Fonctions Exponentielles, Logarithmiques, Hyperboliques et Leurs Dérivées

Sur le véritable intérêt composé

Soit une quantité croissant de telle manière que l'accroissement de sa croissance, pendant un temps donné, soit toujours proportionnel à sa propre ampleur. Cela ressemble au processus de calcul des intérêts sur l'argent à un taux fixe ; car plus le capital est grand, plus le montant des intérêts sur celui-ci est grand dans un temps donné.

Nous devons maintenant distinguer clairement entre deux cas dans notre calcul, selon que celui-ci est réalisé par ce que les livres d'arithmétique appellent "intérêts simples" ou par ce qu'ils appellent "intérêts composés". Car dans le premier cas, le capital reste fixe, tandis que dans le second, l'intérêt est ajouté au capital, qui augmente donc par des additions successives.

(1) Aux intérêts simples. Considérons un cas concret. Supposons que le capital au départ soit $$100$, et que le taux d'intérêt soit de $10$ pour cent par an. Alors l'accroissement pour le propriétaire du capital sera de $$10$ chaque année. Supposons qu'il continue à percevoir ses intérêts chaque année et les entasse en les mettant de côté dans une chaussette, ou en les enfermant dans son coffre-fort. Alors, s'il continue pendant $10$ ans, à la fin de cette période, il aura reçu $10$ accroissements de $$10$ chacun, soit $$100$, avec le capital de départ de $$100$, ajoutant un total de $$200$ en tout. Sa propriété aura doublé en $10$ ans. Si le taux d'intérêt avait été de $5$ pour cent, il aurait dû entasser pendant $20$ ans pour doubler sa propriété. S'il n'avait été que de $2$ pour cent, il aurait dû entasser pendant $50$ ans. Il est facile de voir que si la valeur de l'intérêt annuel est ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ du capital, il doit continuer à entasser pendant $n$ ans pour doubler sa propriété.

Ou, si $y$ est le capital initial et que l'intérêt annuel est ${\displaystyle \frac{y}{n}}$, alors, à la fin de $n$ ans, sa propriété sera de $$y+n\frac{y}{n}=2y.$$

(2)  Aux intérêts composés. Comme précédemment, supposons que le propriétaire commence avec un capital de $$100$, gagnant des intérêts au taux de $10$ pour cent par an ; mais, au lieu d'entasser les intérêts, supposons qu'ils soient ajoutés au capital chaque année, de sorte que le capital augmente d'année en année. Alors, à la fin d'une année, le capital aura augmenté à $$110$ ; et durant la deuxième année (toujours à $10$%) cela rapportera $$11$ d'intérêt. Il commencera la troisième année avec $$121$, et l'intérêt sur ce capital sera de $$12.1$ ; de sorte qu'il commencera la quatrième année avec $$133.1$, et ainsi de suite. Il est facile de le calculer, et de trouver qu'au bout des dix années, le capital total sera monté à $$259.374$. En fait, nous voyons qu'à la fin de chaque année, chaque dollar aura gagné $\frac{1}{10}$ de dollar, et donc, si cela est toujours ajouté, chaque année multiplie le capital par $\frac{11}{10}$ ; et si cela continue pendant dix ans (ce qui multiplierait par ce facteur dix fois de suite) il multiplierait le capital initial par $2.59374$. Mettez cela en symboles. Posons $y_0$ pour le capital initial  ; ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour la fraction ajoutée à chacune des $n$ opérations  ; et $y_n$ pour la valeur du capital à la fin de la $n$ opération. Alors $$y_n=y_0{(1+\frac{1}{n})}^n.$$

Mais cette méthode de calcul de l'intérêt composé une fois par an n'est pas vraiment juste ; car même durant la première année, les $$100$ auraient dû augmenter. À la fin de six mois, cela aurait dû atteindre au moins $$105$, et il aurait certainement été plus équitable que l'intérêt pour le second semestre ait été calculé sur $$105$. Cela équivaudrait à l'appeler $5$% par semestre  ; avec $20$ opérations, donc, à chacune ce que le capital est multiplié par $\frac{21}{20}$. Si l'on raisonne ainsi, à la fin de dix ans, le capital aurait monté à $$265.33$.; car $${(1+\frac{1}{20})}^{20}=2.6533.$$

Mais même ainsi, le processus n'est pas encore tout à fait juste ; car, à la fin du premier mois, il y aura eu des intérêts gagnés ; et un calcul biannuel présume que le capital reste fixe pendant six mois de suite. Supposons que nous divisions l'année en $10$ parties, et calculons un intérêt d'un pour cent pour chaque dixième de l'année. Nous avons maintenant $100$ opérations s'étalant sur les dix ans  ; ou $$y_n=\mathrm{\$}100{(1+\frac{1}{100})}^{100};$$ ce qui aboutit à $$270.481$.

Même cela n'est pas final. Laissons les dix ans être divisés en $1000$ périodes, chacune de $\frac{1}{100}$ d'une année ; l'intérêt étant $\frac{1}{10}$ pour cent pour chaque période de ce type  ; alors $$y_n=\mathrm{\$}100{(1+\frac{1}{1000})}^{1000};$$ ce qui aboutit à $$271.692$.

Allez encore plus minutieusement, et divisez les dix ans en $10,000$ parties, chacune de $\frac{1}{1000}$ d'une année, avec un intérêt à $\frac{1}{100}$ de $1$ pour cent. Alors $$y_n=\mathrm{\$}100{(1+\frac{1}{10,000})}^{10,000};$$ ce qui équivaut à $$271.815$.

Finalement, il s'avère que ce que nous cherchons en réalité, c'est la valeur ultime de l'expression ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$, qui, comme nous le voyons, est supérieure à $2$ ; et qui, à mesure que nous prenons $n$ de plus en plus grand, se rapproche de plus en plus d'une valeur limite particulière. Peu importe combien vous augmentez $n$, la valeur de cette expression se rapproche de la figure $$2.71828\dots$$ un nombre à ne jamais oublier.

Prenons maintenant des illustrations géométriques de ces concepts. Dans la figure suivante, $OP$ représente la valeur d'origine. $OT$ est tout le temps durant lequel la valeur augmente. Il est divisé en $10$ périodes, dans chaque période il y a un pas en avant égal. Ici ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ est une constante ; et si chaque pas en avant est $\frac{1}{10}$ de l'$OP$ original, alors, avec $10$ étapes, la hauteur est doublée. Si nous avions pris $20$ étapes, chacune de moitié la hauteur indiquée, la hauteur serait encore tout juste doublée. Ou $n$ ces étapes, chacune de ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ de la hauteur originale $OP$, suffiraient à doubler la hauteur. C'est le cas de l'intérêt simple. Voici $1$ croit jusqu'à ce qu'il devienne $2$.

Dans la figure suivante, nous avons la représentation correspondante de la progression géométrique. Chacun des ordonnées successives doit être de $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, c'est-à-dire, ${\displaystyle \frac{n+1}{n}}$ fois plus haut que son prédécesseur. Les pas ne sont pas égaux, car chaque pas est maintenant de ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ de l'ordonnée à cette partie de la courbe. Si nous avions précisément $10$ pas, avec $(1+\frac{1}{10})$ pour le facteur de multiplication, le total final serait ${(1+\frac{1}{10})}^{10}$ ou $2.594$ fois l'original $1$. Mais si seulement nous prenons $n$ suffisamment grand (et le correspondant ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ suffisamment petit), alors la valeur finale ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ à laquelle l'unité croîtra sera $2.71828$.

Le nombre $𝒆$

À ce nombre mystérieux $2.7182818\dots$, les mathématiciens ont assigné la lettre $e$. Ce nombre est souvent appelé le nombre d'Euler d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler. Tous les élèves de cinquième savent que la lettre grecque $\pi$ (appelée pi) désigne $3.141592\dots$ ; mais combien d'entre eux savent que $e$ signifie $2.71828\dots$? Pourtant c'est un nombre encore plus important que $\pi$!

Qu'est-ce donc que $e$?

Supposez que nous laissions $1$ croître à intérêt simple jusqu'à ce qu'il devienne $2$; puis, si à un même taux nominal d'intérêt, et pour la même durée, nous laissions $1$ croître à intérêt vrai composé, au lieu de simple, il croîtrait à la valeur du nombre $e$.

Ce procédé de croissance proportionnelle, à chaque instant, à la grandeur de cet instant, certains le qualifient de taux exponentiel de croissance. Le taux exponentiel unitaire de croissance est celui qui, un temps unité, fera croître $1$ jusqu'à $2.718281$. On pourrait aussi l'appeler le taux organique de croissance car il est typique de la croissance organique (dans certaines circonstances) que l'augmentation de l'organisme en un temps donné soit proportionnelle à la grandeur de l'organisme lui-même.

Si nous prenons $100$ pour cent comme unité de taux et une quelconque période fixe comme unité de temps, alors le résultat de laisser $1$ croître arithmétiquement à un taux unité, pour un temps unité, sera $2$, tandis que le résultat de laisser $1$ croître exponentiellement à un taux unité, pour le même temps, sera $2.71828\dots$ .

Un peu plus sur le nombre $𝒆$

Nous avons vu que nous devons connaître à quelle valeur aboutit l'expression ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$, quand $n$ devient indéfiniment grand. Arithmétiquement, voici tabulées beaucoup de valeurs (que tout le monde peut calculer à l'aide d'une calculatrice) obtenues en supposant $n=2$ ; $n=5$ ; $n=10$ ; et ainsi de suite, jusqu'à $n=10,000$.

Il est cependant utile de trouver un autre moyen de calculer ce chiffre immensément important.

Ainsi, nous allons tirer parti du théorème du binôme, et étendre l'expression ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ de cette manière bien connue.

Le théorème du binôme donne la règle que En posant $a=1$ et $b={\displaystyle \frac{1}{n}}$, nous obtenons

Maintenant, si nous supposons que $n$ devient indéfiniment grand, disons un milliard, ou un milliard de milliards, alors $n-1$, $n-2$, et $n-3$, etc., seront tous sensiblement égaux à $n$ ; et alors la série devient

En prenant cette série convergente rapide pour autant de termes que nous souhaitons, nous pouvons calculer la somme à n'importe quelle précision désirée. Voici le calcul pour dix termes :

$e$ est incommensurable avec $1$, et il ressemble $\pi$ en étant une décimale non récurrente interminable.

La série exponentielle

Nous aurons besoin encore d'une autre série.

Reprenons, en utilisant le théorème du binôme, étendons l'expression ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{nx}$, qui est la même chose que $e^x$ quand nous faisons $n$ infiniment grand.

Cependant, lorsque $n$ est rendu infiniment grand, cela se simplifie pour donner la chose suivante :

Cette série est appelée la série exponentielle.

Dérivée de la fonction exponentielle

La grande raison pour laquelle $e$ est considérée comme importante est que $e^x$ possède une propriété, non possédée par aucune autre fonction de $x$, que lorsque vous la différenciez sa valeur reste inchangée ; ou, en d'autres termes, sa dérivée est la même qu'elle-même. Cela peut être immédiatement vu en la différenciant par rapport à $x$, ainsi : ou qui est exactement la même que la série originale.

Maintenant, nous pourrions avoir procédé à l'inverse et dire : Allons-y ; trouvons une fonction de $x$, telle que sa dérivée soit la même qu'elle-même. Ou, y a-t-il une expression, impliquant seulement des puissances de $x$, qui reste inchangée par la différenciation ? Ainsi ; supposons comme expression générale que $$y=A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+E{x}^4+\cdots ,$$ (dans laquelle les coefficients $A$, $B$, $C$, etc. devront être déterminés), et différencions-la. $$\frac{dy}{dx}=B+2Cx+3D{x}^2+4E{x}^3+\cdots .$$

Maintenant, si cette nouvelle expression est vraiment destinée à être la même que celle dont elle a été dérivée, il est évident que $A$ doit $=B$ ; que $C={\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{A}{1\cdot 2}}$ ; que $D={\displaystyle \frac{C}{3}}={\displaystyle \frac{A}{1\cdot 2\cdot 3}}$ ; que $E={\displaystyle \frac{D}{4}}={\displaystyle \frac{A}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}$, etc.

La loi du changement est donc que

$$y=A(1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .).$$

Si, maintenant, nous prenons $A=1$ pour des raisons de simplicité, nous avons $$y=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .$$

La différenciation à n'importe quel nombre de reprises donnera toujours la même série à nouveau.

Si, maintenant, nous prenons le cas particulier de $A=1$, et évaluons la série, nous obtiendrons simplement et donc démontrant ainsi finalement que $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .$$

Bien sûr, il s'ensuit que $e^y$ reste inchangé s'il est différencié par rapport à $y$. De même que $e^{ax}$, qui est égal à $(e^a{)}^x$, quand il est différencié par rapport à $x$, deviendra $a{e}^{ax}$, car $a$ est une constante.

Logarithmes naturels ou népériens

Une autre raison pour laquelle $e$ est importantest parce qu'il a été choisi par Napier, l'inventeur des logarithmes, comme base de son système. Si $y$ est la valeur de $e^x$, alors $x$ est le logarithme, à la base $e$, de $y$. Ou, si $$y=e^x,$$ alors $$x={\log }_{e}y.$$

Le logarithme avec base $e$ est appelé le logarithme naturel. Le logarithme naturel est si important qu'il a sa propre abréviation : $${\log }_{e}y\text{est souvent écrit comme}\ln y.$$

Les deux courbes tracées dans les figs. 14.3 et 14.4 représentent ces équations.

Les points calculés sont :

Il sera vu que, bien que les calculs produisent des points différents pour tracer, le résultat est identique. Les deux équations signifient en réalité la même chose.

Comme de nombreuses personnes qui utilisent les logarithmes ordinaires, qui sont calculés sur la base $10$ au lieu de la base $e$, ne sont pas familières avec les logarithmes "naturels", il peut être utile de dire un mot à leur sujet. La règle ordinaire que l'addition des logarithmes donne le logarithme du produit reste valable ; ou $$\ln a+\ln b=\ln (ab).$$ La règle des puissances reste aussi valable ; $$n\times \ln a=\ln a^n.$$ Mais du fait que la base n'est pas $10$, on ne peut pas multiplier par $100$ ou $1000$ simplement en ajoutant $2$ ou $3$ à l'indice. On peut changer le logarithme naturel en logarithme ordinaire¹ simplement en le multipliant par $\frac{1}{\ln 10}\approx 0.4343$ ; ou et inversement,

Utiliser une calculatrice pour trouver ${𝒆}^{𝒙}$ et $\mathbf{ln}\mathbf{}𝒙$

Les calculatrices scientifiques et graphiques modernes sont équipées de boutons pour l'exponentiation avec la base $e$ et des boutons pour calculer les logarithmes naturels ou communs. La fonction exponentielle $e^x$ est parfois notée $\exp (x)$. Donc, lorsque vous utilisez une calculatrice, nous devrons localiser le bouton $\boxed{{\displaystyle e^x}}$ ou $\boxed{{\displaystyle \text{exp}(x)}}$. De nombreuses calculatrices disposent de deux boutons distincts pour calculer le logarithme naturel ($\ln x$) et le logarithme commun (${\log }_{10}x$). Si votre calculatrice comporte un bouton $\boxed{{\displaystyle \text{ln}}}$ pour le logarithme naturel, le bouton $\boxed{{\displaystyle \text{log}}}$ est probablement conçu pour renvoyer ${\log }_{10}x$.

Dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielles

Essayons maintenant de différencier certaines expressions contenant des logarithmes ou des exponentielles.

Considérons l'équation : $$y=\ln x.$$ Tout d'abord, convertissons cela en $$e^y=x,$$ d'où, étant donné que la dérivée de $e^y$ par rapport à $y$ est la fonction d'origine inchangée (voir ici), $$\frac{dx}{dy}=e^y,$$ et, revenant de la fonction inverse à la fonction d'origine, $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.$$

Maintenant c'est un résultat très curieux. On peut l'écrire

Notez que $x^{-1}$ est un résultat que nous n'aurions jamais pu obtenir par la règle de puissance pour différencier des puissances. Cette règle consiste à multiplier par la puissance, et à diminuer la puissance de $1$. Ainsi, différencier $x^3$ nous a donné $3x^2$ ; et différencier $x^2$ a donné $2x^1$. Mais différencier $x^0$ ne nous donne pas $x^{-1}$ ou $0\times x^{-1}$, parce que $x^0$ est lui-même $=1$, et est une constante. Nous devrons revenir sur ce fait curieux que différencier $\ln x$ nous donne ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ lorsque nous atteindrons le chapitre sur l'intégration.

Maintenant, essayons de différencier c'est-à-dire, nous avons ${\displaystyle \frac{d(x+a)}{dy}}=e^y$, car le différentiel de $e^y$ reste $e^y$.

Cela donne $$\frac{dx}{dy}=e^y=x+a;$$ donc, retournant à la fonction d'origine (voir Dérivée d'une fonction inverse), on obtient² $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}=\frac{1}{x+a}.$$

Ensuite, essayons $$y={\log }_{10}x.$$

Changeons d'abord en logarithmes naturels en multipliant par le module ${\log }_{10}e={\displaystyle \frac{1}{\ln 10}}\approx 0.4343$. Cela nous donne d'où

En général, parce que $${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{e}x}{{\log }_{e}a}=\frac{\ln x}{\ln a}$$ et ${\displaystyle \frac{1}{\ln a}}$ est une constante, nous avons $$\frac{d({\log }_{a}x)}{dx}=\frac{d({\displaystyle \frac{1}{\ln a}}\cdot \ln x)}{dx}=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d(\ln x)}{dx}=\frac{1}{\ln a\cdot x}$$

La prochaine chose n'est pas aussi simple. Essayons cela : $$y=a^x.$$

En prenant le logarithme de chaque côté, nous obtenons ou

Étant donné que ${\displaystyle \frac{1}{\ln a}}$ est une constante, nous obtenons $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\ln a}\times \frac{1}{y}=\frac{1}{a^x\times \ln a};$$ donc, retournant à la fonction d'origine. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}=a^x\times \ln a.$$

Nous voyons que, puisque $$\frac{dx}{dy}\times \frac{dy}{dx}=1\text{et}\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}\times \frac{1}{\ln a},\frac{1}{y}\times \frac{dy}{dx}=\ln a.$$

Nous découvrirons que chaque fois que nous avons une expression telle que $\ln y=$ une fonction de $x$, nous avons toujours ${\displaystyle \frac{1}{y}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=$ la dérivée de la fonction de $x$, pour que nous puissions écrire immédiatement, à partir de $\ln y=x\ln a$, $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln a\text{et}\frac{dy}{dx}=a^x\ln a.$$

En résumé

Essayons maintenant d'autres exemples.

Exemples

Essayez maintenant les exercices suivants.

Exercices I