Sobre os Juros Compostos Verdadeiros
Suponha que haja uma quantidade crescendo de tal forma que o incremento de seu crescimento, durante um dado tempo, seja sempre proporcional à sua própria magnitude. Isso se assemelha ao processo de cálculo de juros sobre o dinheiro a uma taxa fixa; pois quanto maior o capital, maior o montante de juros sobre ele em um dado tempo.
Agora devemos distinguir claramente entre dois casos, em nosso cálculo, conforme o cálculo seja feito pelo que os livros de aritmética chamam de “juros simples” ou pelo que chamam de “juros compostos”. Pois no primeiro caso o capital permanece fixo, enquanto no segundo os juros são adicionados ao capital, que, portanto, aumenta por adições sucessivas.
(1) A juros simples. Considere um caso concreto. Seja o capital inicial $100, e seja a taxa de juros 10 por cento ao ano. Então o incremento para o proprietário do capital será $10 a cada ano. Deixe-o continuar retirando seus juros todos os anos e acumulando-os, guardando-os em uma meia ou trancando-os em seu cofre. Então, se ele continuar por 10 anos, ao final desse tempo ele terá recebido 10 incrementos de $10 cada, ou $100, perfazendo, com os $100 originais, um total de $200 ao todo. Sua propriedade terá dobrado em 10 anos. Se a taxa de juros tivesse sido de 5 por cento, ele teria que acumular por 20 anos para dobrar sua propriedade. Se tivesse sido apenas 2 por cento, ele teria que acumular por 50 anos. É fácil ver que, se o valor dos juros anuais for \dfrac{1}{n} do capital, ele deve continuar acumulando por n anos para dobrar sua propriedade.
Ou, se y for o capital original, e os juros anuais forem \dfrac{y}{n}, então, ao final de n anos, sua propriedade será y + n\dfrac{y}{n} = 2y.
(2) A juros compostos. Como antes, deixe o proprietário começar com um capital de $100, rendendo juros à taxa de 10 por cento ao ano; mas, em vez de acumular os juros, deixe que eles sejam adicionados ao capital a cada ano, de modo que o capital cresça ano a ano. Então, ao final de um ano, o capital terá crescido para $110; e no segundo ano (ainda a 10%) isso renderá $11 de juros. Ele começará o terceiro ano com $121, e os juros sobre isso serão de $12.1; de modo que ele começa o quarto ano com $133.1, e assim por diante. É fácil calcular e descobrir que, ao final dos dez anos, o capital total terá crescido para $259.374. De fato, vemos que ao final de cada ano, cada dólar terá rendido \frac{1}{10} de um dólar e, portanto, se isso for sempre adicionado, cada ano multiplica o capital por \frac{11}{10}; e se continuado por dez anos (o que multiplicará por esse fator dez vezes seguidas), multiplicará o capital original por {2.59374}. Vamos colocar isso em símbolos. Coloque y_0 para o capital original; \dfrac{1}{n} para a fração adicionada em cada uma das n operações; e y_n para o valor do capital ao final da n-ésima operação. Então y_n = y_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
Mas este modo de calcular juros compostos uma vez por ano não é realmente muito justo; pois mesmo durante o primeiro ano os $100 deveriam estar crescendo. Ao final de meio ano, deveria ter sido pelo menos $105, e certamente teria sido mais justo se os juros para a segunda metade do ano tivessem sido calculados sobre $105. Isso seria equivalente a chamá-lo de 5% por semestre; com 20 operações, portanto, em cada uma das quais o capital é multiplicado por \frac{21}{20}. Se calculado desta forma, ao final de dez anos o capital teria crescido para $265.33.; pois \left(1 + \frac{1}{20}\right)^{20} ={2.6533}.
Mas, mesmo assim, o processo ainda não é totalmente justo; pois, ao final do primeiro mês, haverá alguns juros ganhos; e um cálculo semestral assume que o capital permanece estacionário por seis meses de cada vez. Suponha que dividamos o ano em 10 partes e calculemos um por cento de juros para cada décimo do ano. Temos agora 100 operações durando ao longo dos dez anos; ou y_n = \$100 \left( 1 + \frac{1}{100} \right)^{100}; o que resulta em $270.481.
Mesmo isso não é final. Deixe os dez anos serem divididos em 1.000 períodos, cada um de \frac{1}{100} de um ano; sendo os juros de \frac{1}{10} por cento para cada um desses períodos; então y_n = \$ 100 \left( 1 + \frac{1}{1000} \right)^{1000}; o que resulta em $271.692.
Vá ainda mais minuciosamente e divida os dez anos em 10.000 partes, cada uma \frac{1}{1000} de um ano, com juros a \frac{1}{100} de 1 por cento. Então y_n = \$100 \left( 1 + \frac{1}{10,000} \right)^{10,000}; o que totaliza $271.815.
Finalmente, ver-se-á que o que estamos tentando encontrar é, na realidade, o valor final da expressão \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n, que, como vemos, é maior que 2; e que, à medida que tomamos n cada vez maior, aproxima-se cada vez mais de um valor limite particular. Por maior que você torne n, o valor desta expressão cresce cada vez mais perto do número 2.71828\ldots um número jamais a ser esquecido.
Vamos tomar ilustrações geométricas dessas coisas. Na figura seguinte, OP representa o valor original. OT é o tempo total durante o qual o valor está crescendo. Ele é dividido em 10 períodos, em cada um dos quais há um degrau igual para cima. Aqui \dfrac{dy}{dx} é uma constante; e se cada degrau para cima for \frac{1}{10} do OP original, então, por 10 tais degraus, a altura é dobrada. Se tivéssemos dado 20 passos, cada um com metade da altura mostrada, ao final a altura ainda estaria apenas dobrada. Ou n tais degraus, cada um de \dfrac{1}{n} da altura original OP, seriam suficientes para dobrar a altura. Este é o caso dos juros simples. Aqui está 1 crescendo até se tornar
A grande razão pela qual e é considerado importante é que e^x possui uma propriedade, não possuída por nenhuma outra função de x, de que quando você o diferencia, seu valor permanece inalterado; ou, em outras palavras, sua derivada é igual a si mesma. Isso pode ser visto instantaneamente ao diferenciá-lo em relação a x, assim: \begin{align} \frac{d(e^x)}{dx} &= 0 + 1 + \frac{2x}{1 \cdot 2} + \frac{3x^2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{4x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{5x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots. \end{align} ou \begin{align} \frac{d(e^x)}{dx}= 1 + x + \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots, \end{align} que é exatamente igual à série original.
\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\dfrac{d(e^x)}{dx}=e^x}
Agora poderíamos ter trabalhado de outra forma e dito: Ora; vamos encontrar uma função de x, tal que sua derivada seja igual a si mesma. Ou, existe alguma expressão, envolvendo apenas potências de x, que não seja alterada pela diferenciação? Assim sendo; vamos assumir como uma expressão geral que y = A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \cdots, (na qual os coeficientes A, B, C, etc. terão que ser determinados), e diferenciá-la. \dfrac{dy}{dx} = B + 2Cx + 3Dx^2 + 4Ex^3 + \cdots.
Agora, se esta nova expressão deve realmente ser a mesma da qual foi derivada, está claro que A deve =B; que C=\dfrac{B}{2}=\dfrac{A}{1\cdot 2}; que D = \dfrac{C}{3} = \dfrac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3}; que E = \dfrac{D}{4} = \dfrac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}, etc.
A lei de mudança é, portanto, que
y = A\left(1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots.\right).
Se, agora, tomarmos A = 1 por uma questão de maior simplicidade, temos y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots.
Diferenciá-la qualquer número de vezes resultará sempre na mesma série novamente.
Se, agora, tomarmos o caso particular de A=1, e avaliarmos a série, obteremos simplesmente \begin{align} \text{when } x &= 1,\quad & y &= 2.718281\dots; & \text{that is, } y &= e; \\ \text{when } x &= 2,\quad & y &=(2.718281\dots)^2; & \text{that is, } y &= e^2; \\ \text{when } x &= 3,\quad & y &=(2.718281\dots)^3; & \text{that is, } y &= e^3; \end{align} e portanto \text{when } x=x,\quad y=(2.718281\dots.)^x;\quad\text{that is, } y=e^x, demonstrando assim finalmente que e^x = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1\cdot2} + \dfrac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3} + \dfrac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} + \cdots.
Naturalmente, segue-se que e^y permanece inalterado se diferenciado em relação a y. Além disso, e^{ax}, que é igual a (e^a)^x, será, quando diferenciado em relação a x, ae^{ax}, porque a é uma constante.
Logaritmos Naturais ou Neperianos
Outra razão pela qual e é importante é porque ele foi tornado por Napier, o inventor dos logaritmos, a base de seu sistema. Se y é o valor de e^x, então x é o logaritmo, na base e, de y. Ou, se y = e^x, então x = \log_e y.
O logaritmo com base e é chamado de logaritmo natural. O logaritmo natural é tão importante que possui sua própria abreviação: \log_e y \qquad\text{is often written as}\qquad \ln y.
As duas curvas plotadas nas Figs. 14.3 e 14.4 representam essas equações.
Os pontos calculados são:
| x | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y=e^x | 0.14 | 0.37 | 0.61 | 1 | 1.65 | 2.71 | 4.50 | 7.39 |
| y | 0.1 | 0.5 | 1 \(y=e^{\sqrt{x^2+a}}.\ln y=(x^2+a)^{\frac{1}{2}}. \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}\quad\text{and}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x \times e^{\sqrt{x^2+a}}}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. Pois se (x^2+a)^{\frac{1}{2}}=u e x^2+a=v, u=v^{\frac{1}{2}}, \frac{du}{dv} = \frac{1}{{2v}^{\frac{1}{2}}};\quad \frac{dv}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{x}{{(x^2+a)}^{\frac{1}{2}}}. Verifique escrevendo \sqrt{x^2+a}=z. Exemplo 14.4. Se y=\log(a+x^3), encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. Seja (a+x^3)=z; então y=\ln z. \frac{dy}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 3x^2;\quad\text{hence}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{a+x^3}. Exemplo 14.5. Se y=\ln\left\{{3x^2+\sqrt{a+x^2}}\right\}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. Seja 3x^2 + \sqrt{a+x^2}=z; então y=\ln z. \begin{align} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 6x + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{6x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{3x^2 + \sqrt{a+x^2}} = \frac{x(1 + 6\sqrt{x^2+a})}{(3x^2 + \sqrt{x^2+a}) \sqrt{x^2+a}}. \end{align} Exemplo 14.6. Se y=(x+3)^2 \sqrt{x-2}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos \begin{align} \ln y &=\ln\left[(x+3)^2\sqrt{x-2}\right]\\ &=\ln\left[(x+3)^2\right]+\ln\left[(x-2)^{\frac{1}{2}}\right]\\ &= 2 \ln(x+3)+ \frac{1}{2} \ln(x-2). \end{align} Diferenciando ambos os lados, obtemos \begin{align} \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+3)} + \frac{1}{2(x-2)}; \\ \frac{dy}{dx} &= (x+3)^2 \sqrt{x-2} \left\{\frac{2}{x+3} + \frac{1}{2(x-2)}\right\}. \end{align} Exemplo 14.7. Se y=(x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos \begin{align} \ln y &= 3 \ln(x^2+3) + \frac{2}{3} \ln(x^3-2); \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= 3 \frac{2x}{(x^2+3)} + \frac{2}{3} \frac{3x^2}{x^3-2} = \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2}. \end{align} Pois se u=\ln(x^2+3), seja x^2+3=z e u=\ln z. \frac{du}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+3}. Da mesma forma, se v=\ln(x^3-2), \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{3x^2}{x^3-2} e \frac{dy}{dx} = (x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}} \left\{ \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2} \right\}. Exemplo 14.8. Se y=\dfrac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. \begin{align} \ln y &= \ln\left[\frac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}}\right]\\ &=\ln \left[(x^2+a)^{\frac{1}{2}}(x^3-a)^{-\frac{1}{3}}\right]\\ &=\ln \left[(x^2+a)^{\frac{1}{2}}\right]+\ln \left[(x^3-a)^{-\frac{1}{3}}\right]\\ &= \frac{1}{2} \ln(x^2+a) - \frac{1}{3} \ln(x^3-a). \end{align} Diferenciando \begin{align} \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2}\, \frac{2x}{x^2+a} - \frac{1}{3}\, \frac{3x^2}{x^3-a} = \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \end{align} e \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}} \left\{ \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \right\}. \end{align} Exemplo 14.9. Se y=\dfrac{1}{\ln x}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x \times 0 - 1 \times \dfrac{1}{x}} {\ln^2 x} = -\frac{1}{x \ln^2x}.\tag{Quotient Rule} Exemplo 14.10. Se y=\sqrt[3]{\ln x} = (\ln x)^{\frac{1}{3}}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. Seja z=\ln x; y=z^{\frac{1}{3}}. \frac{dy}{dz} = \frac{1}{3} z^{-\frac{2}{3}};\quad \frac{dz}{dx} = \frac{1}{x};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x \sqrt[3]{\ln^2 x}}. Exemplo 14.11. Se y=\left(\dfrac{1}{a^x}\right)^{ax}, encontre \dfrac{dy}{dx}. Solução. \begin{align}
\ln y= ax Se duas ordenadas sucessivas estão relacionadas entre si em uma razão constante, seus logaritmos terão uma diferença constante; de modo que, se traçarmos uma nova curva, a figura seguinte, com valores de \(\ln y\) como ordenadas, ela seria uma linha reta inclinada para cima em degraus iguais. De fato, segue-se da equação que \[\begin{align}
\ln y = \ln b + x \cdot \ln p,
\end{align} 
A Curva de DecaimentoSe tomássemos p como uma fração própria (menor que a unidade), a curva obviamente tenderia a descer, como na figura seguinte, onde cada ordenada sucessiva é \dfrac{3}{4} da altura da anterior. A equação ainda é y=bp^x; 
mas como p é menor que um, \ln p será uma quantidade negativa, e pode ser escrita como -a; de modo que p=e^{-a},3 e agora nossa equação para a curva assume a forma y=be^{-ax}. A importância desta expressão é que, no caso em que a variável independente é o tempo, a equação representa o curso de uma grande quantidade de processos físicos nos quais algo está desaparecendo gradualmente. Assim, o resfriamento de um corpo quente é representado (na célebre “lei do resfriamento” de Newton) pela equação \theta_t=\theta_0 e^{-at}; onde \theta_0 é o excesso original de temperatura de um corpo quente em relação ao seu entorno, \theta_t o excesso de temperatura ao final do tempo t, e a é uma constante — a saber, a constante de decremento, dependendo da quantidade de superfície exposta pelo corpo, e de seus coeficientes de condutividade e emissividade, etc. Uma fórmula semelhante, Q_t=Q_0 e^{-at}, é usada para expressar a carga de um corpo eletrificado, tendo originalmente uma carga Q_0, que está se esvaindo com uma constante de decremento a; constante esta que depende, neste caso, da capacidade do corpo e da resistência do caminho de fuga. Oscilações dadas a uma mola flexível cessam após um tempo; e o amortecimento da amplitude do movimento pode ser expresso de maneira semelhante. De fato, e^{-at} serve como um fator de decaimento para todos aqueles fenômenos nos quais a taxa de decréscimo é proporcional à magnitude daquilo que está diminuindo; ou onde, em nossos símbolos usuais, \dfrac{dy}{dt} é proporcional em cada momento ao valor que y tem naquele momento. Pois basta inspecionarmos a curva, na figura acima, para ver que, em cada parte dela, a inclinação \dfrac{dy}{dx} é proporcional à altura y; a curva tornando-se mais plana à medida que y diminui. Em símbolos, assim y=be^{-ax} ou \ln y = \ln b - ax \ln e = \ln b - ax, e, diferenciando, \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a; logo \frac{dy}{dx} = be^{-ax} \times (-a) = -ay; ou, em palavras, a inclinação da curva é para baixo, e proporcional a y e à constante a. Teríamos obtido o mesmo resultado se tivéssemos tomado a equação na forma \begin{align} y &= bp^x; \end{align} pois então \begin{align} \frac{dy}{dx}= bp^x \times \ln p. \end{align} Mas \ln p = -a; dando-nos \begin{align} \frac{dy}{dx} = y \times (-a) = -ay, \end{align} como antes. A Constante de Tempo. Na expressão para o “fator de decaimento” e^{-at}, a quantidade a é o recíproco de outra quantidade conhecida como “a constante de tempo”, que podemos denotar pelo símbolo T. Então o fator de decaimento será escrito e^{-\frac{t}{T}}; e ver-se-á, fazendo t = T, que o significado de T \left(\text{ou de}~\dfrac{1}{a}\right) é que este é o intervalo de tempo necessário para que a quantidade original (chamada de \theta_0 ou Q_0 nos exemplos anteriores) decaia para a \dfrac{1}{e}-ésima parte — isto é, para 0.3678 — de seu valor original. Como exemplo, suponha que haja um corpo quente resfriando-se e que, no início do experimento (i.e. quando t = 0), ele esteja 72~^\circC mais quente que os objetos ao redor, e se a constante de tempo de seu resfriamento for de 20 minutos (isto é, se levar 20 minutos para que seu excesso de temperatura caia para a \dfrac{1}{e}-ésima parte de 72 graus), então podemos calcular para quanto ele terá caído em qualquer tempo t dado. Por exemplo, seja t igual a 60 minutos. Então \dfrac{t}{T} = \dfrac{60}{20} = 3, e teremos que encontrar o valor de e^{-3}, e então multiplicar os 72 graus originais por este valor. Como e^{-3} é 0.0498, ao final de 60 minutos o excesso de temperatura terá caído para 72~^\circ\text{C} \times 0.0498 = 3.586~^\circC. Exemplos AdicionaisExemplo 14.12. A intensidade de uma corrente elétrica em um condutor em um tempo t segundos após a aplicação da força eletromotriz que a produz é dada pela expressão C = \dfrac{E}{R}\left\{1 - e^{-\frac{Rt}{L}}\right\}. A constante de tempo é \dfrac{L}{R}. Se E = 10, R =1, L = 0.01; então quando t é muito grande o termo 1-e^{-\frac{Rt}{L}} torna-se 1, e C = \dfrac{E}{R} = 10; também \frac{L}{R} = T = 0.01. Seu valor em qualquer tempo pode ser escrito: C = 10 - 10e^{-\frac{t}{0.01}}, sendo a constante de tempo 0.01. Isso significa que leva 0.01 s para o termo variável cair para \ Para valores negativos de x, estas curvas não são comparáveis porque y=\dfrac{ax}{x + b} é muito grande quando x está próximo de -b. Quando x é um valor negativo grande,
Estas curvas são mostradas abaixo.
Exercício 14.21. Encontre a derivada de y em relação a x, se (\text{a})~y = x^x;\quad (\text{b})~y = (e^x)^x;\quad (\text{c})~y = e^{\left(x^x\right)}.
(a) y=x^{x} Tomando o logaritmo natural de ambos os lados e lembrando que \ln \left(A^{B}\right)=B \ln A : \begin{align} \ln y & =\ln \left(x^{x}\right) \\ & =x \ln x \end{align} Agora diferenciando e usando a Regra da Cadeia para o lado esquerdo e a Regra do Produto para o lado direito \begin{align} \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & =\ln x+x \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x} & =y(\ln x+1) \\ & =x^{x}(\ln x+1) \end{align} (b) y=\left(e^{x}\right)^{x} Método 1) Tomando o logaritmo natural de ambos os lados e usando a propriedade \ln \left(A^{B}\right)=B \ln A, temos \begin{align} \ln y & =\ln \left(\left(e^{x}\right)^{x}\right) \\ & =x \ln \left(e^{x}\right) \\ & =x \cdot x=x^{2} \end{align} Agora vamos diferenciar ambos os lados em relação a x: \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=2 x Simplificando, encontramos \frac{d y}{d x}=2 x y=2 x\left(e^{x}\right)^{x} Método 2) Lembre-se que \left(A^{B}\right)^{C}=A^{B C}. Portanto y=\left(e^{x}\right)^{x}=e^{x \cdot x}=e^{x^{2}} Seja u=x^{2} e aplicando a Regra da Cadeia com y=e^{u} onde u=x^{2}, obtemos \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =e^{u} \cdot 2 x \\ & =y \cdot 2 x \\ & =2 x\left(e^{x}\right)^{x} \end{align} (c) y=e^{\left(x^{x}\right)} Método 1) Seja y=e^{u} \quad \text { onde } \quad u=x^{x} Então, usando o resultado da parte (a) e a Regra da Cadeia, obtemos \begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\\ &= e^{u} \cdot\left[x^{x}(\ln x+1)\right] \\ & =e^{\left(x^{x}\right)} \cdot x^{x}(\ln x+1) . \end{align} Método 2) Tome o \ln de ambos os lados \begin{align} \ln y & =\ln \left(e^{\left(x^{x}\right)}\right)\\ & =x^{x} \ln e \\ & =x^{x} \end{align} Agora diferencie ambos os lados em relação a x para obter \begin{align} \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & =\frac{d\left(x^{x}\right)}{d x} \\ & =x^{x}(\ln x+1) \end{align} Portanto \begin{align} \frac{d y}{d x} & =y \times x^{x}(\ln x+1) \\ & =e^{\left(x^{x}\right)} \times x^{x}(\ln x+1) . \end{align} Exercício 14.22. Para o “Tório A,” o valor de \lambda é 5; encontre a “vida média”, isto é, o tempo levado pela transformação de uma quantidade Q de “Tório A” igual à metade da quantidade inicial Q_0 na expressão Q = Q_0 e^{-\lambda t}; t estando em segundos.
\frac{1}{2}=e^{-5 t} Tomando o logaritmo natural de ambos os lados \begin{align} \ln (0.5) & =\ln \left(e^{-5 t}\right) \\ & =-5 t \ln e \\ & =-5 t \\ \Rightarrow \quad t & =-\frac{\ln (0.5)}{5} \approx 0.1386 \text { segundos. } \end{align} Exercício 14.23. Um condensador de capacidade K = 4 \times 10^{-6}, carregado a um potencial V_0 = 20, está descarregando através de uma resistência de 10,000 ohms. Encontre o y=x a^{\frac{1}{x}} Usando a Regra do Produto \frac{d y}{d x}=a^{\frac{1}{x}}+x \frac{d\left(a^{\frac{1}{x}}\right)}{d x} Para encontrar \frac{d\left(a^{\frac{1}{x}}\right)}{d x}, seja u=\frac{1}{x} e use a Regra da Cadeia \begin{align} \frac{d a^{u}}{d x} & =\frac{d a^{u}}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\left(a^{u} \ln a\right)\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \\ & =-\frac{\ln a}{x^{2}} a^{\frac{1}{x}} \end{align} Portanto \frac{d y}{d x}=a^{\frac{1}{x}}-x \frac{\ln a}{x^{2}} a^{\frac{1}{x}}=a^{\frac{1}{x}}\left(1-\frac{\ln a}{x}\right) Como a^{\frac{1}{x}}>0, \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow 1-\frac{\ln a}{x}=0 ou \frac{d y}{d x}=0 \Leftrightarrow \boxed{x=\ln a} Usando o Teste da Segunda Derivada \begin{gathered} \frac{d y}{d x}=y\left(1-\frac{\ln a}{x}\right) \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d y}{d x}\left(1-\frac{\ln a}{x}\right)+y \cdot \frac{\ln a}{x^{2}} \end{gathered} Quando x=\ln a \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0 \times 0+a^{\frac{1}{\ln a}} \cdot \frac{\ln a}{(\ln a)^{2}}>0 Portanto y=a^{\frac{1}{\ln a}} é um mínimo ocorrendo quando x=\ln a. Funções HiperbólicasFunções hiperbólicas são combinações específicas de funções exponenciais que surgem frequentemente em várias aplicações, levando os matemáticos a dar-lhes nomes distintos e investigar minuciosamente suas propriedades. Embora as funções hiperbólicas sejam funções exponenciais combinadas, de certa forma elas se assemelham às funções trigonométricas. Como resultado, as funções hiperbólicas recebem nomes individuais, como seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica e outros. Suas definições são as seguintes: \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\begin{align} \sinh x&=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\\ \cosh x&=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\\ \tanh x&=\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ \text{coth } x&=\frac{1}{\tanh x}=\frac{\cosh x}{\sinh x}\\ \text{sech }x &=\frac{1}{\cosh x}\\ \text{csch }x &=\frac{1}{\sinh x} \end{align}} Pode-se facilmente esboçar os gráficos de y = \sinh x e y=\cosh x traçando as curvas y = e^x e y = e^{-x}, somando e subtraindo as ordenadas, e tomando a metade de cada uma. A figura a seguir exibe seus gráficos. 
Uma catenária, que é o gráfico do cosseno hiperbólico, é uma curva que descreve a forma de uma corrente ou corda homogênea pendurada sob seu próprio peso. Quando x é positivamente grande, e^{x} é muito grande, enquanto e^{-x} é extremamente pequeno; portanto e^{x}\pm e^{-x}\approx e^{x} levando a: \tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\approx\frac{e^{x}}{e^{x}}=1. Da mesma forma, quando x é negativamente grande, e^x é desprezível, tornando e^x\pm e^{-x}\approx \pm e^{-x}, e portanto: \tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\approx\frac{-e^{x}}{e^{x}}=-1. O gráfico de y=\tanh x é mostrado abaixo. 
Identidades Entre Funções HiperbólicasAs propriedades das funções hiperbólicas assemelham-se muito às propriedades correspondentes das funções trigonométricas. Segue-se diretamente das definições que \begin{align} \cosh x-\sinh x & =e^{-x}\\ \cosh x+\sinh x & =e^{x} \end{align} Agora usando A^2-B^2=(A-B)(A+B), obtemos \begin{align} \cosh^2 x-\sinh^2 x&=(\cosh x-\sinh x)(\cosh x+\sinh x)\\ &= e^{-x}\cdot e^x=e^{-x+x}=e^0=1 \end{align} Dessa forma, provamos uma das identidades fundamentais: \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{ \cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1} Agora, se dividirmos cada termo da equação acima por \cosh^2 x, obtemos \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{1-\tanh^{2}x=\text{sech}^{2}x=\dfrac{1}{\cosh^{2}x}} Da mesma forma, dividir cada termo de \cosh^2 x-\sinh^2 x=1 por \sinh^2 x nos dá \text{coth}^2 x-\text{csch}^{2}x=1 Exemplo 14.15. Prove \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y. Solução. Vamos simplificar o lado direito \begin{align} \sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y= & \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\\[6pt] = & \frac{1}{4}\left[e^{x+y}+\cancel{e^{x-y}}-\bcancel{e^{-x+y}}-e^{-x-y}\right]\\[6pt] & \quad+\frac{1}{4}\left[e^{x+y}-\cancel{e^{x-y}}+\bcancel{e^{-x+y}}-e^{-x-y}\right]\\[6pt] = & \frac{1}{2}\left[e^{x+y}-e^{-(x+y)}\right]\\[6pt] = & \sinh(x+y) \end{align} Portanto, \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\sinh(x+ y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y.} De forma semelhante, podemos provar \bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\cosh(x+ y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.} Segue-se da identidade acima que \[\  Aprenda de Forma Mais Eficiente Links RápidosMídias SociaisCopyright © 2026 Avidemia. All right reserved. |
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