A Regra do Poder

Exemplo 4.1. Derive $y=x^2$.

Solução. Comecemos com a expressão simples $y=x^2$. Agora lembre-se de que a noção fundamental sobre o cálculo é a ideia de crescimento. Os matemáticos chamam isso de variação. Ora, como $y$ e $x^2$ são iguais um ao outro, é claro que se $x$ cresce, $x^2$ também crescerá. E se $x^2$ cresce, então $y$ também crescerá. O que temos que descobrir é a proporção entre o crescimento de $y$ e o crescimento de $x$. Em outras palavras, nossa tarefa é descobrir a razão entre $dy$ e $dx$, ou, em resumo, encontrar o valor de ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$.

Deixe $x$, então, crescer um pouquinho mais e se tornar $x+dx$; da mesma forma, $y$ crescerá um pouco mais e se tornará $y+dy$. Então, claramente, continuará sendo verdade que o $y$ ampliado será igual ao quadrado do $x$ ampliado. Escrevendo isso, temos: $$y+dy=(x+dx{)}^2.$$ Fazendo a elevação ao quadrado, obtemos: $$y+dy=x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2.$$

O que significa $(dx{)}^2$? Lembre-se que $dx$ significava um pedaço — um pedacinho — de $x$. Então $(dx{)}^2$ significará um pedacinho de um pedacinho de $x$; ou seja, como explicado acima, é uma quantidade pequena de segunda ordem de pequenez. Pode, portanto, ser descartada como totalmente insignificante em comparação com os outros termos. Deixando-a de lado, temos então: $$y+dy=x^2+2x\cdot dx.$$ Agora $y=x^2$; então vamos subtrair isso da equação e nos resta $$dy=2x\cdot dx.$$ Dividindo tudo por $dx$, encontramos $$\frac{dy}{dx}=2x.$$

Ora, isto¹ é o que nos propusemos a encontrar. A razão do crescimento de $y$ para o crescimento de $x$ é, no caso diante de nós, encontrada como $2x$.

Suponha que $x=100$ e portanto $y=10.000$. Então deixe $x$ crescer até se tornar $101$ (isto é, seja $dx=1$). Então o $y$ ampliado será $101\times 101=10.201$. Mas se concordarmos que podemos ignorar quantidades pequenas de segunda ordem, $1$ pode ser rejeitado em comparação com $10.000$; então podemos arredondar o $y$ ampliado para $10.200$. $y$ cresceu de $10.000$ para $10.200$; o pedaço adicionado é $dy$, que é, portanto, $200$.

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{200}{1}}=200$. De acordo com o cálculo algébrico do parágrafo anterior, encontramos ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=2x$. E assim é; pois $x=100$ e $2x=200$.

Mas, você dirá, nós negligenciamos uma unidade inteira.

Bem, tente novamente, fazendo de $dx$ um pedacinho ainda menor.

Tente $dx=\frac{1}{10}$. Então $x+dx=100,1$, e $$(x+dx{)}^2=100,1\times 100,1=10.020,01.$$

Agora, o último algarismo $1$ é apenas a milionésima parte de $10.000$, e é totalmente insignificante; então podemos tomar $10.020$ sem o pequeno decimal no final. E isso faz com que $dy=20$; e ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{20}{0,1}}=200$, que ainda é o mesmo que $2x$.

Exemplo 4.2. Tente derivar $y=x^3$ da mesma maneira.

Solução. Deixamos $y$ crescer para $y+dy$, enquanto $x$ cresce para $x+dx$.

Então temos $$y+dy=(x+dx{)}^3.$$

Fazendo a elevação ao cubo, obtemos $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx+3x(dx{)}^2+(dx{)}^3.$$

Agora sabemos que podemos negligenciar quantidades pequenas de segunda e terceira ordens; já que, quando $dy$ e $dx$ se tornam ambos indefinidamente pequenos, $(dx{)}^2$ e $(dx{)}^3$ se tornarão indefinidamente menores em comparação. Então, considerando-os como insignificantes, nos resta: $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx.$$

Mas $y=x^3$; e, subtraindo isso, temos: \begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align} e \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}

Exemplo 4.3. Tente derivar $y=x^4$.

Solução. Começando como antes, deixando tanto $y$ quanto $x$ crescerem um pouco, temos: \begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align} Calculando a elevação à quarta potência, obtemos $$y+dy=x^4+4x^{3}dx+6x^2(dx{)}^2+4x(dx{)}^3+(dx{)}^4.$$ Então, eliminando os termos que contêm todas as potências superiores de $dx$, por serem insignificantes em comparação, temos $$y+dy=x^4+4x^{3}dx.$$ Subtraindo o $y=x^4$ original, nos resta $$dy=4x^{3}dx,$$ e $$\frac{dy}{dx}=4x^3.$$

Exemplo 4.4. Tente derivar $y=x^5$.

Solução. Então \begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align} Negligenciando todos os termos que contêm quantidades pequenas de ordens superiores, nos resta $$y+dy=x^5+5x^{4}dx,$$ e subtraindo $y=x^5$ nos deixa $$dy=5x^{4}dx,$$ de onde \begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align} exatamente como supusemos.

Exemplo 4.5. Derive $y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

Solução. Podemos escrever $y=x^{-2}$. Então prossiga como antes: \begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align} Expandindo isso pelo teorema binomial (veja o apêndice), obtemos \begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align} Então, negligenciando as quantidades pequenas de ordens superiores de pequenez, temos: $$y+dy=x^{-2}-2x^{-3}\cdot dx.$$ Subtraindo o $y=x^{-2}$ original, encontramos \begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align} ou $$\frac{dy}{dx}=-2x^{-3}.$$ E isso ainda está de acordo com a regra inferida acima.

Exemplo 4.6. Derive $y=\sqrt{x}$.

Solução. Note que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.² Então seja $y=x^{\frac{1}{2}}$. Então, como antes, \begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{termos com potências superiores de } dx. \end{align} Subtraindo o $y=x^{\frac{1}{2}}$ original, e negligenciando as potências superiores, nos resta: $$dy=\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\cdot dx,$$ e ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}$. Concordando com a regra geral.