Efecto de las constantes sumadas y multiplicadas en las derivadas

En nuestras ecuaciones hemos considerado \(x\) creciendo, y como resultado de que \(x\) se hizo crecer, \(y\) también cambió su valor y creció. Usualmente pensamos en \(x\) como una cantidad que podemos variar; y, considerando la variación de \(x\) como una especie de causa, consideramos la variación resultante de \(y\) como un efecto. En otras palabras, consideramos que el valor de \(y\) depende del de \(x\). Tanto \(x\) como \(y\) son variables, pero \(x\) es el que manipulamos, y \(y\) es la "variable dependiente". En todo el capítulo anterior hemos estado intentando encontrar reglas para la proporción que la variación dependiente en \(y\) tiene con la variación realizada independientemente en \(x\).

Nuestro siguiente paso es descubrir qué efecto tiene en el proceso de diferenciación la presencia de constantes, es decir, de números que no cambian cuando \(x\) o \(y\) cambian sus valores.

Constantes Agregadas

Comencemos con algún caso simple de una constante agregada, así:

Ejemplo 5.1. Sea \[y=x^3+5.\] Tal como antes, supongamos que \(x\) crece a \(x+dx\) y \(y\) crece a \(y+dy\).

Entonces: \[\begin{align} y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align}\] Descuidando las pequeñas cantidades de órdenes superiores, esto se convierte en \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 5.\] Restamos el original \(y = x^3 + 5\), y nos queda: \[\begin{align} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]

Así que el \(5\) ha desaparecido por completo. No agregó nada al crecimiento de \(x\), y no entra en la derivada. Si hubiéramos puesto \(7\), o \(700\), o cualquier otro número, en lugar de \(5\), habría desaparecido. Por lo tanto, si tomamos la letra \(a\), o \(b\), o \(c\) para representar una constante cualquiera, simplemente desaparecerá cuando derivemos.

Si la constante adicional hubiera sido de valor negativo, como \(-5\) o \(-b\), igualmente habría desaparecido.

En general:

\[\dfrac{d(x^n+b)}{dx}=\dfrac{d(x^n)}{dx}\] donde \(n\) y \(b\) son constantes.

Constantes Multiplicadas

Tomemos como experimento simple este caso:

Ejemplo 5.2. Sea \(y = 7x^2\).
Luego, al proceder como antes, obtenemos: \[\begin{align} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\left\{x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2\right\} \\ &= 7x^2 + 14x\cdot dx + 7(dx)^2. \end{align}\] Luego, restando el original \(y = 7x^2\), y descuidando el último término, tenemos \[\begin{align} dy &= 14x\cdot dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align}\]

Ilustremos este ejemplo trabajando los gráficos de las ecuaciones \(y = 7x^2\) y \(\dfrac{dy}{dx} = 14x\), asignando a \(x\) un conjunto de valores sucesivos, \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), etc., y encontrando los valores correspondientes de \(y\) y de \(\dfrac{dy}{dx}\). Estos valores se tabulan de la siguiente manera:

\(x\)	0	1	2	3	4	5	\(-1\)	\(-2\)	\(-3\)
\(y\)	0	7	28	63	112	175	7	28	63
\(\dfrac{dy}{dx}\)	0	14	28	42	56	70	\(-14\)	\(-28\)	\(-42\)

Ahora trace estos valores en una escala conveniente, y obtenemos las dos curvas, Figs. 5.1 y 5.2.

Fig. 5.2: Gráfico de \(\dfrac{dy}{dx}=14x\).

Compare cuidadosamente las dos figuras y verifique mediante la inspección que la altura de cada punto en el gráfico de la derivada (Fig. 5.2) es proporcional a la pendiente del gráfico¹ de la función original (Fig. 5.1) en el valor correspondiente de \(x\). A la izquierda del origen, donde el gráfico de la función original tiene pendiente negativa (es decir, hacia abajo de izquierda a derecha), las coordenadas verticales correspondientes de los puntos en el gráfico de la derivada son negativas.

Ahora, si miramos hacia atrás en el Ejemplo 4.1, veremos que simplemente derivar \(x^2\) nos da \(2x\). Por lo tanto, la derivada de \(7x^2\) es simplemente \(7\) veces mayor que la de \(x^2\). Si hubiéramos tomado \(8x^2\), la derivada habría resultado ocho veces mayor que la de \(x^2\). Si ponemos \(y = ax^2\), obtendremos \[\frac{dy}{dx} = a \times 2x.\]

Si hubiéramos comenzado con \(y = ax^n\), habríamos tenido \(\dfrac{dy}{dx} = a\times nx^{n-1}\). Entonces, cualquier mera multiplicación por una constante reaparece como una mera multiplicación cuando se diferencia la cosa. Y, lo que es cierto acerca de la multiplicación es igualmente cierto acerca de la división: porque si, en el ejemplo anterior, hubiéramos tomado como constante \(\frac{1}{7}\) en lugar de \(7\), habríamos tenido el mismo \(\frac{1}{7}\) en el resultado después de la diferenciación.

\[\dfrac{d(ax^n)}{dx}=a\dfrac{d(x^n)}{dx}\] donde \(n\) y \(a\) son constantes.

Combinando estas dos reglas:

\[\dfrac{d(ax^n+b)}{dx}=a\times n \times x^{n-1}\] donde \(n\), \(a\), y \(b\) son constantes.

Algunos Ejemplos Adicionales

Los siguientes ejemplos adicionales, completamente resueltos, le permitirán dominar completamente el proceso de diferenciación aplicado a expresiones algebraicas ordinarias y le permitirán trabajar por sí mismo los ejemplos dados al final de este capítulo.

Ejemplo 5.3. Diferenciar \(y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}\).

Solución. \(\dfrac{3}{5}\) es una constante agregada y desaparece (ver aquí).

Podemos entonces escribir de inmediato \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} \times 5 \times x^{5-1},\] o \[\frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4.\]

Ejemplo 5.4. Diferenciar \(y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}\).

Solución. El término \(\dfrac{1}{2}\sqrt{a}\) desaparece, siendo una constante agregada; y como \(a\sqrt{x}\), en la forma de índice, se escribe \(ax^{\frac{1}{2}}\), tenemos \[\frac{dy}{dx} = a \times \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{a}{2} \times x^{-\frac{1}{2}},\] o \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}.\]

Ejemplo 5.5. Si \[ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2},\] encuentre la derivada de \(y\) con respecto a \(x\).

Solución. Como regla, una expresión de este tipo necesitará un poco más de conocimiento del que hemos adquirido hasta ahora; sin embargo, siempre es conveniente intentar si la expresión se puede simplificar a una forma más simple.

Primero, debemos intentar llevarla a la forma \(y = {}\) alguna expresión que involucre solamente \(x\) .

La expresión puede escribirse \[(a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}.\]

Al cuadrar, obtenemos \[(a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2),\] que se simplifica a \[(a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 = x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2);\] o \[[(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 = [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2,\] es decir \[2b(b-a)y^2 = -2b(b+a)x^2;\]

por lo tanto² \[y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{y}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}.\]

Ejemplo 5.6. (a) El volumen de un cilindro de radio \(r\) y altura \(h\) está dado por la fórmula \(V = \pi r^2 h\). Encontrar la tasa de variación del volumen con el radio cuando \(r = 5.5\) en y \(h=20\) en (b) Si \(r = h\), encontrar las dimensiones del cilindro de modo que un cambio de \(1\) en en el radio cause un cambio de \(400\) en \(^3\) en el volumen.

Solución. (a) La tasa de variación de \(V\) con respecto a \(r\) es \[\frac{dV}{dr} = 2 \pi r h.\]

Si \(r = 5.5\) en y \(h=20\) en, esto se convierte en \(690.8\). Esto significa que un cambio de radio de \(1\) pulgada causará un cambio de volumen de \(690.8\) in\(^3\). Esto puede verificarse fácilmente, ya que los volúmenes con \(r = 5\) y \(r = 6\) son \(1570\) in\(^3\) y \(2260.8\) in\(^3\) respectivamente, y \(2260.8 - 1570 = 690.8\).

(b) Si \[r=h,\quad\text{y}\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400~\frac{\text{in}^3}{\text{in}}\] debemos tener \[r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} \approx 7.98~\text{in}.\]

Ejemplo 5.7. La lectura \(\theta\) de un pirómetro de radiación de Féry está relacionada con la temperatura Celsius \(T\) del cuerpo observado por la relación \[\dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{T}{T_1}\right)^4,\] donde \(\theta_1\) es la lectura correspondiente a una temperatura conocida \(T_1\) del cuerpo observado.

Compare la sensibilidad del pirómetro a las temperaturas \(800\,^\circ\)C, \(1000\,^\circ\)C, \(1200\,^\circ\)C, dado que lee \(25\) cuando la temperatura era \(1000\,^\circ\)C.

Solución. La sensibilidad es la tasa de variación de la lectura con la temperatura, es decir \(\dfrac{d\theta}{dT}\). La fórmula puede escribirse \[\theta = \dfrac{\theta_1}{T_1^4} T^4 = \dfrac{25\ T^4}{1000^4},\] y tenemos \[\dfrac{d\theta}{dT} = \dfrac{100\ T^3}{1000^4} = \dfrac{T^3}{10,000,000,000}.\]

Cuando \(T=800\,^\circ\)C, \(1000\,^\circ\)C y \(1200\,^\circ\)C, obtenemos \(\dfrac{d\theta}{dT} = 0.0512\), \(0.1\) y \(0.1728\), respectivamente. La sensibilidad se duplica aproximadamente de \(800\,^\circ\)C a \(1000\,^\circ\)C, y se vuelve tres cuartos más grande de nuevo hasta \(1200\,^\circ\)C.

Ejercicios

Diferenciar lo siguiente:

Ejercicio 5.1. \(y = ax^3 + 6\).

Solución

La constante \(6\) es añadida y desaparece durante el proceso de diferenciación. \[\frac{d y}{d x}=3 a x^{2}.\]

Ejercicio 5.2. \(y = 13x^{\frac{3}{2}} - c\).

Solución

\(-c\) es una constante añadida y desaparece durante el proceso de diferenciación. \[\frac{d y}{d x}=13 \times \frac{3}{2} x=\frac{39}{2} x\]

Ejercicio 5.3. \(y = 12x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}\).

Solución

\(c^{\frac{1}{2}}\) es una constante añadida y desaparece. \[\frac{d y}{d x}=12 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=6 x^{-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\sqrt{x}}\]

Ejercicio 5.4. \(y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}\).

Solución

\[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} c^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{c}{x}}\]

Ejercicio 5.5. \(u = \dfrac{az^n - 1}{c}\).

Solución

\[\frac{d u}{d z}=n \frac{a}{c} z^{n-1}\]

Ejercicio 5.6. \(y = 1.18t^2 + 22.4\)

Solución

\[\frac{d y}{d x}=2 \times 1.18 t=2.36 t\]

Cree otros ejemplos por su cuenta y pruebe su habilidad en diferenciar.

Ejercicio 5.7. Si \(l_t\) y \(l_0\) son las longitudes de una barra de hierro a las temperaturas \(T~^\circ\)C. y \(0~^\circ\)C. respectivamente, entonces \(l_T = l_0(1 + 0.000012T)\). Encuentre el cambio de longitud de la barra por grado centígrado.

Solución

\[\frac{d l_{T}}{d T}=l_{0} \times 0.000012=0.000012 l_{0}\]

Ejercicio 5.8. Se ha encontrado que si \(c\) es la potencia de una lámpara incandescente eléctrica, y \(V\) es el voltaje, \(c = aV^b\), donde \(a\) y \(b\) son constantes.

Encuentre la tasa de cambio de la potencia con el voltaje y calcule el cambio de potencia por voltio en \(80\), \(100\) y \(120\) voltios en el caso de una lámpara para la cual \(a = 0.5\times10^{-10}\) y \(b=6\).

Solución

\[\frac{d c}{d V}=a b V^{b-1}\] Así que para \(a=0.5 \times 10^{-10}\) y \(b=6\),

\[\frac{dc}{dV}=3.0\times 10^{-10} V^5.\]

Cuando \(V=80\) voltios \[\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 80^{5}=0.98304.\]

Cuando \(V=100\) voltios

\[\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 100^{5}=3.\]

Cuando \(V=120\) voltios

\[\frac{d c}{d V}=3 \times 10^{-10} \times 120^{5}=7.46496.\]

Ejercicio 5.9. La frecuencia \(n\) de vibración de una cuerda de diámetro \(D\), longitud \(L\) y gravedad específica \(\sigma\), estirada con una fuerza \(T\), está dada por \[n = \dfrac{1}{DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi\sigma}}.\]

Encuentre la tasa de cambio de la frecuencia cuando \(D\), \(L\), \(\sigma\) y \(T\) se varían individualmente.

Solución

Cuando \(D\) se var toma, escribimos

\[n=\frac{1}{L} D^{-1} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}\]

luego

\[\frac{d n}{d D}=\frac{-1}{L} D^{-2} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}=\frac{-1}{L D^{2}} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}\]

Cuando \(L\) se var toma

\[n=\frac{L^{-1}}{D} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}} \Rightarrow \frac{d n}{d L}=\frac{-1}{D L^{2}} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma}}\]

Cuando \(\sigma\) se var toma

\[\begin{align} n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d \sigma} & =\frac{-1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi}} \sigma^{-\frac{3}{2}} \\ & =-\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g T}{\pi \sigma^{3}}} \end{align}\]

Cuando \(T\) se var toma

\[n=\frac{1}{D L} \sqrt{\frac{g}{\pi \sigma}} T^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{d n}{d T}=\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{g}{\pi \sigma}} T^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 D L} \sqrt{\frac{9}{\pi \sigma} T}\]

Ejercicio 5.10. La mayor presión externa \(P\) que un tubo puede soportar sin colapsar está dada por \[P = \left(\dfrac{2E}{1-\sigma^2}\right) \dfrac{t^3}{D^3},\] donde \(E\) y \(\sigma son constantes, \(t\) es el espesor del tubo y \(D\) es su diámetro. (Esta fórmula asume que \(4t\) es poco en comparación con \(D\).)

Compare la tasa a la que \(P\) varía para un pequeño cambio de grosor y para un pequeño cambio de diámetro tomando lugar de forma separada.

Solución

El problema nos está pidiendo calcular \(\dfrac{dP}{dt}\) y \(\dfrac{dP}{dD}\) y encontrar su relación

\[\begin{align} & P=\frac{2E}{1-\sigma^{2}}\frac{t^{3}}{D^{3}} \Rightarrow \frac{dP}{dt}=\frac{6E}{1-\sigma^{2}}\frac{t^{2}}{D^{3}} \\ & P=\frac{2E}{1-\sigma^{2}}t^{3}D^{-3} \Rightarrow \frac{dP}{dD}=\frac{-6E}{1-\sigma^{2}}t^{3}D^{-4}=-\frac{6E}{1-\sigma^{2}}\frac{t^{3}}{D^{4}} \\ & \frac{\dfrac{dP}{dt}}{\dfrac{dP}{dD}}=\frac{\text{tasa de cambio de } P \text{ cuando } t \text{ var}ía }{\text{tasa de cambio de } P \text{ cuando } D \text{ var}ía }=-\frac{D}{t} \end{align}\]

Ejercicio 5.11. Encuentre, desde los primeros principios, la tasa a la que los siguientes varían con respecto a un cambio en el radio:

la circunferencia de un círculo de radio \(r\);

el área de un círculo de radio \(r\);

el área lateral de un cono de dimensión de inclinación \(l\);

el volumen de un cono de radio \(r\) y altura \(h\);

el área de una esfera de radio \(r\);

el volumen de una esfera de radio \(r\).

Respuesta

\(2\pi\), \(2\pi r\), \(\pi l\), \(\frac{2}{3}\pi rh\), \(8\pi r\), \(4\pi r^2\).

Solución

(a) La circunferencia \(C\) de un círculo está dada por

\[C=2\pi r\]

Por lo tanto

\[\frac{dC}{dr}=2\pi\]

(b) El área \(A\) de un círculo está dada por

\[A=\pi r^2\]

Por lo tanto

\[\frac{dA}{dr}=2\pi r\]

\[A_{L}=\pi rl\]

Por lo tanto, \[\frac{dA_{L}}{dr}=\pi l\]

(d) El volumen \(V\) de un cono de radio \(r\) y altura está dado por

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h\]

Por lo tanto

\[\frac{dV}{dr}=\frac{2}{3}\pi rh\]

(e) El área \(S\) de una esfera de radio \(r\) es

\[\begin{align} S & =4\pi r^2 \\ \Rightarrow \quad & \frac{dS}{dr}=8\pi r \end{align}\]

(f) El volumen de una esfera \(V\) de radio \(T\) es

\[V=\frac{4}{3}\pi r^3\]

Por lo tanto

\[\frac{dV}{dr}=4\pi r^2\]

Ejercicio 5.12. La longitud \(L\) de una barra de hierro a la temperatura \(T\) está dada por \(L=l_0\bigl[1+0.000012(T-T_0)\bigr]\), donde \(l_0\) es la longitud a la temperatura \(T_0\), encuentra la tasa de variación del diámetro \(D\) de una rueda de hierro adecuada para ser ajustada a presión en una rueda, cuando la temperatura \(T\) varía.

Respuesta

\(2\pi\), \(2\pi r\), \(\pi l\), \(\frac{2}{3}\pi rh\), \(8\pi r\), \(4\pi r^2\).

Solución

Ya que \(L=\pi D\), tenemos \[D=\frac{l_{0}}{\pi}\left[1+0.000012\left(T-T_{0}\right)\right]\] \[\Rightarrow \frac{dD}{dT}=0.000012\frac{l_{0}}{\pi}\]

Ahora has aprendido cómo diferenciar potencias de \(x\). ¡Qué fácil es!