Vamos tentar verificar o efeito de repetir várias vezes a operação de derivar uma função (veja o conceito de uma função). Começamos com um caso concreto.
Seja y = x^5. \begin{align} &\text{Primeira derivada, } &&5x^4. && \\ &\text{Segunda derivada, } &&5 \times 4x^3 &&= 20x^3. \\ &\text{Terceira derivada, } &&5 \times 4 \times 3x^2 &&= 60x^2. \\ &\text{Quarta derivada, } &&5 \times 4 \times 3 \times 2x &&= 120x. \\ &\text{Quinta derivada, } &&5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 &&= 120. \\ &\text{Sexta derivada, } && &&= 0. \end{align}
Há uma certa notação, que já conhecemos, usada por alguns autores, muito conveniente. Trata-se de empregar o símbolo geral f(x) para qualquer função de x. Aqui o símbolo f(~) é lido como "função de," sem indicar qual função particular se trata. Assim, a afirmação y=f(x) apenas nos diz que y é uma função de x, pode ser x^2 ou ax^n, ou \cos x ou qualquer outra função complicada de x.
O símbolo correspondente para a derivada é f^{\prime}(x), que é mais simples de escrever que \dfrac{dy}{dx}. Isso é chamado a derivada de \boldsymbol{y} em relação a \boldsymbol{x}, a derivada da função \boldsymbol{f}, ou simplesmente a função derivada. Em vez de \dfrac{dy}{dx} ou f^\prime(x), às vezes escrevemos apenas y^\prime.
Suponha que derivamos novamente, obteremos a segunda derivada de \boldsymbol{f} ou a segunda derivada de \boldsymbol{y} em relação a \boldsymbol{x}, que é denotada por f^{\prime\prime}(x) ou y^{\prime\prime}; e assim por diante.
Agora vamos generalizar.
Seja y = f(x) = x^n. \begin{align} &\text{Primeira derivada,} &&y^\prime=f^\prime(x) = nx^{n-1}. \\ &\text{Segunda derivada,} &&y^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x) = n(n-1)x^{n-2}. \\ &\text{Terceira derivada,} &&y^{\prime\prime\prime}=f^{\prime\prime\prime}(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ &\text{Quarta derivada,} &&y^{\prime\prime\prime\prime}=f^{\prime\prime\prime\prime}(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ &&\vdots \end{align}
Em geral, depois de derivar a função original n vezes, obtemos a n-ésima derivada de f ou y em relação a x, também conhecida como a derivada de ordem n. Quando a ordem de derivação atinge quatro ou mais, em vez de usar repetidamente acentos (também chamados linhas), uma abordagem mais conveniente é frequentemente adotada. A ordem de derivação é denotada usando parênteses, com a ordem de derivação apresentada como sobrescrito a f ou y. Essa notação não é apenas mais clara, mas também ajuda a reduzir o risco de contar mal o número de linhas. Por exemplo, frequentemente escrevemos y^{(4)} ou f^{(4)}(x) em vez de y^{\prime\prime\prime\prime} e f^{\prime\prime\prime\prime}(x).
Há outra forma de indicar derivações sucessivas. Pois, \begin{align} &\text{se a função original é } &&y = f(x); \\ &\text{derivando uma vez, obtemos } &&\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x); \\ &\text{derivando duas vezes, obtemos } &&\frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} = f^{\prime\prime}(x); \end{align} e isso é mais convenientemente escrito como \dfrac{d^2y}{(dx)^2}, ou mais usualmente \dfrac{d^2y}{dx^2}. Analogamente, podemos escrever como resultado de derivar três vezes, \dfrac{d^3y}{dx^3} = f^{\prime\prime\prime}(x).
Como Ler os Símbolos das Derivadas
| f^\prime(x) | efe linha de xis |
| f^{\prime\prime} (x) | efe duas linhas de xis |
| f^{\prime\prime\prime}(x) | efe três linhas de xis |
| f^{(n)}(x) | efe sobrescrito n de xis (ou a n-ésima derivada de efe de xis) |
| y^\prime | ípsilon linha |
| y^{\prime\prime} | ípsilon duas linhas |
| y^{\prime\prime\prime} | ípsilon três linhas |
| y^{(n)} | ípsilon sobrescrito n (ou a n-ésima derivada de ípsilon) |
| \dfrac{dy}{dx} | dê ípsilon sobre dê xis |
| \dfrac{d^2 y}{dx^2} | dê quadrado de ípsilon sobre dê xis ao quadrado |
Exemplos
Agora vamos tentar y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= f^{\prime}(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f^{\prime\prime}(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f^{\prime\prime\prime}(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f^{(4)}(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f^{(5)}(x) = 0. \end{align}
De forma semelhante, se y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4), \begin{align} \phi^\prime(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x \times 2x + (x^2 - 4) \times 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi^{\prime\prime}(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 \times 6x = 18x, \\ \phi^{\prime\prime\prime}(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi^{(4)}(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align}
Exercícios
Encontre \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{d^2y}{dx^2} para as seguintes expressões:
Exercício 7.1. y = 17x + 12x^2.
Resposta
17 + 24x;24.
Solução
\begin{align} &y=17 x+12 x^{2} \\ &\frac{d y}{d x}=17+24 x \\ &\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=24 \end{align}
Exercício 7.2. y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}.
Resposta
\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2};\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}.
Solução
y=\frac{x^{2}+a}{x+a} Usando a Regra do Quociente
\begin{align} \frac{d y}{d x} &=\frac{2 x(x+a)-\left(x^{2}+a\right)}{(x+a)^{2}} \\ &=\frac{x^{2}+2 a x-a}{(x+a)^{2}} \end{align}
Para encontrar \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, usamos a Regra do Quociente novamente.
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}&=\frac{(2 x+2 a)(x+a)^{2}-\frac{d\left(x^{2}+2 a x+a\right)^{2}}{d x}\left(x^{2}+2 a x-a\right)}{(x+a)^{4}}\\ &=\frac{2(x+a)^{3}-(2 x+2 a)\left(x^{2}+2 a x-a\right)}{(x+a)^{4}} \\ &=\frac{2(x+a)\left[(x+a)^{2}-\left(x^{2}+2 a x-a\right)\right]}{(x+a)^{4}}\\ &=\frac{2\left[x^{2}+2 a x+a^{2}-x^{2}-2 a x+a\right]}{(x+a)^{3}} \\ &=\frac{2\left(a^{2}+a\right)}{(x+a)^{3}} \\ &=\frac{2 a(a+1)}{(x+a)^{3}} \end{align}
Exercício 7.3. y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1\times2} + \dfrac{x^3}{1\times2\times3} + \dfrac{x^4}{1\times2\times3\times4}.
Resposta
1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3};1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2}.
Solução
\begin{align} y &=1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\frac{x^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4}. \\ \frac{d y}{d x} &=1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}. \\ \frac{d^{2} y}{d x} &=1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}. \end{align}
Exercício 7.4. Encontre a 2ª e 3ª derivadas nos Exercícios do Capítulo 6, nº 1 a nº 7:
Expressões:
- Primeiro Exercício:
- u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb.
- y = ax^2 + bx + c.
- y = (x + a)^2.
- y = (x + a)^3.
- w = at - \frac{1}{2}bt^2.
- y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}).
- y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3).
- x = (y + 3) \times (y + 5).
- y = 1.3709x \times (112.6 + 45.202x^2).
- y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}.
Exemplo 6.4: y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}.
Exemplo 6.5: y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}
Exemplo 6.6: z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27.
Exemplo 6.7: v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3
Exemplo 6.8: y = (2x - 3)(x + 1)^2.
Exemplo 6.9: y = 0.5 x^3(x-3).
Exemplo 6.10: w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right).
Resposta
(Exercícios do Capítulo 6):
(1) \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots.
(2) 2a, 0.
(3) 2, 0.
(4) 6x + 6a, 6.
-b, 0.
2, 0.
\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}
2, 0.
371.80453x, 371.80453.
\dfrac{30}{(3x + 2)^3},-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}.
Exemplo 6.4: \dfrac{6a}{b^2} x,\dfrac{6a}{b^2}.
Exemplo 6.5: \dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}, \dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}.
Exemplo 6.6: \dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}, \dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}.
Exemplo 6.7: 810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64., 3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968.
Exemplo 6.8: 12x + 2, 12.
Exemplo 6.9: 6x^2 - 9x,12x - 9.
Exemplo 6.10: \begin{align} &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\ &\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) -\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{align}
Solução
(1)
(a) Aprendemos que
\frac{d u}{d x}=u
Portanto,
\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{d\left(\frac{d u}{d x}\right)}{d x}=\frac{d u}{d x}=u
e
\frac{d^{3} u}{d x^{3}}=\frac{d\left(\frac{d^{2} u}{d x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d u}{d x}=u .
(b) Como \frac{d y}{d x}=2 a x+b então \begin{align} &\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 a \\ &\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}
(c) Como \frac{d y}{d x}=2(x+a)=2 x+2 a
\begin{align} &\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \\ &\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}
(d) Como
\begin{align} &\frac{d y}{d x}=3(x+a)^{2}=3\left(x^{2}+2 a x+a^{2}\right) \\ &\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+6 a=6(x+a) \\ &\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=6 \end{align}
(2) Como \frac{d w}{d t}=a-b t
\begin{align} &\frac{d^{2} w}{d t^{2}}=-b \\ &\frac{d^{3} w}{d t^{3}}=0 \end{align}
(3) Como \frac{d y}{d x}=2 x, \begin{align} &\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \quad \text { e } \quad \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}
(4) Como \frac{d y}{d x}=14110 x^{4}-65404 x^{3}-22404 x^{2}+8192 x+1379,
\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} &=56440 x^{3}-196212 x^{2}-44808 x+8192 \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} &=3 \times 56440 x^{2}-2 \times 196212 x-44808 \\ &=169320 x^{2}-392424 x-44808 \end{align}
(5) Como \frac{d x}{d y}=2 y+5
\frac{d^2 x}{d y^{2}}=2 \quad \text { e }\quad \frac{d^{3} x}{d y^{3}}=0
(6) Como \dfrac{d y}{d x}=185.9022654 x^2+154.36334
\begin{align} &\frac{d^2 y}{d x^2}=2 \times 185.9022654 x=371.8045308 x \\ &\frac{d^3 y}{d x^3}=371.8045308 \end{align}
(7) Como \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{5}{(3 x+2)^{2}}, \begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} &=-\frac{0 \times(3 x+2)^{2}-5 \frac{d\left[(3 x+2)^{2}\right]}{d x}}{(3 x+2)^{4}} \\ &=\frac{5 \frac{d\left[9 x^{2}+12 x+4\right]}{d x}}{(3 x+2)^{4}} \\ &=\frac{5(18 x+12)}{(3 x+2)^{4}} \\ &=\frac{30(3 x+2)}{(3 x+2)^{4}} \\ &=\frac{30}{(3 x+2)^{3}} \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} &=\frac{-30 \frac{d\left[(3 x+2)^{3}\right]}{d x}}{(3 x+2)^{6}} \\ &=-\frac{30 \frac{d\left(27 x^{3}+54 x^{2}+36 x+8\right)}{d x}}{(3 x+2)^{6}} \\ &=\frac{30\left(81 x^{2}+108 x+36\right)}{(3 x+2)^{6}} \end{align}
\begin{align} &=\frac{30 \times 9\left(9 x^{2}+12 x+4\right)}{(3 x+2)^{6}} \\ &=\frac{270(3 x+2)^{2}}{(3 x+2)^{6}} \\ &=\frac{270}{(3 x+2)^{5}} \end{align}
Exemplo 19. Como \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3 a}{b^{2}} x^{2}-\dfrac{a^{2}}{b}
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{6 a}{b^{2}} x \text { e } \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{6 a}{b^{2}}
Exemplo 20. Como \dfrac{d y}{d x}=3 a \sqrt{b x}+\dfrac{3 b \sqrt[3]{a}}{x^{2}}. Podemos reescrever como \frac{d y}{d x}=3 a \sqrt{b} x^{\frac{1}{2}}+3 b \sqrt[3]{a} x^{-2} Portanto \begin{align} \frac{d^2 y}{d x^2} &=\frac{1}{2} 3 a \sqrt{b} x^{-\frac{1}{2}}-6 b \sqrt[3]{a} x^{-3} \\ &=\frac{3}{2} a \sqrt{\frac{b}{x}}-\frac{6 b \sqrt[3]{a}}{x^3} \end{align} e
\begin{align} \frac{d^{3} y}{d x^{3}} &=-\frac{1}{4} 3 a \sqrt{b} x^{-\frac{3}{2}}+18 b \sqrt[3]{a} x^{-4} \\ &=-\frac{3 a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^{3}}}+\frac{18 b \sqrt[4]{a}}{x^{4}} \end{align}
Exemplo 21. Como \dfrac{d z}{d \theta}=-1.2 \theta^{-\frac{5}{3}}+0.88 \theta^{-\frac{6}{5}}
\begin{align} \frac{d^{2} z}{d \theta^{2}} &=2 \theta^{-\frac{8}{3}}-1.056 \theta^{-\frac{11}{5}} \\ &=\frac{2}{\sqrt[3]{\theta^{8}}}-\frac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}} \\ \frac{d^{3} z}{d \theta^{3}} &=-\frac{16}{3} \theta^{-\frac{11}{3}}+2.3232 \theta^{-\frac{16}{5}} \\ &=-\frac{16}{\sqrt[3]{\theta^{11}}}+\frac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} \end{align}
Exemplo 22. Como \dfrac{d v}{d t}=162 t^{5}-162 t^{4}+159.84 t^{3}-69.984 t^{2}+26.64 t
\begin{align} &\frac{d^{2} v}{d t^{2}}=810 t^{4}-648 t^{3}+479.52 t^{2}-139.968 t+26.64 \\ &\frac{d^{3} v}{d t^{3}}=3240 t^{3}-1944 t^{2}+959.04 t-139.968 \end{align}
Exemplo 23. Como \frac{d y}{d x}=2(x+1)(3 x-2)
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2(3 x-2)+6(x+1)=12 x+2
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=12
Exemplo 24. Como \frac{d y}{d x}=2 x^{3}-4.5 x^{2}
\begin{align} &\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x^{2}-9 x \\ &\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=12 x-9 \end{align}
Exemplo 25. Como \dfrac{d \omega}{d \theta}=\frac{3}{2}\left(\sqrt{\theta}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right), podemos reescrever como
\frac{d w}{d \theta}=\frac{3}{2}\left(\theta^{\frac{1}{2}}-\theta^{-\frac{5}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\theta^{-\frac{1}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right) Portanto
\begin{align} \frac{d^{2} w}{d \theta^{2}} &=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2} \theta^{-\frac{1}{2}}+\frac{5}{2} \theta^{-\frac{7}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} \theta^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2} \theta^{-\frac{5}{2}}\right) \\ &=\frac{3}{4} \theta^{-\frac{1}{2}}+\frac{15}{4} \theta^{-\frac{7}{2}}-\frac{1}{4} \theta^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{4} \theta^{-\frac{5}{2}} \\ &=\frac{3}{4}\left(\theta^{-\frac{1}{2}}+\theta^{-\frac{5}{2}}\right)+\frac{1}{4}\left(15 \theta^{-\frac{7}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right) \\ &=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}+\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\sqrt{\theta^{7}}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right) \end{align}
\begin{align} \frac{d^{3} w}{d \theta^{3}} &=\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2} \theta^{\frac{2}{2}}-\frac{5}{2} \theta^{2}\right)+\frac{1}{4}\left(-\frac{105}{2} \theta^{-\frac{2}{2}}+\frac{3}{2} \theta^{-\frac{1}{2}}\right) \\ &=\frac{3}{8}\left(\theta^{-\frac{5}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right)-\frac{15}{8}\left(7 \theta^{-\frac{9}{2}}+\theta^{-\frac{7}{2}}\right) \\ &=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right)-\frac{15}{8}\left(\frac{7}{\sqrt{\theta^{9}}}+\frac{1}{\sqrt{\theta^{7}}}\right) \end{align}
