高阶导数

让我们尝试多次重复对函数求导的操作效果（参见函数的概念）。先从一个具体例子开始。

设 $y = x^{5}$ 。 $第一次求导，。第二次求导，。第三次求导，。第四次求导，。第五次求导，。第六次求导，。$

有一种我们已经熟悉的特定符号，被一些作者使用，非常方便。这就是使用通用符号 $f (x)$ 来表示 $x$ 的任意函数。这里的符号 $f ()$ 读作“函数”，而不指明具体是哪个函数。因此，语句 $y = f (x)$ 仅仅告诉我们 $y$ 是 $x$ 的一个函数，它可能是 $x^{2}$ 或 $a x^{n}$ ，或 $\cos x$ 或任何其他关于 $x$ 的复杂函数。

对应的导数符号是，它比 $\frac{d y}{d x}$ 更容易书写。这被称为 $𝒚$ 关于 $𝒙$ 的导数，函数 $𝒇$ 的导数，或简称为导函数。有时我们不用 $\frac{d y}{d x}$ 或，而直接写成。

假设我们再次求导，就会得到 $𝒇$ 的二阶导数或 $𝒚$ 关于 $𝒙$ 的二阶导数，记作或；依此类推。

现在让我们进行推广。

设 $y = f (x) = x^{n}$ 。 $第一次求导，。第二次求导，。第三次求导，。第四次求导，。$

一般来说，在对原函数 $f$ 求导 $n$ 次后，我们得到 $f$ 或 $y$ 关于 $x$ 的 $n$ 阶导数，也称为 $n$ 阶导数。当求导阶数达到四次或以上时，通常采用更简洁的方法，而不是反复使用撇号（也称为素数）。求导阶数用括号表示，导数阶数作为上标放在 $f$ 或 $y$ 上。这种表示法不仅更清晰，还有助于减少数错撇号数量的风险。例如，我们常写 $y^{(4)}$ 或 $f^{(4)} (x)$ 而不是和。

还有另一种表示连续求导的方法。因为， $如果原函数是求导一次得到求导两次得到$ 这更常写成 $\frac{d^{2} y}{(d x)^{2}}$ ，或者更常见的是 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。类似地，我们可以将求导三次的结果写成。

如何阅读导数的符号

	f 撇 x
	f 两撇 x
	f 三撇 x
$f^{(n)} (x)$	f 上标 n x（或 f 的 n 阶导数）
	y 撇
	y 两撇
	y 三撇
$y^{(n)}$	y 上标 n（或 y 的 n 阶导数）
$\frac{d y}{d x}$	d y 比 d x
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$	d 平方 y 比 d x 平方

例子

现在让我们试试 $y = f (x) = 7 x^{4} + 3.5 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x - 2$ 。

类似地，如果 $y = ϕ (x) = 3 x (x^{2} - 4)$ ，

练习

求下列表达式的 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ：

练习 7.1. $y = 17 x + 12 x^{2}$ 。

答案

$17 + 24 x$ ； $24$ 。

解答

练习 7.2. $y = \frac{x^{2} + a}{x + a}$ 。

答案

$\frac{x^{2} + 2 a x - a}{(x + a)^{2}}$ ； $\frac{2 a (a + 1)}{(x + a)^{3}}$ 。

解答

$y = \frac{x^{2} + a}{x + a}$ 使用商法则

为了求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，我们再次使用商法则。

练习 7.3. $y = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \frac{x^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$ 。

答案

$1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}$ ； $1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2}$ 。

解答

练习 7.4. 求第 6 章练习中第 1 至第 7 题的 2 阶和 3 阶导数：

表达式：

第一个练习：
1. $u = 1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \dots$ 。
2. $y = a x^{2} + b x + c$ 。
3. $y = (x + a)^{2}$ 。
4. $y = (x + a)^{3}$ 。
$w = a t - \frac{1}{2} b t^{2}$ 。
$y = (x + \sqrt{- 1}) \times (x - \sqrt{- 1}) .$
$y = (197 x - 34 x^{2}) \times (7 + 22 x - 83 x^{3}) .$
$x = (y + 3) \times (y + 5)$ 。
$y = 1.3709 x \times (112.6 + 45.202 x^{2})$ 。
$y = \frac{2 x + 3}{3 x + 2}$ 。

以及示例 6.4 到示例 6.10：

示例 6.4： $y = \frac{a}{b^{2}} x^{3} - \frac{a^{2}}{b} x + \frac{a^{2}}{b^{2}}$ 。

示例 6.5： $y = 2 a \sqrt{b x^{3}} - \frac{3 b \sqrt[3]{a}}{x} - 2 \sqrt{a b}$

示例 6.6： $z = 1.8 \sqrt[3]{\frac{1}{θ^{2}}} - \frac{4.4}{\sqrt[5]{θ}} - 27$ 。

示例 6.7： $v = (3 t^{2} - 1.2 t + 1)^{3}$

示例 6.8： $y = (2 x - 3) (x + 1)^{2}$ 。

示例 6.9： $y = 0.5 x^{3} (x - 3)$ 。

示例 6.10： $w = (θ + \frac{1}{θ}) (\sqrt{θ} + \frac{1}{\sqrt{θ}})$ 。

答案

（第 6 章练习）：

(1) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \dots$ 。
(2) $2 a$ , $0$ 。
(3) $2$ , $0$ 。
(4) $6 x + 6 a$ , $6$ 。

$- b$ , $0$ 。

$2$ , $0$ 。

$\begin{matrix} 56440 x^{3} - 196212 x^{2} - 4488 x + 8192. \\ 169320 x^{2} - 392424 x - 4488. \end{matrix}$

$2$ , $0$ 。

$371.80453 x$ , $371.80453$ 。

$\frac{30}{(3 x + 2)^{3}}$ , $- \frac{270}{(3 x + 2)^{4}}$ 。

示例 6.4： $\frac{6 a}{b^{2}} x$ , $\frac{6 a}{b^{2}}$ 。

示例 6.5： $\frac{3 a \sqrt{b}}{2 \sqrt{x}} - \frac{6 b \sqrt[3]{a}}{x^{3}}$ , $\frac{18 b \sqrt[3]{a}}{x^{4}} - \frac{3 a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^{3}}}$ 。

示例 6.6： $\frac{2}{\sqrt[3]{θ^{8}}} - \frac{1.056}{\sqrt[5]{θ^{11}}}$ , $\frac{2.3232}{\sqrt[5]{θ^{16}}} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{θ^{11}}}$ 。

示例 6.7： $810 t^{4} - 648 t^{3} + 479.52 t^{2} - 139.968 t + 26.64 .$ , $3240 t^{3} - 1944 t^{2} + 959.04 t - 139.968 .$

示例 6.8： $12 x + 2$ , $12$ 。

示例 6.9： $6 x^{2} - 9 x$ , $12 x - 9$ 。

示例 6.10：

解答

(1)

(a) 我们知道

$\frac{d u}{d x} = u$

因此，

$\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{d (\frac{d u}{d x})}{d x} = \frac{d u}{d x} = u$

并且

$\frac{d^{3} u}{d x^{3}} = \frac{d (\frac{d^{2} u}{d x^{2}})}{d x} = \frac{d u}{d x} = u .$

(b) 由于 $\frac{d y}{d x} = 2 a x + b$ 那么

(c) 由于 $\frac{d y}{d x} = 2 (x + a) = 2 x + 2 a$

(d) 由于

(2) 由于 $\frac{d w}{d t} = a - b t$

(3) 由于 $\frac{d y}{d x} = 2 x,$ $且$

(4) 由于 $\frac{d y}{d x} = 14110 x^{4} - 65404 x^{3} - 22404 x^{2} + 8192 x + 1379$ ，

(5) 由于 $\frac{d x}{d y} = 2 y + 5$

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = 2 且 \frac{d^{3} x}{d y^{3}} = 0$

(6) 由于 $\frac{d y}{d x} = 185.9022654 x^{2} + 154.36334$

（7） 由于 $\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{(3 x + 2)^{2}}$ ，

例19. 由于 $\frac{d y}{d x} = \frac{3 a}{b^{2}} x^{2} - \frac{a^{2}}{b}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{6 a}{b^{2}} x 且 \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{6 a}{b^{2}}$

例20. 由于 $\frac{d y}{d x} = 3 a \sqrt{b x} + \frac{3 b \sqrt[3]{a}}{x^{2}}$ 。我们可以将其重写为 $\frac{d y}{d x} = 3 a \sqrt{b} x^{\frac{1}{2}} + 3 b \sqrt[3]{a} x^{- 2}$ 因此且

例21. 由于 $\frac{d z}{d θ} = - 1.2 θ^{- \frac{5}{3}} + 0.88 θ^{- \frac{6}{5}}$

例22. 由于 $\frac{d v}{d t} = 162 t^{5} - 162 t^{4} + 159.84 t^{3} - 69.984 t^{2} + 26.64 t$

例23. 由于 $\frac{d y}{d x} = 2 (x + 1) (3 x - 2)$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (3 x - 2) + 6 (x + 1) = 12 x + 2$

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 12$

例24. 由于 $\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} - 4.5 x^{2}$

例25. 由于 $\frac{d ω}{d θ} = \frac{3}{2} (\sqrt{θ} - \frac{1}{\sqrt{θ^{5}}}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{θ}} - \frac{1}{\sqrt{θ^{3}}})$ ，我们可以将其重写为

$\frac{d w}{d θ} = \frac{3}{2} (θ^{\frac{1}{2}} - θ^{- \frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (θ^{- \frac{1}{2}} - θ^{- \frac{3}{2}})$ 因此