Funciones Exponenciales, Logarítmicas, Hiperbólicas y Sus Derivadas

Sobre el Verdadero Interés Compuesto

Sea una cantidad que crece de tal manera que el incremento de su crecimiento, durante un tiempo dado, sea siempre proporcional a su propia magnitud. Esto se asemeja al proceso de calcular interés sobre dinero a una tasa fija; pues cuanto mayor es el capital, mayor es la cantidad de interés sobre él en un tiempo dado.

Ahora debemos distinguir claramente entre dos casos, en nuestro cálculo, de acuerdo a si el cálculo se hace por lo que los libros de aritmética llaman "interés simple", o por lo que llaman "interés compuesto". Pues en el primer caso el capital permanece fijo, mientras que en el segundo el interés se añade al capital, el cual, por tanto, aumenta por adiciones sucesivas.

(1) A interés simple. Consideremos un caso concreto. Sea el capital inicial $\(100\), y sea la tasa de interés \(10\) por ciento anual. Entonces, el incremento para el propietario del capital será $\(10\) cada año. Que continúe recibiendo su interés cada año, y lo guarde poniéndolo en un calcetín, o asegurándolo en su caja fuerte. Entonces, si continúa durante \(10\) años, al final de ese tiempo habrá recibido \(10\) incrementos de $\(10\) cada uno, o $\(100\), haciendo, con el original $\(100\), un total de $\(200\) en total. Su propiedad se habrá duplicado en \(10\) años. Si la tasa de interés hubiera sido \(5\) por ciento, tendría que haber ahorrado durante \(20\) años para duplicar su propiedad. Si hubiera sido solo \(2\) por ciento, habría tenido que ahorrar durante \(50\) años. Es fácil ver que si el valor del interés anual es \(\dfrac{1}{n}\) del capital, debe seguir ahorrando durante \(n\) años para duplicar su propiedad.

O, si \(y\) es el capital original, y el interés anual es \(\dfrac{y}{n}\), entonces, al final de \(n\) años, su propiedad será \[y + n\dfrac{y}{n} = 2y.\]

(2)  A interés compuesto. Como antes, sea el propietario comenzar con un capital de $\(100\), ganando interés a una tasa de \(10\) por ciento anual; pero, en lugar de ahorrar el interés, que se añada al capital cada año, de modo que el capital crezca año tras año. Entonces, al final de un año, el capital habrá crecido a $\(110\); y en el segundo año (todavía al \(10\)%) eso generará $\(11\) de interés. Comenzará el tercer año con $\(121\), y el interés sobre eso será $\(12.1\); de modo que comienza el cuarto año con $\(133.1\), y así sucesivamente. Es fácil calcularlo y descubrir que al final de los diez años el capital total habrá crecido a $\(259.374\). De hecho, vemos que al final de cada año, cada dólar habrá ganado \(\frac{1}{10}\) de un dólar, y por lo tanto, si esto se añade siempre, cada año multiplica el capital por \(\frac{11}{10}\); y si se continúa durante diez años (lo cual multiplicará por este factor diez veces) multiplicará el capital original por \({2.59374}\). Pongamos esto en símbolos. Pongamos \(y_0\) para el capital original; \(\dfrac{1}{n}\) para la fracción añadida en cada una de las \(n\) operaciones; y \(y_n\) para el valor del capital al final de la \(n\) operación. Entonces \[y_n = y_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.\]

Pero este modo de calcular interés compuesto una vez al año, realmente no es del todo justo; pues incluso durante el primer año el $\(100\) debería haber estado creciendo. Al final de medio año debería haber sido por lo menos $\(105\), y ciertamente habría sido más justo si el interés para la segunda mitad del año se hubiera calculado sobre $\(105\). Esto equivaldría a llamarlo \(5\)% por medio año; con \(20\) operaciones, por lo tanto, en cada una de las cuales el capital se multiplica por \(\frac{21}{20}\). Si se calcula de esta manera, al final de diez años el capital habría crecido a $\(265.33\).; pues \[\left(1 + \frac{1}{20}\right)^{20} ={2.6533}.\]

Pero, aun así, el proceso no es del todo justo; pues, al final del primer mes, habrá algún interés ganado; y un cálculo semianual asume que el capital permanece estacionario durante seis meses a la vez. Supongamos que dividimos el año en \(10\) partes, y calculamos un interés del uno por ciento para cada décima parte del año. Ahora tenemos \(100\) operaciones que duran más de diez años; o \[y_n = \$100 \left( 1 + \frac{1}{100} \right)^{100};\] que se calcula en $\(270.481\).

Incluso esto no es definitivo. Deje que los diez años se dividan en \(1000\) períodos, cada uno de \(\frac{1}{100}\) de un año; el interés siendo \(\frac{1}{10}\) por ciento para cada dicho período; entonces \[y_n = \$ 100 \left( 1 + \frac{1}{1000} \right)^{1000};\] que se calcula en $\(271.692\).

Vaya incluso más minuciosamente, y divida los diez años en \(10,000\) partes, cada una \(\frac{1}{1000}\) de un año, con interés a \(\frac{1}{100}\) de \(1\) por ciento. Entonces \[y_n = \$100 \left( 1 + \frac{1}{10,000} \right)^{10,000};\] que equivale a $\(271.815\).

Finalmente, se verá que lo que estamos tratando de encontrar es, en realidad, el valor último de la expresión \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\), que, como vemos, es mayor que \(2\); y que, a medida que tomamos \(n\) más y más grande, se acerca más y más a un valor límite particular. Por muy grande que haga \(n\), el valor de esta expresión se acerca más y más a la cifra \[2.71828\ldots\] un número nunca de olvidar.

Tomemos ilustraciones geométricas de estas cosas. En la siguiente figura, \(OP\) representa el valor original. \(OT\) es el tiempo total durante el cual el valor está creciendo. Está dividido en \(10\) períodos, en cada uno de los cuales hay un incremento igual. Aquí \(\dfrac{dy}{dx}\) es una constante; y si cada incremento es \(\frac{1}{10}\) del original \(OP\), entonces, por \(10\) tales incrementos, la altura se duplica. Si hubiéramos tomado \(20\) incrementos, cada uno de la mitad de la altura mostrada, al final la altura aún estaría duplicada. O \(n\) tales incrementos, cada uno de \(\dfrac{1}{n}\) de la altura original \(OP\), serían suficientes para duplicar la altura. Este es el caso de interés simple. Aquí está \(1\) creciendo hasta que se convierte en \(2\).

En la siguiente figura, tenemos la ilustración correspondiente de la progresión geométrica. Cada una de las sucesivas ordenadas debe ser \(1 + \dfrac{1}{n}\), es decir, \(\dfrac{n+1}{n}\) veces más alta que su predecesora. Los incrementos no son iguales, porque ahora cada paso hacia arriba es \(\dfrac{1}{n}\) de la ordenada en esa parte de la curva. Si tuviéramos literalmente \(10\) incrementos, con \(\left(1 + \frac{1}{10} \right)\) como el factor de multiplicación, el total final sería \(\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10}\) o \({2.594}\) veces el \(1\) original. Pero si solo tomáramos \(n\) suficientemente grande (y la correspondiente \(\dfrac{1}{n}\) suficientemente pequeña), entonces el valor final \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) al que crecerá la unidad será \(2.71828\).

El Número \(\boldsymbol{e}\)

A este misterioso número \(2.7182818\dots\), los matemáticos le han asignado la letra \(e\). Este número a menudo se llama número de Euler en honor al matemático suizo Leonhard Euler. Todos los estudiantes de quinto grado saben que la letra griega \(\pi\) (llamada pi) representa \(3.141592\dots\); pero ¿cuántos de ellos saben que \(e\) significa \(2.71828\dots\)? ¡Sin embargo, es un número aún más importante que \(\pi\)!

¿Qué, entonces, es \(e\)?

Supongamos que dejamos que \(1\) crezca a interés simple hasta que se convierta en \(2\); entonces, si a la misma tasa nominal de interés, y durante el mismo tiempo, deixamos que \(1\) crezca a interés compuesto verdadero, en lugar de simple, crecería al valor del número \(e\).

Este proceso de crecimiento proporcional, en cada instante, a la magnitud en ese instante, algunas personas lo llaman tasa de crecimiento exponencial. La tasa de crecimiento exponencial unitaria es aquella tasa que en tiempo unitario hará que \(1\) crezca a \(2.718281\). También podría llamarse la tasa orgánica de crecimiento porque es característico del crecimiento orgánico (en ciertas circunstancias) que el incremento del organismo en un tiempo dado sea proporcional a la magnitud del propio organismo.

Si tomamos \(100\) por ciento como la unidad de tasa, y cualquier período fijo como la unidad de tiempo, entonces el resultado de dejar que \(1\) crezca aritméticamente a tasa unitaria, para tiempo unitario, será \(2\), mientras que el resultado de dejar que \(1\) crezca exponencialmente a tasa unitaria, para el mismo tiempo, será \(2.71828\ldots\) .

Un poco más sobre el número \(\boldsymbol{e}\)

Hemos visto que necesitamos saber qué valor alcanza la expresión \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\), cuando \(n\) se convierte en indefinidamente grande. Aritméticamente, aquí están tabulados muchos valores (que cualquiera puede calcular con la ayuda de una calculadora) que se obtienen al asumir \(n = 2\); \(n = 5\); \(n = 10\); y así, hasta \(n = 10,000\). \[\begin{align} &\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 &=& 2.25. \\ &\left(1 + \frac{1}{5}\right)^5 &=& 2.488. \\ &\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10} &=& 2.594. \\ &\left(1 + \frac{1}{20}\right)^{20} &=& 2.653. \\ &\left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} &=& {2.705}. \\ &\left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} &=& {2.7169}. \\ &\left(1 + \frac{1}{10,000}\right)^{10,000} &=& {2.7181}. \end{align}\]

Sin embargo, vale la pena encontrar otra manera de calcular esta cifra inmensamente importante.

Por consiguiente, nos valemos del teorema del binomio, y expandimos la expresión \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) de esa manera bien conocida.

El teorema del binomio da la regla de que \[\begin{align} (a + b)^n &= a^n + n \dfrac{a^{n-1} b}{1!} + n(n - 1) \dfrac{a^{n-2} b^2}{2!} + n(n -1)(n - 2) \dfrac{a^{n-3} b^3}{3!} + \cdots. \end{align}\] Al poner \(a = 1\) y \(b = \dfrac{1}{n}\), obtenemos \[\begin{align} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{n - 1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{n^2} + \dfrac{1}{4!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{n^3} + \cdots. \end{align}\]

Ahora, si suponemos que \(n\) se convierte en indefinidamente grande, digamos un billón, o un billón de billones, entonces \(n - 1\), \(n - 2\), y \(n - 3\), etc., serán todos sensiblemente iguales a \(n\); y entonces la serie se convierte en \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle e = 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \cdots.}\]

Tomando esta serie rápidamente convergente a tantos términos como queramos, podemos calcular la suma a cualquier punto deseado de precisión. Aquí está el cálculo para diez términos:

\(e\) es inconmensurable con \(1\), y se parece a \(\pi\) en ser un decimal interminable no recurrente.

La Serie Exponencial

Vamos a necesitar otra serie más.

De nuevo haciendo uso del teorema del binomio, expandimos la expresión \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{nx}\), que es lo mismo que \(e^x\) cuando hacemos \(n\) indefinidamente grande. \[\begin{align} e^x &= 1^{nx} + nx \frac{1^{nx-1} \left(\dfrac{1}{n}\right)}{1!} + nx(nx - 1) \frac{1^{nx - 2} \left(\dfrac{1}{n}\right)^2}{2!} + nx(nx - 1)(nx - 2) \frac{1^{nx-3} \left(\dfrac{1}{n}\right)^3}{3!} + \cdots\\ &= 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot \frac{n^2x^2 - nx}{n^2} + \frac{1}{3!} \cdot \frac{n^3x^3 - 3n^2x^2 + 2nx}{n^3} + \cdots \\ &= 1 + x + \frac{x^2 -\dfrac{x}{n}}{2!} + \frac{x^3 - \dfrac{3x^2}{n} + \dfrac{2x}{n^2}}{3!} + \cdots. \end{align}\]

Pero, cuando \(n\) se hace indefinidamente grande, esto se simplifica a lo siguiente: \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots.}\]

Esta serie se llama la serie exponencial.

Derivada de la Función Exponencial

La gran razón por la cual \(e\) es considerada importante es que \(e^x\) posee una propiedad que no posee ninguna otra función de \(x\), que cuando la diferencias, su valor no cambia; o, en otras palabras, su derivada es la misma que ella misma. Esto se puede ver instantáneamente diferenciándola respecto a \(x\), de esta manera: \[\begin{align} \frac{d(e^x)}{dx} &= 0 + 1 + \frac{2x}{1 \cdot 2} + \frac{3x^2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{4x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{5x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots. \end{align}\] o \[\begin{align} \frac{d(e^x)}{dx}= 1 + x + \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots, \end{align}\] que es exactamente la misma que la serie original.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\dfrac{d(e^x)}{dx}=e^x}\]

Ahora podríamos haber trabajado al revés, y haber dicho: Vamos; encuentremos una función de \(x\), tal que su derivada sea la misma que ella misma. O, ¿hay alguna expresión, que sólo implique potencias de \(x\), que no cambie al diferenciarse? Por lo tanto, supongamos como una expresión general que \[y = A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \cdots,\] (en la que los coeficientes \(A\), \(B\), \(C\), etc. tendrán que ser determinados), y difrenciémosla. \[\dfrac{dy}{dx} = B + 2Cx + 3Dx^2 + 4Ex^3 + \cdots.\]

Ahora, si esta nueva expresión es realmente igual a aquella de la que fue derivada, está claro que \(A\) debe \(=B\); que \(C=\dfrac{B}{2}=\dfrac{A}{1\cdot 2}\); que \(D = \dfrac{C}{3} = \dfrac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3}\); que \(E = \dfrac{D}{4} = \dfrac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\), etc.

La ley de cambio es por lo tanto que

\[y = A\left(1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots.\right).\]

Si ahora tomamos \(A = 1\) por el bien de más simplicidad, tenemos \[y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots.\]

Diferenciarlo cualquier número de veces dará siempre la misma serie una y otra vez.

Si ahora tomamos el caso particular de \(A=1\), y evaluamos la serie, simplemente tendremos \[\begin{align} \text{cuando } x &= 1,\quad & y &= 2.718281\dots; & \text{es decir, } y &= e; \\ \text{cuando } x &= 2,\quad & y &=(2.718281\dots)^2; & \text{es decir, } y &= e^2; \\ \text{cuando } x &= 3,\quad & y &=(2.718281\dots)^3; & \text{es decir, } y &= e^3; \end{align}\] y por lo tanto \[\text{cuando } x=x,\quad y=(2.718281\dots.)^x;\quad\text{es decir, } y=e^x,\] demostrando así finalmente que \[e^x = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1\cdot2} + \dfrac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3} + \dfrac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} + \cdots.\]

Por supuesto, se deduce que \(e^y\) permanece sin cambios si se diferencia respecto a \(y\). También \(e^{ax}\), que es igual a \((e^a)^x\), tendrá, cuando se diferencia respecto a \(x\), \(ae^{ax}\), porque \(a\) es una constante.

Logaritmos Naturales o Napierianos

Otra razón por la cual \(e\) es importante es porque Napier, el inventor de los logaritmos, lo hizo la base de su sistema. Si \(y\) es el valor de \(e^x\), entonces \(x\) es el logaritmo, en base \(e\), de \(y\). O, si \[y = e^x,\] entonces \[x = \log_e y.\]

El logaritmo con base \(e\) se llama el logaritmo natural. El logaritmo natural es tan importante que tiene su propia abreviatura: \[\log_e y \qquad\text{se escribe a menudo como}\qquad \ln y.\]

Las dos curvas trazadas en las Figs. 14.3 y 14.4 representan estas ecuaciones.

Los puntos calculados son:

Se verá que, aunque los cálculos producen puntos diferentes para trazar, el resultado es idéntico. Las dos ecuaciones realmente significan lo mismo.

Como muchas personas que usan logaritmos comunes, que están calculados en base \(10\) en lugar de base \(e\), no están familiarizadas con los logaritmos “naturales”, podría justificar decir una palabra sobre ellos. La regla ordinaria que sumar logaritmos da el logaritmo del producto todavía es válida; o \[\ln a + \ln b = \ln (ab).\] También la regla de potencias es válida; \[n \times \ln a = \ln a^n.\] Pero como \(10\) ya no es la base, no se puede multiplicar por \(100\) o \(1000\) simplemente agregando \(2\) o \(3\) al índice. Uno puede cambiar el logaritmo natural al logaritmo común¹ simplemente multiplicándolo por \(\frac{1}{\ln 10}\approx 0.4343\); o \[\begin{align} \log_{10} x = \frac{1}{\ln 10}\ln x\approx0.4343 \times \ln x, \end{align}\] y a la inversa, \[\begin{align} \ln x = \frac{1}{\log_{10} e}\times \log_{10} x=\ln 10\times \log_{10}x\approx2.3026 \times \log_{10} x. \end{align}\]

Usando una Calculadora para Encontrar \(\boldsymbol{e^x}\) y \(\boldsymbol{\ln x}\)

Las calculadoras científicas y de graficación modernas están equipadas con botones para exponentiación con la base \(e\) y botones para calcular logaritmos naturales o comunes. La función exponencial \(e^x\) a veces se denota por \(\exp(x)\). Entonces, al usar una calculadora, es posible que necesitemos localizar el botón \(\boxed{e^x}\) o \(\boxed{\text{exp}(x)}\). Muchas calculadoras proporcionan dos botones distintos para calcular el logaritmo natural (\(\ln x\)) y el logaritmo común (\(\log_{10}x\)). Si su calculadora tiene un botón de \(\boxed{\text{ln}}\) para el logaritmo natural, lo más probable es que el botón \(\boxed{\text{log}}\) esté diseñado para devolver \(\log_{10}x\).

Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales

Ahora pongamos manos a la obra en la diferenciación de ciertas expresiones que contienen logaritmos o exponenciales.

Tomemos la ecuación: \[y = \ln x.\] Primero transformemos esto en \[e^y = x,\] de donde, dado que la derivada de \(e^y\) con respecto a \(y\) es la función original sin cambios (ver aquí), \[\frac{dx}{dy} = e^y,\] y, revirtiendo de la función inversa a la original, \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}.\]

Ahora este es un resultado muy curioso. Se puede escribir \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\dfrac{d(\ln x)}{dx} = x^{-1}.}\]

Nótese que \(x^{-1}\) es un resultado que nunca podríamos haber obtenido con la regla de potencia para diferenciar potencias. Esa regla es multiplicar por la potencia y reducir la potencia en \(1\). Así que, diferenciar \(x^3\) nos daba \(3x^2\); y diferenciar \(x^2\) nos daba \(2x^1\). Pero diferenciar \(x^0\) no nos da \(x^{-1}\) o \(0 \times x^{-1}\), porque \(x^0\) es en sí mismo \(= 1\), y es una constante. Tendremos que volver a este hecho curioso de que al diferenciar \(\ln x\) nos da \(\dfrac{1}{x}\) cuando lleguemos al capítulo sobre integración.

Ahora, tratemos de diferenciar \[\begin{align} y = \ln(x+a), \end{align}\] es decir, \[\begin{align} e^y = x+a; \end{align}\] tenemos \(\dfrac{d(x+a)}{dy} = e^y\), ya que el diferencial de \(e^y\) permanece \(e^y\).

Esto nos da \[\frac{dx}{dy} = e^y = x+a;\] por lo tanto, volviendo a la función original (ver la Derivada de una Función Inversa), obtenemos² \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{x+a}.\]

Ahora intentemos con \[y = \log_{10} x.\]

Primero cambiemos a logaritmos naturales multiplicando por el módulo \(\log_{10}e=\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0.4343\). Esto nos da \[\begin{align} y = \frac{1}{\ln 10} \ln x; \end{align}\] de donde \[\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\ln 10}. \end{align}\]

En general, porque \[\log_a x=\frac{\log_e x}{\log_e a}=\frac{\ln x}{\ln a}\] y \(\dfrac{1}{\ln a}\) es una constante, tenemos \[\frac{d\left(\log_a x\right)}{dx}=\frac{d\left(\dfrac{1}{\ln a}\cdot \ln x \right)}{dx}=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{d(\ln x)}{dx}=\frac{1}{\ln a\cdot x}\]

La próxima cosa no es tan simple. Intenta esto: \[y = a^x.\]

Tomando el logaritmo de ambos lados, obtenemos \[\begin{align} \ln y &= x \ln a, \end{align}\] o \[\begin{align} x &= \frac{\ln y}{\ln a}\\ &= \frac{1}{\ln a} \times \ln y. \end{align}\]

Dado que \(\dfrac{1}{\ln a}\) es una constante, tenemos \[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\ln a} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{a^x \times \ln a};\] por lo tanto, volviendo a la función original. \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = a^x \times \ln a.\]

Vemos que, dado que \[\frac{dx}{dy} \times \frac{dy}{dx} =1\quad\text{y}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} \times \frac{1}{\ln a},\quad \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx} = \ln a.\]

Encontraremos que siempre que tengamos una expresión como \(\ln y =\) una función de \(x\), siempre tenemos \(\dfrac{1}{y}\, \dfrac{dy}{dx} =\) la derivada de la función de \(x\), de modo que podríamos haber escrito al instante, de \(\ln y = x \ln a\), \[\frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \ln a\quad\text{y}\quad \frac{dy}{dx} = a^x \ln a.\]

En resumen

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{ y=\log_a x \qquad\Rightarrow \qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\cdot \ln a} }\]

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{ y=a^x \qquad\Rightarrow \qquad \dfrac{dy}{dx}=a^x\cdot\ln a }\]

Intentemos ahora ejemplos adicionales.

Ejemplos

Intenta ahora los siguientes ejercicios.

Ejercicios I

Diferenciar