}{d D}=\frac{-1}{L} D^{-2} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}=\frac{-1}{L D^{2}} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}\]

Lorsque \(L\) est varié

\[n=\frac{L^{-1}}{D} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}} \Rightarrow \frac{d n}{d L}=\frac{-1}{D L^{2}} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}\]

Lorsque \(\sigma\) est varié

\[\begin{align} n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d \sigma} & =\frac{-1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{3}{2}} \\ & =-\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma^{3}}} \end{align}\]

Lorsque \(T\) est varié

\[n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g}{\pi \sigma}} T^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d T}=\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g}{\pi \sigma}} T^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{9}{\pi \sigma} T}\]

Exercice 5.10. La pression externe maximale \(P\) qu'un tube peut supporter sans s'effondrer est donnée par \[P = \left(\dfrac{2E}{1-\sigma^2}\right) \dfrac{t^3}{D^3},\] où \(E\) et \(\sigma\) sont des constantes, \(t\) est l'épaisseur du tube et \(D\) est son diamètre. (Cette formule suppose que \(4t\) est petit comparé à \(D\).)

Comparez le taux de variation de \(P\) pour un petit changement d'épaisseur et pour un petit changement de diamètre se produisant séparément.

Solution

Le problème nous demande de calculer \(\dfrac{d P}{d t}\) et \(\dfrac{d P}{d D}\) et de trouver leur ratio

\[\begin{align} & P=\frac{2 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{3}}{D^{3}} \Rightarrow \frac{d P}{d t}=\frac{6 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{2}}{D^{3}} \\ & P=\frac{2 E}{1-\sigma^{2}} t^{3} D^{-3} \Rightarrow \frac{d P}{d D}=\frac{-6 E}{1-\sigma^{2}} t^{3} D^{-4}=-\frac{6 E}{1-\sigma^{2}} \frac{t^{3}}{D^{4}} \\ & \frac{\dfrac{d P}{d t}}{\dfrac{d P}{d D}}=\frac{\text { taux de changement de } P \text { lorsque } t \text { varie }}{\text { taux de changement de } P \text { lorsque } D \text { varie }}=-\frac{D}{t} \end{align}\]

Exercice 5.11. Trouvez, à partir des principes de base, la vitesse à laquelle les éléments suivants varient par rapport à un changement de rayon :

la circonférence d'un cercle de rayon \(r\);

la surface d'un cercle de rayon \(r\);

la surface latérale d'un cône de dimension en pente \(l\);

le volume d'un cône de rayon \(r\) et de hauteur \(h\);

la surface d'une sphère de rayon \(r\);

le volume d'une sphère de rayon \(r\).

Réponse

\(2\pi\), \(2\pi r\), \(\pi l\), \(\frac{2}{3}\pi rh\), \(8\pi r\), \(4\pi r^2\).

Solution

(a) La circonférence \(C\) d'un cercle est donnée par

\[C=2 \pi r\]

Donc

\[\frac{d C}{d r}=2 \pi\]

(b) La surface \(A\) d'un cercle est donnée par

\[A=\pi r^{2}\]

Donc

\[\frac{d A}{d r}=2 \pi r\]

\[A_{L}=\pi r l\]

Donc, \[\frac{d A_{L}}{d r}=\pi l\]

(d) Le volume \(V\) d'un cône de rayon \(r\) et de hauteur est

\[V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\]

Donc

\[\frac{d V}{d r}=\frac{2}{3} \pi r h\]

(e) La surface \(S\) d'une sphère de rayon \(r\) est

\[\begin{align} S & =4 \pi r^{2} \\ \Rightarrow \quad & \frac{d S}{d r}=8 \pi r \end{align}\]

(f) Le volume d'une sphère \(V\) de rayon \(r\) est

\[V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\]

Donc

\[\frac{d V}{d r}=4 \pi r^{2}\]

Exercice 5.12. La longueur \(L\) d'une tige de fer à la température \(T\) étant donné par \(L = l_0\bigl[1 + 0.000012(T-T_0)\bigr]\), où \(l_0\) est la longueur à la température \(T_0\), trouvez le taux de variation du diamètre \(D\) d'un pneu en fer adapté à être ajusté à un moyeu, lorsque la température \(T\) varie.

Réponse

\(2\pi\), \(2\pi r\), \(\pi l\), \(\frac{2}{3}\pi rh\), \(8\pi r\), \(4\pi r^2\).

Solution

Puisque \(L=\pi D\), nous avons \[D=\frac{l_{0}}{\pi}\left[1+0.000012\left(T-T_{0}\right)\right]\] \[\Rightarrow \frac{d D}{d T} =0.000012 \frac{l_{0}}{\pi}\]

Vous avez maintenant appris à différencier les puissances de \(x\). Comme c'est facile !