指数、对数、双曲函数及其导数

论真正的复利

设有一个量以这样的方式增长：在给定时间内，其增长增量始终与其自身大小成正比。这类似于按固定利率计算货币利息的过程；因为资本越大，在给定时间内产生的利息就越多。

现在，我们必须清楚地区分两种情况，根据算术书籍中称为“单利”或“复利”的计算方式。在前一种情况下，资本保持不变，而在后一种情况下，利息被加到资本上，因此资本通过连续累加而增加。

(1) 单利。考虑一个具体案例。设初始资本为$ $100$ ，年利率为 $10$ %。那么，资本所有者每年将获得$ $10$ 的增量。让他每年提取利息，并将其存放在袜子里或锁在保险柜中。那么，如果他持续 $10$ 年，到那时他将收到 $10$ 次$ $10$ 的增量，即$ $100$ ，加上原来的$ $100$ ，总共$ $200$ 。他的财产将在 $10$ 年内翻倍。如果利率是 $5$ %，他需要储蓄 $20$ 年才能使财产翻倍。如果利率只有 $2$ %，他需要储蓄 $50$ 年。很容易看出，如果年利息的价值是资本的 $\frac{1}{n}$ ，他必须持续储蓄 $n$ 年才能使财产翻倍。

或者，如果 $y$ 是原始资本，年利息是 $\frac{y}{n}$ ，那么在 $n$ 年末，他的财产将是 $y + n \frac{y}{n} = 2 y .$

(2) 复利。如前所述，让所有者以$ $100$ 的资本开始，按年利率 $10$ %赚取利息；但是，不是将利息储蓄起来，而是每年将其加到资本中，这样资本逐年增长。那么，在第一年末，资本将增长到$ $110$ ；在第二年（仍按 $10$ %），这将赚取$ $11$ 的利息。他将以$ $121$ 开始第三年，其利息将是$ $12.1$ ；因此他以$ $133.1$ 开始第四年，依此类推。很容易计算出来，到第十年末，总资本将增长到$ $259.374$ 。事实上，我们看到，在每年末，每美元将赚取 $\frac{1}{10}$ 美元，因此，如果总是将其加上，每年将资本乘以 $\frac{11}{10}$ ；如果持续十年（这将乘以这个因子十次），将使原始资本乘以 $2.59374$ 。让我们用符号表示。设 $y_{0}$ 为原始资本； $\frac{1}{n}$ 为每次操作中增加的比例； $y_{n}$ 为第 $n$ 次操作结束时的资本价值。那么 $y_{n} = y_{0} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .$

但这种每年计算一次复利的方式实际上并不完全公平；因为即使在第一年，$ $100$ 也应该在增长。在半年末，它至少应该是$ $105$ ，而且如果下半年的利息是基于$ $105$ 计算的，那肯定会更公平。这相当于将其称为每半年 $5$ %的利率；因此有 $20$ 次操作，每次操作资本乘以 $\frac{21}{20}$ 。如果这样计算，到第十年末，资本将增长到$ $265.33$ ；因为 ${(1 + \frac{1}{20})}^{20} = 2.6533 .$

但是，即便如此，这个过程仍然不完全公平；因为到第一个月末，就会产生一些利息；而半年计算一次假设资本在六个月内保持不变。假设我们将一年分成 $10$ 份，并为每年的十分之一计算百分之一的利息。现在我们在这十年中有 $100$ 次操作；即 $y_{n} = $ 100 {(1 + \frac{1}{100})}^{100};$ 计算结果为$ $270.481$ 。

即使这样也不是最终结果。将十年分成 $1000$ 个时期，每个时期为 $\frac{1}{100}$ 年；每个时期的利息为 $\frac{1}{10}$ %；那么 $y_{n} = $ 100 {(1 + \frac{1}{1000})}^{1000};$ 计算结果为$ $271.692$ 。

再进一步细分，将十年分成 $10, 000$ 份，每份为 $\frac{1}{1000}$ 年，利息为 $\frac{1}{100}$ 的 $1$ %。那么 $y_{n} = $ 100 {(1 + \frac{1}{10, 000})}^{10, 000};$ 计算结果为$ $271.815$ 。

最后，将会看到，我们实际上试图找到的是表达式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 的最终值，正如我们所看到的，它大于 $2$ ；并且，随着 $n$ 越来越大，它越来越接近一个特定的极限值。无论你把 $n$ 设得多大，这个表达式的值都会越来越接近数字 $2.71828 \dots$ 一个永远不能忘记的数字。

让我们用几何图形来说明这些事情。在下图中， $O P$ 代表原始值。 $O T$ 是值增长的总时间。它被分成 $10$ 个时期，每个时期都有一个相等的上升步长。这里 $\frac{d y}{d x}$ 是一个常数；如果每个上升步长是原始 $O P$ 的 $\frac{1}{10}$ ，那么经过 $10$ 个这样的步长，高度就翻倍了。如果我们取 $20$ 个步长，每个步长是所示高度的一半，最终高度仍然会翻倍。或者 $n$ 个这样的步长，每个步长是原始高度 $O P$ 的 $\frac{1}{n}$ ，就足以使高度翻倍。这就是单利的情况。这里是 $1$ 增长到 $2$ 。

在下图中，我们有相应的几何级数说明。每个连续的纵坐标是其前一个纵坐标的 $1 + \frac{1}{n}$ 倍，即 $\frac{n + 1}{n}$ 倍。上升步长不相等，因为现在每个上升步长是曲线该点处纵坐标的 $\frac{1}{n}$ 。如果我们严格取 $10$ 个步长，乘以因子 $(1 + \frac{1}{10})$ ，最终总数将是原始 $1$ 的 ${(1 + \frac{1}{10})}^{10}$ 倍或 $2.594$ 倍。但是，只要我们取 $n$ 足够大（并且相应的 $\frac{1}{n}$ 足够小），那么 $1$ 将增长到的最终值 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 将是 $2.71828$ 。

数字 e

对于这个神秘的数字 $2.7182818 \dots$ ，数学家们指定了字母 $e$ 。这个数字通常以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名为欧拉数。所有五年级学生都知道希腊字母 $π$ （称为圆周率）代表 $3.141592 \dots$ ；但他们中有多少人知道 $e$ 表示 $2.71828 \dots$ ？然而，它是一个比 $π$ 更重要的数字！

那么， $e$ 是什么？

假设我们让 $1$ 按单利增长直到它变成 $2$ ；那么，如果以相同的名义利率，在相同的时间内，我们让 $1$ 按真正的复利增长，而不是单利，它将增长到数字 $e$ 的值。

这种在每一瞬间都按该瞬间的大小成比例增长的过程，有些人称之为指数增长率。单位指数增长率是指在单位时间内使 $1$ 增长到 $2.718281$ 的增长率。它也可以被称为有机增长率，因为在某些情况下，有机体在给定时间内的增量与有机体本身的大小成正比是有机增长的特征。

如果我们取 $100$ %作为单位速率，取任何固定时期作为单位时间，那么让 $1$ 以单位速率算术增长单位时间的结果将是 $2$ ，而让 $1$ 以单位速率指数增长相同时间的结果将是 $2.71828 \dots$ 。

关于数字 e 的更多内容

我们已经看到，我们需要知道当 $n$ 变得无限大时，表达式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 达到的值。在算术上，这里列出了许多值（任何人都可以借助计算器计算出来），通过假设 $n = 2$ ； $n = 5$ ； $n = 10$ ；依此类推，直到 $n = 10, 000$ 。

然而，值得找到另一种方法来计算这个极其重要的数字。

因此，我们将利用二项式定理，以这种众所周知的方式展开表达式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 。

二项式定理给出了规则设 $a = 1$ 和 $b = \frac{1}{n}$ ，我们得到

现在，如果我们假设 $n$ 变得无限大，比如十亿，或十亿的十亿次方，那么 $n - 1$ 、 $n - 2$ 和 $n - 3$ 等都将实际上等于 $n$ ；然后级数变为

通过取这个快速收敛的级数到我们想要的任意多项，我们可以计算出任意精度的和。以下是十项的计算：

	$1.000000$
除以 $1$	$1.000000$
除以 $2$	$0.500000$
除以 $3$	$0.166667$
除以 $4$	$0.041667$
除以 $5$	$0.008333$
除以 $6$	$0.001389$
除以 $7$	$0.000198$
除以 $8$	$0.000025$
除以 $9$	$0.000002$
总和	$2.718281$

$e$ 与 $1$ 不可通约，并且类似于 $π$ ，是一个无限不循环小数。

指数级数

我们还需要另一个级数。

让我们再次利用二项式定理，展开表达式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n x}$ ，当我们让 $n$ 无限大时，它等于 $e^{x}$ 。

但是，当 $n$ 变得无限大时，这简化为以下形式：

这个级数被称为指数级数。

$e$ 之所以被认为重要，其主要原因在于 $e^{x}$ 具有一个任何其他 $x$ 的函数都不具备的性质，即 当你对它求导时，它的值保持不变；换句话说，它的导数等于它自身。这一点可以通过对 $x$ 求导立即看出，如下所示：或者这与原始级数完全相同。

现在，我们也可以反过来思考：让我们去寻找一个 $x$ 的函数，使得它的导数等于它自身。或者说，是否存在一个仅包含 $x$ 的幂次的表达式，在求导后保持不变？因此，让我们假设一个一般表达式 $y = A + B x + C x^{2} + D x^{3} + E x^{4} + \dots,$ （其中系数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 等需要确定），然后对其求导。 $\frac{d y}{d x} = B + 2 C x + 3 D x^{2} + 4 E x^{3} + \dots .$

现在，如果这个新表达式确实要与导出它的原表达式相同，那么显然 $A$ 必须 $= B$ ； $C = \frac{B}{2} = \frac{A}{1 \cdot 2}$ ； $D = \frac{C}{3} = \frac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3}$ ； $E = \frac{D}{4} = \frac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$ ，等等。

因此，变化规律是

$y = A (1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots .) .$

现在，为了进一步简化，我们取 $A = 1$ ，则有 $y = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots .$

对它求导任意多次，总会得到同样的级数。

现在，如果我们取 $A = 1$ 这个特例，并计算该级数，我们将得到 $当即当即当即$ 因此 $当 x = x, y = (2.718281 \dots .)^{x}; 即 y = e^{x},$ 从而最终证明了 $e^{x} = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots .$

当然，由此可知， $e^{y}$ 对 $y$ 求导后保持不变。此外， $e^{a x}$ （等于 $(e^{a})^{x}$ ）对 $x$ 求导后将为 $a e^{a x}$ ，因为 $a$ 是一个常数。

自然对数或纳皮尔对数

$e$ 之所以重要的另一个原因在于，对数的发明者纳皮尔将其作为他对数系统的基础。如果 $y$ 是 $e^{x}$ 的值，那么 $x$ 就是以 $e$ 为底的 $y$ 的对数。或者，如果 $y = e^{x},$ 那么 $x = \log_{e} y .$

以 $e$ 为底的对数称为自然对数。自然对数非常重要，以至于它有自己专门的简写符号： $\log_{e} y 通常写作 \ln y .$

图 14.3 和 14.4 中绘制的两条曲线代表了这些方程。

计算出的点如下：

对应图 14.3
$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0.5$	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$y = e^{x}$	$0.14$	$0.37$	$0.61$	$1$	$1.65$	$2.71$	$4.50$	$7.39$

对应图 14.4
$y$	$0.1$	$0.5$	$1$	$2$	$3$	$4$	$8$
$x = \ln y$	$- 2.30$	$- 0.69$	$0$	$0.69$	$1.10$	$1.39$	$2.08$

可以看出，尽管计算为绘图提供了不同的点，但结果是相同的。这两个方程实际上表示同一件事。

许多使用常用对数（以 $10$ 为底而非以 $e$ 为底计算）的人对“自然”对数不熟悉，因此有必要在此稍作说明。对数相加等于乘积的对数这一普通规则仍然成立；即 $\ln a + \ln b = \ln (a b) .$ 同样，幂的规则也成立； $n \times \ln a = \ln a^{n} .$ 但由于 $10$ 不再是底数，不能仅仅通过给指数加上 $2$ 或 $3$ 来乘以 $100$ 或 $1000$ 。要将自然对数转换为常用对数¹，只需将其乘以 $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343$ ；即反之亦然，

使用计算器求 e^x 和 ln x

现代科学计算器和图形计算器都配备了以 $e$ 为底的指数运算按钮以及计算自然对数或常用对数的按钮。指数函数 $e^{x}$ 有时记作 $\exp (x)$ 。因此，在使用计算器时，我们可能需要找到 $e^{x}$ 或 $exp (x)$ 按钮。许多计算器提供两个不同的按钮，分别用于计算自然对数（ $\ln x$ ）和常用对数（ $\log_{10} x$ ）。如果你的计算器有用于自然对数的 $ln$ 按钮，那么 $log$ 按钮很可能设计为返回 $\log_{10} x$ 。

指数函数和对数函数的导数

现在让我们尝试对某些包含对数或指数的表达式进行求导。

考虑方程： $y = \ln x .$ 首先将其转换为 $e^{y} = x,$ 由此，由于 $e^{y}$ 对 $y$ 的导数等于原函数不变（参见此处）， $\frac{d x}{d y} = e^{y},$ 并且，从反函数回到原函数， $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{x} .$

这是一个非常奇特的结果。它可以写作

注意， $x^{- 1}$ 这个结果是我们永远无法通过幂函数的幂法则求导得到的。该法则是乘以幂指数，并将幂指数减 $1$ 。因此，对 $x^{3}$ 求导得到 $3 x^{2}$ ；对 $x^{2}$ 求导得到 $2 x^{1}$ 。但对 $x^{0}$ 求导并不会得到 $x^{- 1}$ 或 $0 \times x^{- 1}$ ，因为 $x^{0}$ 本身 $= 1$ ，是一个常数。当我们讲到积分那一章时，我们还得回到这个奇特的事实，即对 $\ln x$ 求导得到 $\frac{1}{x}$ 。

现在，尝试对求导，即我们有 $\frac{d (x + a)}{d y} = e^{y}$ ，因为 $e^{y}$ 的微分仍然是 $e^{y}$ 。

这给出 $\frac{d x}{d y} = e^{y} = x + a;$ 因此，回到原函数（参见反函数的导数），我们得到² $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{x + a} .$

接下来尝试 $y = \log_{10} x .$

首先通过乘以模数 $\log_{10} e = \frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343$ 将其转换为自然对数。这给出由此

一般来说，因为 $\log_{a} x = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} a} = \frac{\ln x}{\ln a}$ 且 $\frac{1}{\ln a}$ 是常数，我们有 $\frac{d (\log_{a} x)}{d x} = \frac{d (\frac{1}{\ln a} \cdot \ln x)}{d x} = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{d (\ln x)}{d x} = \frac{1}{\ln a \cdot x}$

接下来不是那么简单。试试这个： $y = a^{x} .$

对两边取对数，我们得到或者

由于 $\frac{1}{\ln a}$ 是常数，我们得到 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln a} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{a^{x} \times \ln a};$ 因此，回到原函数。 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = a^{x} \times \ln a .$

我们看到，由于 $\frac{d x}{d y} \times \frac{d y}{d x} = 1 且 \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y} \times \frac{1}{\ln a}, \frac{1}{y} \times \frac{d y}{d x} = \ln a .$

我们会发现，每当我们有一个像 $\ln y =$ $x$ 的某个函数这样的表达式时，我们总有 $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} =$ 该 $x$ 函数的导数，因此我们可以直接从 $\ln y = x \ln a$ 写出 $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \ln a 且 \frac{d y}{d x} = a^{x} \ln a .$

总结如下

现在让我们尝试更多的例子。

示例

示例 14.1。如果 $y = e^{- a x}$ ，求 $y$ 对 $x$ 的导数。

解。令 $- a x = z$ ；则 $y = e^{z}$ 。 $\frac{d y}{d x} = e^{z}; \frac{d z}{d x} = - a; 因此 \frac{d y}{d x} = - a e^{- a x} .$

或者这样： $\ln y = - a x; \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - a; \frac{d y}{d x} = - a y = - a e^{- a x} .$

示例 14.2。如果 $y = e^{\frac{x^{2}}{3}}$ ，求 $y$ 对 $x$ 的导数。

解。令 $\frac{x^{2}}{3} = z$ ；则 $y = e^{z}$ 。 $\frac{d y}{d z} = e^{z}; \frac{d z}{d x} = \frac{2 x}{3}; \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3} e^{\frac{x^{2}}{3}} .$

或者这样： $\ln y = \frac{x^{2}}{3}; \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}; \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3} e^{\frac{x^{2}}{3}} .$

示例 14.3。已知 $y = e^{\frac{2 x}{x + 1}}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。因此

通过令 $\frac{2 x}{x + 1} = z$ 来验证。

$y = e^{\sqrt{x^{2} + a}}$ 。 $\ln y = (x^{2} + a)^{\frac{1}{2}}$ 。 $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x^{2} + a)^{\frac{1}{2}}} 以及 \frac{d y}{d x} = \frac{x \times e^{\sqrt{x^{2} + a}}}{(x^{2} + a)^{\frac{1}{2}}} .$ 因为如果 $(x^{2} + a)^{\frac{1}{2}} = u$ 且 $x^{2} + a = v$ ， $u = v^{\frac{1}{2}}$ ， $\frac{d u}{d v} = \frac{1}{{2 v}^{\frac{1}{2}}}; \frac{d v}{d x} = 2 x; \frac{d u}{d x} = \frac{x}{{(x^{2} + a)}^{\frac{1}{2}}} .$

通过令 $\sqrt{x^{2} + a} = z$ 进行验证。

例 14.4。如果 $y = \log (a + x^{3})$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。令 $(a + x^{3}) = z$ ；则 $y = \ln z$ 。 $\frac{d y}{d z} = \frac{1}{z}; \frac{d z}{d x} = 3 x^{2}; 因此 \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{a + x^{3}} .$

例 14.5。如果 $y = \ln {3 x^{2} + \sqrt{a + x^{2}}}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。令 $3 x^{2} + \sqrt{a + x^{2}} = z$ ；则 $y = \ln z$ 。

例 14.6。如果 $y = (x + 3)^{2} \sqrt{x - 2}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。对两边取对数，得到对两边求导，得到

例 14.7。如果 $y = (x^{2} + 3)^{3} (x^{3} - 2)^{\frac{2}{3}}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。对两边取对数，得到因为如果 $u = \ln (x^{2} + 3)$ ，令 $x^{2} + 3 = z$ 且 $u = \ln z$ 。 $\frac{d u}{d z} = \frac{1}{z}; \frac{d z}{d x} = 2 x; \frac{d u}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + 3} .$ 类似地，如果 $v = \ln (x^{3} - 2)$ ， $\frac{d v}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 2}$ 且 $\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 3)^{3} (x^{3} - 2)^{\frac{2}{3}} {\frac{6 x}{x^{2} + 3} + \frac{2 x^{2}}{x^{3} - 2}} .$

例 14.8。如果 $y = \frac{\sqrt[2]{x^{2} + a}}{\sqrt[3]{x^{3} - a}}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。求导且

例 14.9。如果 $y = \frac{1}{\ln x}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。 $商法则$

例 14.10。如果 $y = \sqrt[3]{\ln x} = (\ln x)^{\frac{1}{3}}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。令 $z = \ln x$ ； $y = z^{\frac{1}{3}}$ 。 $\frac{d y}{d z} = \frac{1}{3} z^{- \frac{2}{3}}; \frac{d z}{d x} = \frac{1}{x}; \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x \sqrt[3]{\ln^{2} x}} .$

例 14.11。如果 $y = {(\frac{1}{a^{x}})}^{a x}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

解。求导

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - a x \times a^{x} \ln a - a \ln a^{x} .

且

现在尝试以下练习。

练习 I

练习 14.1。对 $y = b (e^{a x} - e^{- a x})$ 求导。

答案

a b (e^{a x} + e^{- a x})

。

解

(1)

$y = b (e^{a x} - e^{- a x})$

练习 14.2。求表达式 $u = a t^{2} + 2 \ln t$ 关于 $t$ 的导数。

答案

2 a t + \frac{2}{t}

。

解

$\frac{d u}{d t} = 2 a t + \frac{2}{t}$

练习 14.3。如果 $y = n^{t}$ ，求 $\frac{d (\ln y)}{d t}$ 。

答案

\ln n

。

解

\frac{d (\ln n^{t})}{d t} = \frac{d (t \ln n)}{d t} = \ln n

练习 14.4。证明如果 $y = \frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a}$ ，则 $\frac{d y}{d x} = a^{b x}$ 。

解

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{b} \cdot \frac{b (\ln a) a^{b x}}{\ln a} = a^{b x}

练习 14.5。如果 $w = p v^{n}$ ，求 $\frac{d w}{d v}$ 。

答案

n p v^{n - 1}

。

解

\frac{d w}{d v} = n p v^{n - 1}

求导

练习 14.6。 $y = \ln x^{n}$ 。

答案

\frac{n}{x}

。

解

$y = \ln x^{n} \Rightarrow y = n \ln x$

$\frac{d y}{d x} = \frac{n}{x}$

练习 14.7。 $y = 3 e^{- \frac{x}{x - 1}}$ 。

答案

\frac{3 e^{- \frac{x}{x - 1}}}{(x - 1)^{2}}

。

解

y = 3 e^{- \frac{x}{x - 1}}

令

u = - \frac{x}{x - 1}

。则

y = 3 e^{u}

，且

\frac{d y}{d u} = 3 e^{u}

使用链式法则：

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d x} = \frac{3}{(x - 1)^{2}} e^{\frac{- x}{x - 1}}$

练习 14.8。 $y = (3 x^{2} + 1) e^{- 5 x}$ 。

答案

6 x e^{- 5 x} - 5 (3 x^{2} + 1) e^{- 5 x}

。

解

y = (3 x^{2} - 1) e^{- 5 x}

使用乘积法则，得到

练习 14.9。 $y = \ln (x^{a} + a)$ 。

答案

\frac{a x^{a - 1}}{x^{a} + a}

。

解

y = \ln (x^{a} + a)

令

u = x^{a} + a

。现在使用链式法则

练习 14.10。 $y = (3 x^{2} - 1) (\sqrt{x} + 1)$ 。

答案

(\frac{6 x}{3 x^{2} - 1} + \frac{1}{2 (\sqrt{x} + x)}) (3 x^{2} - 1) (\sqrt{x} + 1)

。

解

y = (3 x^{2} - 1) \sqrt{x + 1}

使用乘积法则：

\frac{d y}{d x} = 6 x \sqrt{x + 1} + (3 x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}

练习 14.11。 $y = \frac{\ln (x + 3)}{x + 3}$ 。

答案

\frac{1 - \ln (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}

。

解

y = \frac{\ln (x + 3)}{x + 3}

使用商法则：

练习 14.12。 $y = a^{x} \times x^{a}$ 。

答案

a^{x} (a x^{a - 1} + x^{a} \ln a)

。

解

y = a^{x} \cdot x^{a}

练习 14.13。开尔文勋爵曾证明，通过海底电缆传输信号的速度取决于芯线外径与所包铜线直径之比。如果这个比值称为 $y$ ，那么每分钟可发送的信号数 $s$ 可以用公式 $s = a y^{2} \ln \frac{1}{y};$ 表示，其中 $a$ 是一个取决于长度和材料质量的常数。证明如果这些给定，则当 $y = 1 / \sqrt{e}$ 时 $s$ 取最大值。

解

s = a y^{2} \ln \frac{1}{y} (y \neq 0)

为了对

\ln \frac{1}{y} = \ln (y^{- 1})

求导，令

u = y^{- 1}

。则

现在使用乘积法则，得到

当 $y = e^{- \frac{1}{2}}$ 时， $\frac{d^{2} s}{d y^{2}} = - 2 a \ln e^{- \frac{1}{2}} - 3 a = a \ln e - 3 a = - 2 a < 0$ 因此，根据二阶导数检验，当 $y = \frac{1}{\sqrt{e}}$ 时 $s$ 取最小值。

练习 14.14。求 $y = x^{3} - \ln x .$ 的最大值或最小值。

答案

最小值：当

x = 0.694

时

y = 0.7

。

解

y = x^{3} - \ln x

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - \frac{1}{x} = \frac{3 x^{3} - 1}{x}$

$\frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow 3 x^{3} - 1 = 0$

$\Rightarrow x^{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

为了证明这个特定的 $x$ 值使 $y$ 取最小值，我们应用二阶导数检验。首先对 $\frac{d y}{d x}$ 求导以找到二阶导数 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 9 x^{2} .$ 因为当 $x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ 时 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 9 {(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})}^{2} = \frac{9}{\sqrt[3]{9}} > 0$ $y = {(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})}^{3} - \ln \frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3} (1 + \ln 3) \approx 0.7$ 是当 $x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ 时出现的最小值。

练习 14.15。对 $y = \ln (a x e^{x})$ 求导。

答案

\frac{1 + x}{x}

。

解

y = \ln (a x e^{x})

回忆 $\ln (A B) = \ln A + \ln B$ 和 $\ln (A^{B}) = B \ln A$ 。利用这些性质，我们可以将 $y$ 重写为 $y = \ln a + \ln x + \ln e^{x} = \ln a + \ln x + x \ln e$ 由于 $\ln e = 1$ ， $y = \ln a + \ln x + x .$ 现在我们可以逐项求导 $\frac{d y}{d x} = 0 + \frac{1}{x} + 1 = \frac{1 + x}{x} .$

练习 14.16。对 $y = (\ln a x)^{3}$ 求导。

答案

\frac{3}{x} (\ln a x)^{2}

。

解

y = u^{3} 其中 u = \ln a x

使用链式法则

对数曲线

让我们回到其纵坐标依次成等比数列的曲线，例如由方程 $y = b p^{x}$ 所表示的曲线。

通过令 $x = 0$ ，我们可以看到 $b$ 是 $y$ 的初始高度。

然后当 $x = 1, y = b p; x = 2, y = b p^{2}; x = 3, y = b p^{3}, 等等$

此外，我们看到 $p$ 是任意纵坐标高度与其前一个纵坐标高度之比的数值。在下图中，我们取 $p$ 为 $\frac{6}{5}$ ；每个纵坐标的高度是前一个的 $\frac{6}{5}$ 倍。

如果两个连续的纵坐标以恒定比率相互关联，那么它们的对数将具有恒定的差值；因此，如果我们绘制一条新曲线，如下图所示，以 $\ln y$ 的值作为纵坐标，它将是一条以相等步长向上倾斜的直线。事实上，根据方程可知，由此可得现在，由于 $\ln p$ 只是一个数字，可以写成 $\ln p = a$ ，因此可得 $\ln \frac{y}{b} = a x,$ 并且方程变为新形式 $y = b e^{a x} .$

衰减曲线

如果我们取 $p$ 为一个真分数（小于1），曲线显然会趋于向下倾斜，如下图所示，其中每个连续的纵坐标是前一个纵坐标高度的 $\frac{3}{4}$ 。

方程仍然是 $y = b p^{x};$

但由于 $p$ 小于1， $\ln p$ 将是一个负数，可以写成 $- a$ ；因此 $p = e^{- a}$ ，³ 现在我们的曲线方程变为形式 $y = b e^{- a x} .$

这个表达式的重要性在于，当自变量是时间时，该方程代表了许多物理过程的过程，其中某些事物正在逐渐衰减。因此，热物体的冷却（根据牛顿著名的“冷却定律”）由方程 $θ_{t} = θ_{0} e^{- a t};$ 表示；其中 $θ_{0}$ 是热物体相对于其周围环境的初始超额温度， $θ_{t}$ 是时间 $t$ 结束时的超额温度，而 $a$ 是一个常数——即衰减常数，取决于物体暴露的表面积以及其导热系数和发射系数等。

一个类似的公式， $Q_{t} = Q_{0} e^{- a t},$ 用于表示带电体的电荷，该物体最初带有电荷 $Q_{0}$ ，并以衰减常数 $a$ 泄漏；在这种情况下，该常数取决于物体的电容和泄漏路径的电阻。

柔性弹簧的振荡会在一段时间后消失；运动振幅的衰减也可以用类似的方式表示。

事实上， $e^{- a t}$ 作为所有那些减少率与正在减少的量的大小成正比的现象的衰减因子；或者，在我们常用的符号中， $\frac{d y}{d t}$ 在每一时刻都与 $y$ 在该时刻的值成正比。因为我们只需观察曲线，上图，就可以看到，在曲线的每一部分，斜率 $\frac{d y}{d x}$ 与高度 $y$ 成正比；曲线随着 $y$ 变小而变得更平坦。用符号表示，即 $y = b e^{- a x}$ 或 $\ln y = \ln b - a x \ln e = \ln b - a x,$ 并且，求导， $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - a;$ 因此 $\frac{d y}{d x} = b e^{- a x} \times (- a) = - a y;$ 或者，用文字表述，曲线的斜率是向下的，并且与 $y$ 和常数 $a$ 成正比。

如果我们采用方程形式我们也会得到相同的结果；因为那时但是 $\ln p = - a;$ 给出和之前一样。

时间常数。 在“衰减因子” $e^{- a t}$ 的表达式中，量 $a$ 是另一个称为“时间常数”的量的倒数，我们可以用符号 $T$ 表示。那么衰减因子将被写成 $e^{- \frac{t}{T}}$ ；并且，通过令 $t = T$ 可以看出， $T$ $(或 \frac{1}{a})$ 的含义是，这是原始量（在前面的例子中称为 $θ_{0}$ 或 $Q_{0}$ ）衰减到其原始值的 $\frac{1}{e}$ 部分——即 $0.3678$ ——所需的时间长度。

作为一个例子，假设有一个热物体正在冷却，并且在实验开始时（即当 $t = 0$ 时）它比周围物体热 $72^{\circ}$ C，如果其冷却的时间常数是 $20$ 分钟（也就是说，其超额温度下降到 $72$ 度的 $\frac{1}{e}$ 部分需要 $20$ 分钟），那么我们可以计算在任何给定时间 $t$ 内它将下降到多少。例如，令 $t$ 为 $60$ 分钟。那么 $\frac{t}{T} = \frac{60}{20} = 3$ ，我们将需要求出 $e^{- 3}$ 的值，然后将原始的 $72$ 度乘以这个值。由于 $e^{- 3}$ 是 $0.0498$ ，在 $60$ 分钟结束时，超额温度将下降到 $72^{\circ} C \times 0.0498 = 3.586^{\circ}$ C。

练习 II

练习 14.17。绘制曲线 $y = b e^{- \frac{t}{T}}$ ；其中 $b = 12$ ， $T = 8$ ，并且 $t$ 取从 $0$ 到 $20$ 的各种值。

答案

使用计算器计算

12 e^{- \frac{t}{8}}

在范围

0 \leq t \leq 20

内不同

t

值的结果。然后，将得到的点

(t, 12 e^{- \frac{t}{8}})

连接起来。

解法

要手动绘制曲线，我们可以计算

y = 12 e^{- \frac{t}{8}}

在不同

t

值（

0 \leq t \leq 20

）下的值。例如，

$t$	$y = 12 e^{- t / 8}$
0	12.000
1	10.590
5	6.423
10	3.438
15	1.840
20	0.985

然后在坐标系上绘制每个点 $(t, y)$ ，并用平滑曲线连接这些点。

也有多种工具可用于绘制曲线 $y = 12 e^{- \frac{t}{8}}$ 在 $0 \leq t \leq 20$ 范围内的图形。例如，您可以访问 WolframAlpha.com，在搜索栏中直接输入：
plot 12 e^ (-t/8) from t=0 to t=20。

练习 14.18。如果一个热物体冷却，使得在 $24$ 分钟内其超额温度下降到初始值的一半，推导出时间常数，并求出冷却到原始超额温度的 $1$ %需要多长时间。

答案

T = 34.625

；

159.45

分钟。

解法

冷却方程为

$θ = θ_{0} e^{- \frac{t}{T}}$

24分钟后

时间常数约为 $34.6247 \frac{1}{分钟}$ 。

现在我们要求 $t$ 使得

$\begin{matrix} \frac{θ}{θ_{0}} = 0.01 = e^{- \frac{t}{34.6247}} \\ \ln (10^{- 2}) = \ln (e^{- \frac{t}{34.6247}}) \\ - 2 \ln 10 = - \frac{t}{34.6247} \\ \Rightarrow t = 2 \ln 10 \times 34.6247 \approx 159.453 分钟 \end{matrix}$

练习 14.19。绘制曲线 $y = 100 (1 - e^{- 2 t})$

解法

当

x = 0

时，

y = 0

当 $x$ 是一个很大的正数时，项 $e^{- 2 t}$ 变得可以忽略不计（ $\approx 0$ ）。因此，我们有 $y \approx 100 (1 - 0) = 100.$

另一方面，当 $x$ 是一个很大的负数时，项 $e^{- 2 t}$ 变得非常大且为正。结果 $y$ 在数值上变得很大但为负。

曲线 $y = 100 (1 - e^{- 2 t})$ 如下所示。

练习 14.20。以下方程给出了非常相似的曲线： $也可以写成$ 绘制所有三条曲线，取 $a = 10$ 单位； $b = 3$ 单位。

解法

假设

b > 0

。

当 $x = 0$ 时，则

$y = \frac{a x}{x + b}$ 为零。
$y = a (1 - e^{- \frac{x}{b}})$ 为零，因为 $e^{0} = 1$ 。
$y = \frac{2 a}{π} \arctan (\frac{x}{b})$ 为零，因为 $\arctan 0 = 0$ 。

当 $x$ 非常大且为正时

$y = \frac{a x}{x + b}$ 约为 $\approx a$ ，因为我们可以忽略 $b$ 相对于 $x$ （例如，当 $b = 3$ 且 $x = 1, 000, 000, 000$ 时，则 $x + b \approx 1, 000, 000, 000$ ）。
$y = a (1 - e^{- \frac{x}{b}})$ 约为 $\approx a$ ，因为对于大的 $x$ 值， $e^{- x / b}$ 可以忽略不计。
$y = \frac{2 a}{π} \arctan (\frac{x}{b})$ 约为 $\approx a$ ，因为当 $x$ 很大时， $\arctan (x / b) \approx \frac{π}{2}$ 。

对于 $x$ 的负值，这些曲线不可比较，因为当 $x$ 接近 $- b$ 时， $y = \frac{a x}{x + b}$ 非常大。

当 $x$ 为很大的负数时，

$e^{- x / b}$ 是一个很大的正数。因此，当 $x$ 为很大的负数时， $y = a (1 - e^{- \frac{x}{b}})$ 是一个很大的负数。
$y = \frac{a x}{x + b}$ 近似等于 $\approx a$ ，因为同样地， $b$ 相对于 $x$ 可以忽略不计，因此 $x + b \approx x$ 。
$y = \frac{2 a}{π} \arctan (\frac{x}{b})$ 近似等于 $\approx - a$ ，因为当 $x$ 为很大的负数时， $\arctan (x / b) \approx - \frac{π}{2}$ 。

这些曲线如下所示。

练习 14.21。求 $y$ 关于 $x$ 的导数，如果 $(a) y = x^{x}; (b) y = (e^{x})^{x}; (c) y = e^{(x^{x})} .$

答案

x^{x} (1 + \ln x)

; (b)

2 x (e^{x})^{x}

; (c)

e^{x^{x}} \times x^{x} (1 + \ln x)

解答

(a)

$y = x^{x}$

对两边取自然对数，并回顾 $\ln (A^{B}) = B \ln A$ ：

现在求导，左边使用链式法则，右边使用乘积法则

(b)

$y = {(e^{x})}^{x}$

方法 1)

对两边取自然对数，并使用性质 $\ln (A^{B}) = B \ln A$ ，我们有

现在对两边关于 $x$ 求导：

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$ 简化后，我们得到 $\frac{d y}{d x} = 2 x y = 2 x {(e^{x})}^{x}$

方法 2) 回顾 ${(A^{B})}^{C} = A^{B C}$ 。因此

$y = {(e^{x})}^{x} = e^{x \cdot x} = e^{x^{2}}$

令 $u = x^{2}$ ，并对 $y = e^{u}$ （其中 $u = x^{2}$ ）应用链式法则，我们得到

(c)

$y = e^{(x^{x})}$

方法 1) 令 $y = e^{u} 其中 u = x^{x}$ 然后利用(a)部分的结果和链式法则，我们得到

方法 2) 对两边取 $\ln$

现在对两边关于 $x$ 求导得到因此

练习 14.22。对于“钍 $A$ ”， $λ$ 的值为 $5$ ；求“平均寿命”，即表达式 $Q = Q_{0} e^{- λ t};$ 中，一定量 $Q$ 的“钍 $A$ ”衰变到初始量 $Q_{0}$ 一半所需的时间； $t$ 以秒为单位。

答案

0.14

秒。

解答

Q = Q_{0} e^{- 5 t}

我们需要找到使得

\frac{Q}{Q_{0}} = \frac{1}{2}

的

t

$\frac{1}{2} = e^{- 5 t}$ 对两边取自然对数 $秒$

练习 14.23。一个电容为 $K = 4 \times 10^{- 6}$ 的电容器，充电至电势 $V_{0} = 20$ ，通过一个 $10, 000$ 欧姆的电阻放电。假设电势下降遵循规则 $V = V_{0} e^{- \frac{t}{K R}}$ ，求(a) $0.1$ 秒后；(b) $0.01$ 秒后的电势 $V$ 。

答案

(a)

1.642

;(b)

15.58

。

解答

这里

V = 20 e^{- \frac{t}{4 \times 10^{- 6} \times 10, 000}}

或

V = 20 e^{- 25 t}

(a) 当 $t = 0.1$

$V = 20 e^{- 2.5} \approx 1.6417$

(b) 当 $t = 0.01$

$V = 20 e^{- 0.25} \approx 15.576$

练习 14.24。一个带电的绝缘金属球的电荷 $Q$ 在 $10$ 分钟内从 $20$ 个单位减少到 $16$ 个单位。求泄漏系数 $μ$ ，如果 $Q = Q_{0} \times e^{- μ t}$ ； $Q_{0}$ 是初始电荷， $t$ 以秒为单位。由此求一半电荷泄漏所需的时间。

答案

μ = 0.00037

31 分 4 秒

。

解答

由于

\frac{Q}{Q_{0}} = \frac{16}{20} = e^{- μ \times 10 \times 60}

我们可以求出

μ

现在我们需要找到使得下式成立的 $t$

$分秒$

练习 14.25。电话线上的衰减可以通过关系式 $i = i_{0} e^{- β l}$ 确定，其中 $i$ 是初始强度为 $i_{0}$ 的电话电流在 $t$ 秒后的强度； $l$ 是线路长度（以公里为单位）， $β$ 是一个常数。对于1910年铺设的英法海底电缆， $β = 0.0114$ 。求电缆末端（ $40$ 公里）的衰减，以及 $i$ 仍为原始电流 $8$ %（良好听觉的极限值）时的线路长度。

答案

i

是

i_{0}

的

63.4

%，

220

公里。

解答

\frac{i}{i_{0}} = e^{- β l}

(a)

$\frac{i}{i_{0}} = e^{- 0.0114 \times 40} \approx 0.6338 = 63.38 % .$

因此，强度变为初始强度的 $63.38 %$ 。

(b)

练习 14.26。海拔 $h$ 公里处的大气压力 $p$ 由 $p = p_{0} e^{- k h}$ 给出； $p_{0}$ 是海平面压力（ $760$ 毫米汞柱）。

在 $10$ 、 $20$ 和 $50$ 公里处的压力分别为 $199.2$ 、 $42.2$ 、 $0.32$ ，求每种情况下的 $k$ 。使用 $k$ 的平均值，求每种情况下的百分比误差。

答案

0.1339

0.1445

0.1555

, 平均值

0.1446

;

- 10.2

%, 几乎为零,

+ 71.9

解答

p = p_{0} e^{- k h}

计算当 $h = 10 km$ 时的 $k$ ，

$\frac{p}{p_{0}} = \frac{199.2}{760} = e^{- 10 k} \Rightarrow k = - \frac{\ln (\frac{199.2}{760})}{10} \approx 0.1339$

计算当 $h = 20 km$ 时的 $k$

$\frac{p}{p_{0}} = \frac{42.2}{760} = e^{- 20 k} \Rightarrow k = - \frac{\ln (\frac{42.2}{760})}{20} \approx 0.1445$

计算当 $h = 50 km$ 时的 $k$

$\frac{p}{p_{0}} = \frac{0.32}{760} = e^{- 50 k} \Rightarrow k = - \frac{\ln (\frac{0.32}{760})}{50} \approx 0.1555$

平均 $k$ （ $k$ 的平均值）： $k_{av} = \frac{0.1339 + 0.1445 + 0.1555}{3} \approx 0.1446$

使用 $k_{av}$ 计算当 $h = 10 km$ 时的 $p$ ：

$误差$

使用 $k_{av}$ 计算当 $h = 20 km$ 时的 $p$ ：

$误差$

使用 $k_{av}$ 计算当 $h = 50 km$ 时的 $p$ ：

$\begin{array}{r} 760 \times e^{- 50 \times 0.1446} = 0.550 \\ 误差 = \frac{0.55 - 0.32}{0.32} \approx 72.07 % \end{array}$

练习 14.27。求 $y = x^{x}$ 的最小值或最大值。

答案

当

x = \frac{1}{e}

时取最小值。

解答

在练习S中，我们证明了

$\frac{d y}{d x} = \frac{d (x^{x})}{d x} = x^{x} (\ln x + 1)$

令

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x^{x} = 0 或 \ln x + 1 = 0$

由于 $x^{x} \neq 0$ ，在最小值或最大值处，必须有 $\ln x = - 1$ 那么

为了确定这个 $x$ 值是使 $y$ 取最大值还是最小值，我们应用二阶导数检验：

当 $x = \frac{1}{e}$ 时，因此， $x = 1 / e \approx 0.369$ 对应于 $y$ 的最小值。

$y = x^{x}$ 的图形如下所示。

练习 14.28。求 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 的最小值或最大值。

答案

当

x = e

时取最大值。

解答

y = x^{\frac{1}{x}}

为了求导，我们首先对两边取自然对数，然后使用链式法则：

由于 $y = x^{\frac{1}{x}} \neq 0$ ，

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0$ 或 $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = e$

为了确定 $x = e$ 是使 $y$ 取最小值还是最大值，我们将该点的 $y$ 值与附近一些点的 $y$ 值进行比较：

当 $x = e$

$y = e^{\frac{1}{e}} \approx e^{\frac{1}{2.718}} \approx e^{0.368} \approx 1.444$

当 $x = 2$ $y = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} = 1.414$

当 $x = 3$

$y = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1.442$

因此 $x = e$ 使 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 取最大值。

我们也可以应用二阶导数检验：

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x} \frac{1 - \ln x}{x^{2}} + y \frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln x}{x^{2}})$

使用商法则

$\frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln x}{x^{2}}) = \frac{- \frac{1}{x} \cdot x^{2} - 2 x (1 - \ln x)}{x^{4}}$ 因此， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x} \frac{1 - \ln x}{x^{2}} - x^{\frac{1}{x}} \frac{x + 2 x (1 - \ln x)}{x^{2}}$

当 $x = e$ 时， $\frac{d y}{d x}$ 和 $1 - \ln x$ 都为零。因此，当 $x = e$ 时

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0 \times 0 - e^{\frac{1}{e}} \frac{e + 2 e (0)}{e^{2}} < 0$

根据二阶导数检验， $y = e^{\frac{1}{e}} \approx 1.44$ 是在 $x = e$ 处取得的最大值。

$y = x^{\frac{1}{x}}$ 的图形如下所示

练习 14.29。求 $y = x a^{\frac{1}{x}}$ 的最小值或最大值。

答案

当

x = \ln a

时取最小值。

解答

$y = x a^{\frac{1}{x}}$

使用乘积法则

$\frac{d y}{d x} = a^{\frac{1}{x}} + x \frac{d (a^{\frac{1}{x}})}{d x}$

为了求 $\frac{d (a^{\frac{1}{x}})}{d x}$ ，令 $u = \frac{1}{x}$ 并使用链式法则

因此

$\frac{d y}{d x} = a^{\frac{1}{x}} - x \frac{\ln a}{x^{2}} a^{\frac{1}{x}} = a^{\frac{1}{x}} (1 - \frac{\ln a}{x})$

由于 $a^{\frac{1}{x}} > 0$ ，

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{\ln a}{x} = 0$

或

$\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow x = \ln a$

使用二阶导数检验

$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = y (1 - \frac{\ln a}{x}) \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x} (1 - \frac{\ln a}{x}) + y \cdot \frac{\ln a}{x^{2}} \end{matrix}$

当 $x = \ln a$ 时

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0 \times 0 + a^{\frac{1}{\ln a}} \cdot \frac{\ln a}{(\ln a)^{2}} > 0$

因此 $y = a^{\frac{1}{\ln a}}$ 是在 $x = \ln a$ 处取得的最小值。

双曲函数

双曲函数是指数函数的特定组合，它们频繁出现在各种应用中，促使数学家赋予它们独特的名称并深入研究其性质。尽管双曲函数是指数函数的组合，但在某些方面它们类似于三角函数。因此，双曲函数被赋予了各自的名称，如双曲正弦、双曲余弦、双曲正切等。它们的定义如下：

通过绘制曲线 $y = e^{x}$ 和 $y = e^{- x}$ ，对纵坐标进行加减并取一半，可以轻松画出 $y = \sinh x$ 和 $y = \cosh x$ 的图形。下图展示了它们的图形。

悬链线是双曲余弦的图形，它描述了均匀链条或绳索在自身重量下悬挂的形状。

当 $x$ 为正且很大时， $e^{x}$ 非常大，而 $e^{- x}$ 非常小；因此 $e^{x} \pm e^{- x} \approx e^{x}$ ，导致： $\tanh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} \approx \frac{e^{x}}{e^{x}} = 1.$ 类似地，当 $x$ 为负且绝对值很大时， $e^{x}$ 可以忽略不计，使得 $e^{x} \pm e^{- x} \approx \pm e^{- x}$ ，因此： $\tanh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} \approx \frac{- e^{x}}{e^{x}} = - 1.$ $y = \tanh x$ 的图形如下所示。

双曲函数之间的恒等式

双曲函数的性质与三角函数的相应性质非常相似。

根据定义直接可得现在利用 $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ ，我们得到因此我们证明了一个基本恒等式：现在，如果我们将上述方程的每一项除以 $\cosh^{2} x$ ，我们得到类似地，将 $\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$ 的每一项除以 $\sinh^{2} x$ 得到 ${coth}^{2} x - {csch}^{2} x = 1$

例 14.15. 证明 $\sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ .

解. 让我们简化右边

因此，类似地，我们可以证明由上述恒等式可得 $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = (1 + \sinh^{2} x) + \sinh^{2} x = 1 + 2 \sinh^{2} x$ 因此，类似地， $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = \cosh^{2} x + (\cosh^{2} x - 1) = 2 \cosh^{2} x - 1$ 因此，

另一组重要的恒等式，可直接由定义得出，是：⁴ $\sinh (- x) = - \sinh x$ $\cosh (- x) = \cosh x$ $\tanh (- x) = - \tanh x$

双曲函数的导数

由于双曲函数是指数函数的组合，并且我们刚刚学习了如何对指数函数求导，我们可以应用第 5 章和第 6 章学过的求导法则来确定双曲函数的导数。

例如，由于 $\sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ ，我们有类似地，我们可以证明 $\frac{d (\cosh x)}{d x} = \sinh x$ .

例 14.16. 证明 $\frac{d}{d x} \tanh x = {sech}^{2} x$ .

解. 由于 $\tanh x = \sinh x / \cosh x$ ，我们可以使用商法则：

总结如下，

反双曲函数

反双曲正弦函数记作 $arcsinh x$ 或 $\sinh^{- 1} x$ ，定义为 $y = arcsinh x = \sinh^{- 1} x if x = \sinh y .$ 我们也可以定义反双曲余弦函数，记作 $arccosh x$ 或 $\cosh^{- 1} x$ ，为 $y = arccosh x = \cosh^{- 1} x if x = \cosh y .$ 然而，注意如果 $x = \cosh y$ ，那么 $\cosh (- y)$ 也等于 $x$ 。这意味着上述定义将两个 $y$ 值分配给每个 $x$ 值。为了使 $arccosh x$ 成为单值函数，我们约定它只产生非负的 $y$ 值。此外，由于 $\cosh y \geq 1$ ，反双曲余弦函数不接受任何小于 $1$ 的 $x$ 值。

类似地，反双曲正切函数定义为 $y = arctanh x = \tanh^{- 1} x if x = \tanh y .$ 由于 $- 1 < \tanh y < 1$ ，反双曲正切函数不接受任何大于或等于 $1$ 或小于或等于 $- 1$ 的 $x$ 值。

总结如下，

我们可以找到反双曲函数的显式公式。

例 14.17. 证明 $arcsinh x = \sinh^{- 1} x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ .

解. 如果 $y = arcsinh x$ ，那么 $x = \sinh y = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} .$ 两边乘以 $2 e^{y}$ ，我们得到 $2 x e^{y} = {(e^{y})}^{2} - 1$ 或 ${(e^{y})}^{2} - 2 x e^{y} - 1 = 0$ 这是关于 $e^{x}$ 的二次方程。因此，根据二次公式， $e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}$ 由于 $e^{y} > 0$ 且 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 大于 $x$ ，只有正号是可接受的。因此， $e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1} .$ 两边取自然对数得到 $y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .$ 因此， $\sinh^{- 1} (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .$

以类似的方式，我们可以推导出其他反双曲函数的显式公式。 $可以是任意数$

反双曲函数的导数

根据我们目前所学，我们可以求出反双曲函数的导数。

例 14.18. 如果 $y = arcsinh x$ （也记作 $\sinh^{- 1} x$ ），求 $\frac{d y}{d x}$ .

解. 如果 $y = arcsinh x$ ，那么 $x = \sinh y$ ，且 $\frac{d x}{d y} = \cosh y$ 根据反函数求导法则（参见此处）

我们也可以通过微分 $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 来求 $arcsinh x$ 的导数。使用链式法则以及 $\frac{d (\sqrt{x^{2} + 1})}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 这一事实，我们得到这证实了我们之前得到的结果。

例 14.19. 如果 $y = arccosh x$ （也记作 $\cosh^{- 1} x$ ），求 $\frac{d y}{d x}$ .

解. 如果 $y = arccosh x$ ，那么 $x = \cosh y$ ，且 $\frac{d x}{d y} = \sinh y;$ 因此， $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{\sinh y} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2} y - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} .$

例 14.20. 如果 $y = arctanh x$ （也记作 $\tanh^{- 1} x$ ），求 $\frac{d y}{d x}$ . 证明 $\frac{d}{d x} arctanh x = \frac{d}{d x} \tanh^{- 1} x = \frac{1}{1 - x^{2}} (- 1 < x < 1) .$

解. 如果 $y = arctanh x$ ，那么 $x = \tanh y$ ，且 $\frac{d x}{y} = {sech}^{2} y = 1 - \tanh^{2} y .$ 因此 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{1 - \tanh^{2} y} = \frac{1}{1 - x^{2}} .$

总结如下，

普通对数或基于 $10$ 的对数通常称为常用对数。↩︎
或者，我们可以使用链式法则。令 $u = x + a$ 。则 $y = \ln u$ 且 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u} \times 1 = \frac{1}{x + a} .$ ↩︎
$\ln p = - a \Rightarrow p = e^{- a}$ .↩︎
我们说双曲正弦和双曲正切函数是奇函数，双曲余弦是偶函数（类似于相应的三角函数）。如果对于每个 $x$ 有 $f (- x) = - f (x)$ ，则函数称为奇函数；如果对于每个 $x$ 有 $f (- x) = f (x)$ ，则函数称为偶函数。↩︎

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