Derivadas de orden superior
Intentemos el efecto de repetir varias veces la operación de derivar una función (ver el concepto de función). Comencemos con un caso concreto.
Sea \(y = x^5\). \[\begin{align} &\text{Primera derivada, } &&5x^4. && \\ &\text{Segunda derivada, } &&5 \times 4x^3 &&= 20x^3. \\ &\text{Tercera derivada, } &&5 \times 4 \times 3x^2 &&= 60x^2. \\ &\text{Cuarta derivada, } &&5 \times 4 \times 3 \times 2x &&= 120x. \\ &\text{Quinta derivada, } &&5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 &&= 120. \\ &\text{Sexta derivada, } && &&= 0. \end{align}\]
Existe una cierta notación, con la que ya estamos familiarizados, utilizada por algunos escritores, que es muy conveniente. Esta consiste en emplear el símbolo general \(f(x)\) para cualquier función de \(x\). Aquí el símbolo \(f(~)\) se lee como "función de", sin especificar qué función particular se desea decir. Así que la afirmación \(y=f(x)\) simplemente nos dice que \(y\) es una función de \(x\), pudiendo ser \(x^2\) o \(ax^n\), o \(\cos x\) o cualquier otra función complicada de \(x\).
El símbolo correspondiente para la derivada es \(f^{\prime}(x)\), que es más simple de escribir que \(\dfrac{dy}{dx}\). Esto se denomina la derivada de \(\boldsymbol{y}\) respecto a \(\boldsymbol{x}\), la derivada de la función \(\boldsymbol{f}\), o simplemente la función derivada. En lugar de \(\dfrac{dy}{dx}\) o \(f^\prime(x)\), a veces simplemente escribimos \(y^\prime\).
Supongamos que derivamos nuevamente, obtendremos la segunda derivada de \(\boldsymbol{f}\) o la segunda derivada de \(\boldsymbol{y}\) respecto a \(\boldsymbol{x}\), que se denota como \(f^{\prime\prime}(x)\) o \(y^{\prime\prime}\); y así sucesivamente.
Ahora generalicemos.
Sea \(y = f(x) = x^n\). \[\begin{align} &\text{Primera derivada,} &&y^\prime=f^\prime(x) = nx^{n-1}. \\ &\text{Segunda derivada,} &&y^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x) = n(n-1)x^{n-2}. \\ &\text{Tercera derivada,} &&y^{\prime\prime\prime}=f^{\prime\prime\prime}(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ &\text{Cuarta derivada,} &&y^{\prime\prime\prime\prime}=f^{\prime\prime\prime\prime}(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ &&\vdots \end{align}\]
En general, después de derivar la función original \(n\) veces, obtenemos la \(n\)-th derivada de \(f\) o \(y\) respecto a \(x\), también conocida como la derivada de orden \(n\). Cuando el orden de derivación llega a cuatro o más, en lugar de usar repetidamente acentos (también conocidos como primas), a menudo se adopta un enfoque más simplificado. El orden de derivación se denota usando paréntesis, con el orden de derivación presentado como superíndice de \(f\) o \(y\). Esta notación no solo es más clara sino que también ayuda a reducir el riesgo de contar mal el número de primas. Por ejemplo, a menudo escribimos \(y^{(4)}\) o \(f^{(4)}(x)\) en lugar de \(y^{\prime\prime\prime\prime}\) y \(f^{\prime\prime\prime\prime}(x)\).
Hay otra forma de indicar diferenciaciones sucesivas. Pues, \[\begin{align} &\text{si la función original es } &&y = f(x); \\ &\text{una vez derivado da } &&\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x); \\ &\text{dos veces derivado da } &&\frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} = f^{\prime\prime}(x); \end{align}\] y esto se escribe más convenientemente como \(\dfrac{d^2y}{(dx)^2}\), o más habitualmente \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\). De manera similar, podemos escribir como resultado de derivar tres veces, \(\dfrac{d^3y}{dx^3} = f^{\prime\prime\prime}(x)\).
Cómo Leer los Símbolos para Derivadas
| \(f^\prime(x)\) | efe prima de equis |
| \(f^{\prime\prime} (x)\) | efe doble prima de equis |
| \(f^{\prime\prime\prime}(x)\) | efe triple prima de equis |
| \(f^{(n)}(x)\) | efe super ene de equis (o la ene-ésima derivada de efe de equis) |
| \(y^\prime\) | y prima |
| \(y^{\prime\prime}\) | y doble prima |
| \(y^{\prime\prime\prime}\) | y triple prima |
| \(y^{(n)}\) | y super ene (o la ene-ésima derivada de y) |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) | de y sobre de equis |
| \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) | de al cuadrado y sobre de equis al cuadrado |
Ejemplos
Ahora intentemos con \(y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2\). \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= f^{\prime}(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f^{\prime\prime}(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f^{\prime\prime\prime}(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f^{(4)}(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f^{(5)}(x) = 0. \end{align}\]
De manera similar si \(y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)\), \[\begin{align} \phi^\prime(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x \times 2x + (x^2 - 4) \times 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi^{\prime\prime}(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 \times 6x = 18x, \\ \phi^{\prime\prime\prime}(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi^{(4)}(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align}\]
Ejercicios
Encuentre \(\dfrac{dy}{dx}\) y \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) para las siguientes expresiones:
Ejercicio 7.1. \(y = 17x + 12x^2\).
Respuesta
\(17 + 24x\);\(24\).
Solución
\[\begin{align} & y=17 x+12 x^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=17+24 x \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=24 \end{align}\]
Ejercicio 7.2. \(y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}\).
Respuesta
\(\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}\);\(\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}\).
Solución
\[y=\frac{x^{2}+a}{x+a}\] Usando la Regla del Cociente
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{2 x(x+a)-\left(x^{2}+a\right)}{(x+a)^{2}} \\ & =\frac{x^{2}+2 a x-a}{(x+a)^{2}} \end{align}\]
Para encontrar \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\), usamos la Regla del Cociente nuevamente.
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}&=\frac{(2 x+2 a)(x+a)^{2}-\frac{d\left(x^{2}+2 a x+a\right)^{2}}{d x}\left(x^{2}+2 a x-a\right)}{(x+a)^{4}}\\ & =\frac{2(x+a)^{3}-(2 x+2 a)\left(x^{2}+2 a x-a\right)}{(x+a)^{4}} \\ & =\frac{2(x+a)\left[(x+a)^{2}-\left(x^{2}+2 a x-a\right)\right]}{(x+a)^{4}}\\ & =\frac{2\left[x^{2}+2 a x+a^{2}-x^{2}-2 a x+a\right]}{(x+a)^{3}} \\ & =\frac{2\left(a^{2}+a\right)}{(x+a)^{3}} \\ & =\frac{2 a(a+1)}{(x+a)^{3}} \end{align}\]
Ejercicio 7.3. \(y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1\times2} + \dfrac{x^3}{1\times2\times3} + \dfrac{x^4}{1\times2\times3\times4}\).
Respuesta
\(1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3}\);\(1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2}\).
Solución
\[\begin{align} y & =1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\frac{x^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4}. \\ \frac{d y}{d x} & =1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}. \\ \frac{d^{2} y}{d x} & =1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{1 \times 2}. \end{align}\]
Ejercicio 7.4. Encuentra la 2ª y 3ª derivadas en los Ejercicios del Capítulo 6, Núm. 1 al Núm. 7:
Expresiones:
- Primer Ejercicio:
- \(u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb\).
- \(y = ax^2 + bx + c\).
- \(y = (x + a)^2\).
- \(y = (x + a)^3\).
- \(w = at - \frac{1}{2}bt^2\).
- \(y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}).\)
- \(y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3).\)
- \(x = (y + 3) \times (y + 5)\).
- \(y = 1.3709x \times (112.6 + 45.202x^2)\).
- \(y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}\).
y en el Ejemplo 6.4 al Ejemplo 6.10:
Ejemplo 6.4: \(y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}\).
Ejemplo 6.5: \(y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}\)
Ejemplo 6.6: \(z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27\).
Ejemplo 6.7: \(v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3\)
Ejemplo 6.8: \(y = (2x - 3)(x + 1)^2\).
Ejemplo 6.9: \(y = 0.5 x^3(x-3)\).
Ejemplo 6.10: \(w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\).
Respuesta
(Ejercicios del Capítulo 6):
(1) \(\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots\).
(2) \(2a\), \(0\).
(3) \(2\), \(0\).
(4) \(6x + 6a\), \(6\).
\(-b\), \(0\).
\(2\), \(0\).
\(\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}\)
\(2\), \(0\).
\(371.80453x\), \(371.80453\).
\(\dfrac{30}{(3x + 2)^3}\),\(-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}\).
Ejemplo 6.4: \(\dfrac{6a}{b^2} x\),\(\dfrac{6a}{b^2}\).
Ejemplo 6.5: \(\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}\), \(\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}\).
Ejemplo 6.6: \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}\), \(\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}\).
Ejemplo 6.7: \(810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64.\), \(3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968.\)
Ejemplo 6.8: \(12x + 2\), \(12\).
Ejemplo 6.9: \(6x^2 - 9x\),\(12x - 9\).
Ejemplo 6.10: \[\begin{align} &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\ &\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) -\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{align}\]
Solución
(1)
(a) Aprendimos que
\[\frac{d u}{d x}=u\]
Por lo tanto,
\[\frac{d^{2} u}{d x^{2}}=\frac{d\left(\frac{d u}{d x}\right)}{d x}=\frac{d u}{d x}=u\]
y
\[\frac{d^{3} u}{d x^{3}}=\frac{d\left(\frac{d^{2} u}{d x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d u}{d x}=u .\]
(b) Dado que \[\frac{d y}{d x}=2 a x+b\] entonces \[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 a \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}\]
(c) Dado que \(\frac{d y}{d x}=2(x+a)=2 x+2 a\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}\]
(d) Dado que
\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=3(x+a)^{2}=3\left(x^{2}+2 a x+a^{2}\right) \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+6 a=6(x+a) \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=6 \end{align}\]
(2) Dado que \(\frac{d w}{d t}=a-b t\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} w}{d t^{2}}=-b \\ & \frac{d^{3} w}{d t^{3}}=0 \end{align}\]
(3) Dado que \[\frac{d y}{d x}=2 x,\] \[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 \quad \text { y } \quad \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0 \end{align}\]
(4) Dado que \(\frac{d y}{d x}=14110 x^{4}-65404 x^{3}-22404 x^{2}+8192 x+1379\),
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =56440 x^{3}-196212 x^{2}-44808 x+8192 \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & =3 \times 56440 x^{2}-2 \times 196212 x-44808 \\ & =169320 x^{2}-392424 x-44808 \end{align}\]
(5) Dado que \(\frac{d x}{d y}=2 y+5\)
\[ \frac{d^2 x}{d y^{2}}=2 \quad \text { y }\quad \frac{d^{3} x}{d y^{3}}=0 \]
(6) Dado que \(\dfrac{d y}{d x}=185.9022654 x^2+154.36334\)
\[\begin{align} & \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \times 185.9022654 x=371.8045308 x \\ & \frac{d^3 y}{d x^3}=371.8045308 \end{align}\]
(7) Dado que \(\dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{5}{(3 x+2)^{2}}\), \[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\frac{0 \times(3 x+2)^{2}-5 \frac{d\left[(3 x+2)^{2}\right]}{d x}}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{5 \frac{d\left[9 x^{2}+12 x+4\right]}{d x}}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{5(18 x+12)}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{30(3 x+2)}{(3 x+2)^{4}} \\ & =\frac{30}{(3 x+2)^{3}} \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & =\frac{-30 \frac{d\left[(3 x+2)^{3}\right]}{d x}}{(3 x+2)^{6}} \\ & =-\frac{30 \frac{d\left(27 x^{3}+54 x^{2}+36 x+8\right)}{d x}}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{30\left(81 x^{2}+108 x+36\right)}{(3 x+2)^{6}} \end{align}\]
\[\begin{align} & =\frac{30 \times 9\left(9 x^{2}+12 x+4\right)}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{270(3 x+2)^{2}}{(3 x+2)^{6}} \\ & =\frac{270}{(3 x+2)^{5}} \end{align}\]
Ejemplo 19. Dado que \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3 a}{b^{2}} x^{2}-\dfrac{a^{2}}{b}\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{6 a}{b^{2}} x \text { y } \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{6 a}{b^{2}}\]
Ejemplo 20. Dado que \(\dfrac{d y}{d x}=3 a \sqrt{b x}+\dfrac{3 b \sqrt[3]{a}}{x^{2}}\). Podemos reescribirlo como \[\frac{d y}{d x}=3 a \sqrt{b} x^{\frac{1}{2}}+3 b \sqrt[3]{a} x^{-2}\] Por lo tanto \[\begin{align} \frac{d^2 y}{d x^2} & =\frac{1}{2} 3 a \sqrt{b} x^{-\frac{1}{2}}-6 b \sqrt[3]{a} x^{-3} \\ & =\frac{3}{2} a \sqrt{\frac{b}{x}}-\frac{6 b \sqrt[3]{a}}{x^3} \end{align}\] y
\[\begin{align} \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & =-\frac{1}{4} 3 a \sqrt{b} x^{-\frac{3}{2}}+18 b \sqrt[3]{a} x^{-4} \\ & =-\frac{3 a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^{3}}}+\frac{18 b \sqrt[4]{a}}{x^{4}} \end{align}\]
Ejemplo 21. Dado que \(\dfrac{d z}{d \theta}=-1.2 \theta^{-\frac{5}{3}}+0.88 \theta^{-\frac{6}{5}}\)
\[\begin{align} \frac{d^{2} z}{d \theta^{2}} & =2 \theta^{-\frac{8}{3}}-1.056 \theta^{-\frac{11}{5}} \\ & =\frac{2}{\sqrt[3]{\theta^{8}}}-\frac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}} \\ \frac{d^{3} z}{d \theta^{3}} & =-\frac{16}{3} \theta^{-\frac{11}{3}}+2.3232 \theta^{-\frac{16}{5}} \\ & =-\frac{16}{\sqrt[3]{\theta^{11}}}+\frac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} \end{align}\]
Ejemplo 22. Dado que \(\dfrac{d v}{d t}=162 t^{5}-162 t^{4}+159.84 t^{3}-69.984 t^{2}+26.64 t\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} v}{d t^{2}}=810 t^{4}-648 t^{3}+479.52 t^{2}-139.968 t+26.64 \\ & \frac{d^{3} v}{d t^{3}}=3240 t^{3}-1944 t^{2}+959.04 t-139.968 \end{align}\]
Ejemplo 23. Dado que \(\frac{d y}{d x}=2(x+1)(3 x-2)\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2(3 x-2)+6(x+1)=12 x+2\]
\[\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=12\]
Ejemplo 24. Dado que \(\frac{d y}{d x}=2 x^{3}-4.5 x^{2}\)
\[\begin{align} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x^{2}-9 x \\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=12 x-9 \end{align}\]
Ejemplo 25. Dado que \(\dfrac{d \omega}{d \theta}=\frac{3}{2}\left(\sqrt{\theta}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right)\), podemos reescribirlo como
\[\frac{d w}{d \theta}=\frac{3}{2}\left(\theta^{\frac{1}{2}}-\theta^{-\frac{5}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\theta^{-\frac{1}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right)\] Por lo tanto
\[\begin{align} \frac{d^{2} w}{d \theta^{2}} & =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2} \theta^{-\frac{1}{2}}+\frac{5}{2} \theta^{-\frac{7}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} \theta^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2} \theta^{-\frac{5}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{4} \theta^{-\frac{1}{2}}+\frac{15}{4} \theta^{-\frac{7}{2}}-\frac{1}{4} \theta^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{4} \theta^{-\frac{5}{2}} \\ & =\frac{3}{4}\left(\theta^{-\frac{1}{2}}+\theta^{-\frac{5}{2}}\right)+\frac{1}{4}\left(15 \theta^{-\frac{7}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}+\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{15}{\sqrt{\theta^{7}}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right) \end{align}\]
\[\begin{align} \frac{d^{3} w}{d \theta^{3}} & =\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2} \theta^{\frac{2}{2}}-\frac{5}{2} \theta^{2}\right)+\frac{1}{4}\left(-\frac{105}{2} \theta^{-\frac{2}{2}}+\frac{3}{2} \theta^{-\frac{1}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{8}\left(\theta^{-\frac{5}{2}}-\theta^{-\frac{3}{2}}\right)-\frac{15}{8}\left(7 \theta^{-\frac{9}{2}}+\theta^{-\frac{7}{2}}\right) \\ & =\frac{3}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta^{5}}}-\frac{1}{\sqrt{\theta^{3}}}\right)-\frac{15}{8}\left(\frac{7}{\sqrt{\theta^{9}}}+\frac{1}{\sqrt{\theta^{7}}}\right) \end{align}\]