توابع نمایی، لگاریتمی، هذلولی و مشتقات آنها

درباره بهره مرکب واقعی

فرض کنید کمیتی در حال رشد باشد به گونه‌ای که افزایش رشد آن، در یک زمان معین، همواره با اندازه خود آن کمیت متناسب باشد. این شبیه فرایند محاسبه بهره پول با نرخی ثابت است؛ زیرا هرچه سرمایه بزرگ‌تر باشد، مقدار بهره آن در یک زمان معین بیشتر خواهد بود.

اکنون باید در محاسبه خود به‌روشنی میان دو حالت تمایز قائل شویم، بسته به اینکه محاسبه بر اساس آنچه کتاب‌های حساب «بهره ساده» می‌نامند انجام شود، یا بر اساس آنچه «بهره مرکب» می‌نامند. زیرا در حالت نخست سرمایه ثابت می‌ماند، در حالی که در حالت دوم بهره به سرمایه افزوده می‌شود، و بنابراین سرمایه با افزوده‌های پی‌درپی افزایش می‌یابد.

(۱) بهره ساده. یک مورد مشخص را در نظر بگیرید. فرض کنید سرمایه در آغاز $$100$$ باشد، و نرخ بهره $10$ درصد در سال باشد. آنگاه افزایش برای صاحب سرمایه هر سال $$10$$ خواهد بود. فرض کنید او هر سال بهره خود را برداشت کند و آن را با گذاشتن در جوراب یا قفل کردن در گاوصندوق خود ذخیره کند. سپس، اگر $10$ سال ادامه دهد، در پایان آن مدت $10$ افزایش $$10$$ تایی، یا $$100$$ دریافت کرده است، که با $$100$$ اصلی، مجموعاً $$200$$ می‌شود. دارایی او در $10$ سال دو برابر شده است. اگر نرخ بهره $5$ درصد بود، باید $20$ سال ذخیره می‌کرد تا دارایی‌اش دو برابر شود. اگر فقط $2$ درصد بود، باید $50$ سال ذخیره می‌کرد. به‌آسانی می‌توان دید که اگر ارزش بهره سالانه ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ سرمایه باشد، او باید $n$ سال ذخیره کند تا دارایی‌اش دو برابر شود.

یا، اگر $y$ سرمایه اصلی باشد، و بهره سالانه ${\displaystyle \frac{y}{n}}$ باشد، آنگاه در پایان $n$ سال، دارایی او برابر خواهد بود با $$y+n\frac{y}{n}=2y.$$

(۲) بهره مرکب. مانند قبل، فرض کنید مالک با سرمایه $$100$$ شروع کند، که بهره را با نرخ $10$ درصد در سال کسب می‌کند؛ اما به جای ذخیره کردن بهره، هر سال آن را به سرمایه اضافه کند، به طوری که سرمایه سال به سال رشد کند. آنگاه، در پایان یک سال، سرمایه به $$110$$ افزایش یافته است؛ و در سال دوم (هنوز با $10$%) این سرمایه $$11$$ بهره کسب خواهد کرد. او سال سوم را با $$121$$ شروع خواهد کرد، و بهره آن $$12.1$$ خواهد بود؛ به طوری که سال چهارم را با $$133.1$$ شروع می‌کند، و به همین ترتیب. محاسبه آن آسان است، و می‌توان دریافت که در پایان ده سال کل سرمایه به $$259.374$$ افزایش یافته است. در واقع، می‌بینیم که در پایان هر سال، هر دلار $\frac{1}{10}$ دلار بهره کسب کرده است، و بنابراین، اگر این همواره اضافه شود، هر سال سرمایه را در $\frac{11}{10}$ ضرب می‌کند؛ و اگر برای ده سال ادامه یابد (که ده بار در این عامل ضرب خواهد شد) سرمایه اصلی را در $2.59374$ ضرب خواهد کرد. بگذارید این را به صورت نمادین بیان کنیم. $y_0$ را برای سرمایه اصلی قرار دهید؛ ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ را برای کسری که در هر یک از $n$ عملیات اضافه می‌شود؛ و $y_n$ را برای ارزش سرمایه در پایان $n$ عملیات. آنگاه $$y_n=y_0{(1+\frac{1}{n})}^n.$$

اما این شیوه محاسبه بهره مرکب یک بار در سال، واقعاً کاملاً منصفانه نیست؛ زیرا حتی در طول سال اول $$100$$ باید در حال رشد می‌بود. در پایان نیم سال باید حداقل $$105$$ می‌بود، و مسلماً منصفانه‌تر می‌بود اگر بهره نیمه دوم سال بر اساس $$105$$ محاسبه می‌شد. این معادل است با نامیدن آن $5$% در هر نیم‌سال؛ بنابراین با $20$ عملیات، که در هر یک سرمایه در $\frac{21}{20}$ ضرب می‌شود. اگر به این روش محاسبه شود، در پایان ده سال سرمایه به $$265.33$$ افزایش می‌یافت؛ زیرا $${(1+\frac{1}{20})}^{20}=2.6533.$$

اما، حتی با این حساب، فرایند هنوز کاملاً منصفانه نیست؛ زیرا، در پایان ماه اول، مقداری بهره کسب خواهد شد؛ و محاسبه نیم‌سالی فرض می‌کند که سرمایه برای شش ماه ثابت می‌ماند. فرض کنید سال را به $10$ بخش تقسیم کنیم، و برای هر دهم سال یک درصد بهره محاسبه کنیم. اکنون $100$ عملیات در طول ده سال داریم؛ یا $$y_n=\mathrm{\$}100{(1+\frac{1}{100})}^{100};$$ که نتیجه آن $$270.481$$ می‌شود.

حتی این هم نهایی نیست. بگذارید ده سال به $1000$ دوره تقسیم شود، هر یک $\frac{1}{100}$ سال؛ بهره برای هر چنین دوره‌ای $\frac{1}{10}$ درصد باشد؛ آنگاه $$y_n=\mathrm{\$}100{(1+\frac{1}{1000})}^{1000};$$ که نتیجه آن $$271.692$$ می‌شود.

حتی دقیق‌تر بروید، و ده سال را به $10,000$ بخش تقسیم کنید، هر یک $\frac{1}{1000}$ سال، با بهره $\frac{1}{100}$ از $1$ درصد. آنگاه $$y_n=\mathrm{\$}100{(1+\frac{1}{10,000})}^{10,000};$$ که مقدار آن $$271.815$$ می‌شود.

سرانجام، دیده خواهد شد که آنچه در تلاش برای یافتن آن هستیم در واقع مقدار نهایی عبارت ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ است، که همان‌طور که می‌بینیم، بزرگ‌تر از $2$ است؛ و هرچه $n$ را بزرگ‌تر و بزرگ‌تر بگیریم، به یک مقدار حدی خاص نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. هرچقدر هم که $n$ را بزرگ کنید، مقدار این عبارت به عدد $$2.71828\dots$$ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود، عددی که هرگز نباید فراموش شود.

بگذارید تصاویر هندسی این موارد را در نظر بگیریم. در شکل زیر، $OP$ نشان‌دهنده مقدار اولیه است. $OT$ کل زمانی است که مقدار در آن رشد می‌کند. به $10$ دوره تقسیم شده است، که در هر یک یک پله مساوی به بالا وجود دارد. در اینجا ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ثابت است؛ و اگر هر پله به بالا $\frac{1}{10}$ از $OP$ اصلی باشد، آنگاه با $10$ چنین پله، ارتفاع دو برابر می‌شود. اگر $20$ پله می‌گرفتیم، هر یک به اندازه نصف ارتفاع نشان داده شده، در پایان ارتفاع همچنان دقیقاً دو برابر می‌شد. یا $n$ چنین پله، هر یک ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ از ارتفاع اصلی $OP$، برای دو برابر کردن ارتفاع کافی خواهد بود. این حالت بهره ساده است. در اینجا $1$ در حال رشد است تا به $2$ تبدیل شود.

در شکل بعدی، تصویر متناظر از تصاعد هندسی را داریم. هر یک از عرض‌های متوالی باید $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$، یعنی ${\displaystyle \frac{n+1}{n}}$ برابر ارتفاع قبلی خود باشد. پله‌های بالا برابر نیستند، زیرا هر پله بالا اکنون ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ از عرض در آن قسمت از منحنی است. اگر به‌معنای واقعی $10$ پله داشتیم، با $(1+\frac{1}{10})$ به عنوان عامل ضرب، مقدار نهایی ${(1+\frac{1}{10})}^{10}$ یا $2.594$ برابر $1$ اصلی می‌شد. اما اگر فقط $n$ را به اندازه کافی بزرگ بگیریم (و ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ متناظر را به اندازه کافی کوچک)، آنگاه مقدار نهایی ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ که یک به آن رشد خواهد کرد $2.71828$ خواهد بود.

عدد e

به این عدد اسرارآمیز $2.7182818\dots$، ریاضیدانان حرف $e$ را اختصاص داده‌اند. این عدد اغلب عدد اویلر نامیده می‌شود به نام ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر. همه دانش‌آموزان کلاس پنجم می‌دانند که حرف یونانی $\pi$ (که پی نامیده می‌شود) نمایانگر $3.141592\dots$ است؛ اما چند نفر از آن‌ها می‌دانند که $e$ به معنای $2.71828\dots$ است؟ با این حال این عدد حتی مهم‌تر از $\pi$ است!

پس $e$ چیست؟

فرض کنید بگذاریم $1$ با بهره ساده رشد کند تا به $2$ تبدیل شود؛ آنگاه، اگر با همان نرخ اسمی بهره، و برای همان زمان، بگذاریم $1$ با بهره مرکب واقعی رشد کند، به جای بهره ساده، به مقدار عدد $e$ رشد خواهد کرد.

این فرایند رشد متناسب، در هر لحظه، با اندازه در آن لحظه، را برخی افراد نرخ رشد نمایی می‌نامند. نرخ رشد نمایی واحد آن نرخی است که در زمان واحد باعث می‌شود $1$ به $2.718281$ رشد کند. همچنین ممکن است نرخ رشد آلی نامیده شود زیرا ویژگی رشد آلی (در شرایط خاص) این است که افزایش اندامگان در یک زمان معین با اندازه خود اندامگان متناسب است.

اگر $100$ درصد را به عنوان واحد نرخ در نظر بگیریم، و هر دوره ثابت را به عنوان واحد زمان، آنگاه نتیجه رشد دادن $1$ به صورت حسابی با نرخ واحد، برای زمان واحد، $2$ خواهد بود، در حالی که نتیجه رشد دادن $1$ به صورت نمایی با نرخ واحد، برای همان زمان، $2.71828\dots$ خواهد بود.

کمی بیشتر درباره عدد e

دیده‌ایم که لازم است بدانیم عبارت ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ وقتی $n$ بی‌نهایت بزرگ می‌شود به چه مقداری می‌رسد. به‌طور حسابی، در اینجا مقادیر زیادی (که هر کسی می‌تواند با کمک یک ماشین حساب محاسبه کند) جدول‌بندی شده‌اند که با فرض $n=2$؛ $n=5$؛ $n=10$؛ و الی آخر، تا $n=10,000$ به‌دست آمده‌اند.

با این حال، ارزشمند است که راه دیگری برای محاسبه این عدد بی‌نهایت مهم پیدا کنیم.

بر این اساس، از قضیه دو جمله‌ای استفاده خواهیم کرد، و عبارت ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ را به آن روش شناخته‌شده بسط می‌دهیم.

قضیه دو جمله‌ای این قاعده را می‌دهد که با قرار دادن $a=1$ و $b={\displaystyle \frac{1}{n}}$، به‌دست می‌آوریم

اکنون، اگر فرض کنیم $n$ بی‌نهایت بزرگ شود، مثلاً یک میلیارد، یا یک میلیارد میلیارد، آنگاه $n-1$، $n-2$، و $n-3$، و غیره، همگی به‌طور محسوسی برابر با $n$ خواهند بود؛ و آنگاه سری به صورت درمی‌آید.

با در نظر گرفتن این سری سریع‌الهمگرا تا هر تعداد جمله که بخواهیم، می‌توانیم مجموع را تا هر نقطه دقت دلخواه محاسبه کنیم. در اینجا محاسبه برای ده جمله آمده است:

$e$ با $1$ قیاس‌ناپذیر است، و از این نظر که یک اعشار بی‌پایان و غیرمتناوب است به $\pi$ شباهت دارد.

سری نمایی

به سری دیگری نیز نیاز خواهیم داشت.

بگذارید، دوباره با استفاده از قضیه دو جمله‌ای، عبارت ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{nx}$ را بسط دهیم، که همان $e^x$ است وقتی $n$ را بی‌نهایت بزرگ کنیم.

اما، وقتی $n$ بی‌نهایت بزرگ شود، این به صورت زیر ساده می‌شود:

این سری، سری نمایی نامیده می‌شود.

دلیل بزرگ اهمیت $e$ این است که $e^x$ خاصیتی دارد که هیچ تابع دیگری از $x$ ندارد: وقتی از آن مشتق می‌گیرید، مقدارش بدون تغییر می‌ماند؛ یا به عبارت دیگر، مشتق آن با خودش برابر است. این موضوع را می‌توان بلافاصله با مشتق‌گیری نسبت به $x$ به صورت زیر مشاهده کرد: یا که دقیقاً همان سری اولیه است.

حال می‌توانستیم از راه دیگری هم پیش برویم و بگوییم: بیایید تابعی از $x$ پیدا کنیم که مشتق آن با خودش برابر باشد. یا اینکه آیا عبارتی وجود دارد که فقط شامل توان‌های $x$ باشد و با مشتق‌گیری تغییر نکند؟ بر این اساس، فرض می‌کنیم یک عبارت کلی به صورت $$y=A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+E{x}^4+\cdots ,$$ (که در آن ضرایب $A$، $B$، $C$ و غیره باید تعیین شوند) و از آن مشتق می‌گیریم. $$\frac{dy}{dx}=B+2Cx+3D{x}^2+4E{x}^3+\cdots .$$

حال اگر این عبارت جدید واقعاً باید با عبارتی که از آن به دست آمده یکسان باشد، واضح است که $A$ باید $=B$ باشد؛ که $C={\displaystyle \frac{B}{2}}={\displaystyle \frac{A}{1\cdot 2}}$؛ که $D={\displaystyle \frac{C}{3}}={\displaystyle \frac{A}{1\cdot 2\cdot 3}}$؛ که $E={\displaystyle \frac{D}{4}}={\displaystyle \frac{A}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}$ و غیره.

بنابراین قانون تغییر به این صورت است که

$$y=A(1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .).$$

اگر حال به خاطر سادگی بیشتر $A=1$ را در نظر بگیریم، داریم $$y=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .$$

هر چند بار که از آن مشتق بگیریم، همیشه همان سری دوباره به دست می‌آید.

اگر حال حالت خاص $A=1$ را در نظر بگیریم و سری را محاسبه کنیم، به سادگی خواهیم داشت و بنابراین $$\text{وقتی }x=x,y=(2.718281\dots .{)}^x;\text{یعنی }y=e^x,$$ که در نهایت نشان می‌دهد $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .$$

البته نتیجه می‌شود که $e^y$ اگر نسبت به $y$ مشتق گرفته شود، بدون تغییر می‌ماند. همچنین $e^{ax}$ که برابر است با $(e^a{)}^x$، وقتی نسبت به $x$ مشتق گرفته شود، برابر $a{e}^{ax}$ خواهد بود، زیرا $a$ یک ثابت است.

لگاریتم‌های طبیعی یا نپرین

دلیل دیگری که $e$ مهم است این است که نپر، مخترع لگاریتم، آن را مبنای دستگاه خود قرار داد. اگر $y$ مقدار $e^x$ باشد، آنگاه $x$ لگاریتم $y$ در مبنای $e$ است. یا اگر $$y=e^x,$$ آنگاه $$x={\log }_{e}y.$$

لگاریتم در مبنای $e$ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. لگاریتم طبیعی آن‌قدر مهم است که نماد اختصاری خود را دارد: $${\log }_{e}y\text{اغلب به صورت}\ln y\text{ نوشته می‌شود.}$$

دو منحنی رسم شده در شکل‌های 14.3 و 14.4 این معادلات را نشان می‌دهند.

نقاط محاسبه شده عبارت‌اند از:

دیده می‌شود که گرچه محاسبات نقاط متفاوتی برای رسم به دست می‌دهند، اما نتیجه یکسان است. این دو معادله در واقع یک چیز را بیان می‌کنند.

از آنجا که بسیاری از افرادی که از لگاریتم‌های معمولی (که در مبنای $10$ به جای مبنای $e$ محاسبه می‌شوند) استفاده می‌کنند، با لگاریتم‌های «طبیعی» آشنا نیستند، بد نیست چند کلمه‌ای درباره آن‌ها بگوییم. قاعده معمولی که جمع لگاریتم‌ها، لگاریتم حاصل‌ضرب را می‌دهد، همچنان برقرار است؛ یا $$\ln a+\ln b=\ln (ab).$$ همچنین قاعده توان‌ها نیز برقرار است؛ $$n\times \ln a=\ln a^n.$$ اما چون $10$ دیگر مبنا نیست، نمی‌توان با افزودن $2$ یا $3$ به توان، در $100$ یا $1000$ ضرب کرد. می‌توان لگاریتم طبیعی را به لگاریتم معمولی¹ به سادگی با ضرب آن در $\frac{1}{\ln 10}\approx 0.4343$ تبدیل کرد؛ یا و برعکس،

استفاده از ماشین حساب برای یافتن e^x و ln x

ماشین حساب‌های علمی و نموداری مدرن مجهز به دکمه‌هایی برای توان‌رسانی با مبنای $e$ و دکمه‌هایی برای محاسبه لگاریتم‌های طبیعی یا معمولی هستند. تابع نمایی $e^x$ گاهی با $\exp (x)$ نشان داده می‌شود. بنابراین، هنگام استفاده از ماشین حساب، ممکن است نیاز داشته باشیم دکمه $\boxed{{\displaystyle e^x}}$ یا $\boxed{{\displaystyle \text{exp}(x)}}$ را پیدا کنیم. بسیاری از ماشین حساب‌ها دو دکمه مجزا برای محاسبه لگاریتم طبیعی ($\ln x$) و لگاریتم معمولی (${\log }_{10}x$) ارائه می‌دهند. اگر ماشین حساب شما دکمه $\boxed{{\displaystyle \text{ln}}}$ برای لگاریتم طبیعی داشته باشد، دکمه $\boxed{{\displaystyle \text{log}}}$ احتمالاً برای برگرداندن ${\log }_{10}x$ طراحی شده است.

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی

حال بیایید دست به کار شویم و از برخی عبارات شامل لگاریتم یا نمایی مشتق بگیریم.

معادله $$y=\ln x$$ را در نظر بگیرید. ابتدا آن را به $$e^y=x$$ تبدیل کنید، از آنجا که مشتق $e^y$ نسبت به $y$ همان تابع اولیه بدون تغییر است (به اینجا مراجعه کنید)، $$\frac{dx}{dy}=e^y,$$ و با برگشت از تابع معکوس به تابع اصلی، $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.$$

این نتیجه بسیار جالبی است. می‌توان آن را به صورت نوشت.

توجه کنید که $x^{-1}$ نتیجه‌ای است که هرگز نمی‌توانستیم با قاعده توان برای مشتق‌گیری از توان‌ها به دست آوریم. آن قاعده این است که در توان ضرب کرده و توان را یک واحد کاهش دهیم. بنابراین، مشتق‌گیری از $x^3$ به ما $3x^2$ را داد؛ و مشتق‌گیری از $x^2$ به ما $2x^1$ را داد. اما مشتق‌گیری از $x^0$ به ما $x^{-1}$ یا $0\times x^{-1}$ را نمی‌دهد، زیرا $x^0$ خودش $=1$ و یک ثابت است. وقتی به فصل انتگرال‌گیری برسیم، باید به این حقیقت جالب که مشتق $\ln x$ برابر ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ می‌شود، بازگردیم.

حال سعی کنید از یعنی مشتق بگیریم؛ داریم ${\displaystyle \frac{d(x+a)}{dy}}=e^y$، زیرا دیفرانسیل $e^y$ همان $e^y$ باقی می‌ماند.

این به ما می‌دهد $$\frac{dx}{dy}=e^y=x+a;$$ بنابراین، با برگشت به تابع اصلی (به مشتق تابع معکوس مراجعه کنید)، به دست می‌آوریم² $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}=\frac{1}{x+a}.$$

سپس $$y={\log }_{10}x$$ را امتحان کنید.

ابتدا با ضرب در مدول ${\log }_{10}e={\displaystyle \frac{1}{\ln 10}}\approx 0.4343$ به لگاریتم طبیعی تبدیل کنید. این به ما می‌دهد از آن‌جا

به طور کلی، چون $${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{e}x}{{\log }_{e}a}=\frac{\ln x}{\ln a}$$ و ${\displaystyle \frac{1}{\ln a}}$ یک ثابت است، داریم $$\frac{d({\log }_{a}x)}{dx}=\frac{d({\displaystyle \frac{1}{\ln a}}\cdot \ln x)}{dx}=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{d(\ln x)}{dx}=\frac{1}{\ln a\cdot x}$$

مورد بعدی کمی پیچیده‌تر است. این را امتحان کنید: $$y=a^x.$$

با گرفتن لگاریتم از هر دو طرف، داریم یا

از آنجا که ${\displaystyle \frac{1}{\ln a}}$ یک ثابت است، داریم $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\ln a}\times \frac{1}{y}=\frac{1}{a^x\times \ln a};$$ بنابراین، با برگشت به تابع اصلی. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}=a^x\times \ln a.$$

می‌بینیم که، از آنجا که $$\frac{dx}{dy}\times \frac{dy}{dx}=1\text{و}\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}\times \frac{1}{\ln a},\frac{1}{y}\times \frac{dy}{dx}=\ln a.$$

خواهیم دید که هرگاه عبارتی مانند $\ln y=$ تابعی از $x$ داشته باشیم، همیشه ${\displaystyle \frac{1}{y}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=$ مشتق تابع بر حسب $x$ است، به طوری که می‌توانستیم بلافاصله از $\ln y=x\ln a$ بنویسیم $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln a\text{و}\frac{dy}{dx}=a^x\ln a.$$

به طور خلاصه

حال بیایید مثال‌های بیشتری را امتحان کنیم.

مثال‌ها

$y=e^{\sqrt{x^2+a}}$.$\ln y=(x^2+a{)}^{\frac{1}{2}}$. $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{(x^2+a{)}^{\frac{1}{2}}}\text{and}\frac{dy}{dx}=\frac{x\times e^{\sqrt{x^2+a}}}{(x^2+a{)}^{\frac{1}{2}}}.$$ زیرا اگر $(x^2+a{)}^{\frac{1}{2}}=u$ و $x^2+a=v$، $u=v^{\frac{1}{2}}$، $$\frac{du}{dv}=\frac{1}{{2v}^{\frac{1}{2}}};\frac{dv}{dx}=2x;\frac{du}{dx}=\frac{x}{{(x^2+a)}^{\frac{1}{2}}}.$$

با نوشتن $\sqrt{x^2+a}=z$ بررسی کنید.