Dérivées d'ordre supérieur

Essayons l'effet de répéter plusieurs fois l'opération de différenciation d'une fonction (voir le concept d'une fonction). Commençons par un cas concret.

Soit $y = x^{5}$ .

Il existe une certaine notation, avec laquelle nous sommes déjà familiers, utilisée par certains auteurs, qui est très pratique. Il s'agit d'employer le symbole général $f (x)$ pour toute fonction de $x$ . Ici, le symbole $f ()$ est lu comme “fonction de,” sans préciser quelle fonction particulière est indiquée. Ainsi, l'énoncé $y = f (x)$ nous dit simplement que $y$ est une fonction de $x$ , cela peut être $x^{2}$ ou $a x^{n}$ , ou $\cos x$ ou toute autre fonction complexe de $x$ .

Le symbole correspondant pour la dérivée est , qui est plus simple à écrire que $\frac{d y}{d x}$ . Cela s'appelle la dérivée de $𝒚$ par rapport à $𝒙$ , la dérivée de la fonction $𝒇$ , ou simplement la fonction dérivée. Au lieu de $\frac{d y}{d x}$ ou , nous écrivons parfois simplement .

Supposons que nous différencions à nouveau, nous obtiendrons la seconde dérivée de $𝒇$ ou la seconde dérivée de $𝒚$ par rapport à $𝒙$ , qui est notée ou ; et ainsi de suite.

Généralisons maintenant.

Soit $y = f (x) = x^{n}$ .

En général, après avoir dérivé la fonction originale $n$ fois, nous obtenons la $n$ -ième dérivée de $f$ ou $y$ par rapport à $x$ , également connue sous le nom de dérivée d'ordre $n$ . Quand l'ordre de la différenciation atteint quatre ou plus, plutôt que d'utiliser continuellement des accents (également appelés primes), une approche plus rationalisée est souvent adoptée. L'ordre de différentiation est indiqué à l'aide de parenthèses, avec l'ordre de la dérivée présenté en exposant de $f$ ou $y$ . Cette notation est non seulement plus claire, mais elle aide aussi à réduire le risque d'erreur dans le comptage du nombre de primes. Par exemple, nous écrivons souvent $y^{(4)}$ ou $f^{(4)} (x)$ au lieu de et .

Il existe une autre façon d'indiquer les différenciations successives. Pour, et cela s'écrit plus commodément comme $\frac{d^{2} y}{(d x)^{2}}$ , ou plus habituellement $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . De manière similaire, nous pouvons écrire comme résultat de la dérivation trois fois, .

Comment lire les symboles pour les dérivées

	eff prime de eks
	eff double prime de eks
	eff triple prime de eks
$f^{(n)} (x)$	eff super en de eks (ou la en-ième dérivée de eff de eks)
	wy prime
	wy double prime
	wy triple prime
$y^{(n)}$	wy super en (ou la en-ième dérivée de wy)
$\frac{d y}{d x}$	dee wy sur dee eks
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$	dee carré wy sur dee eks carré

Exemples

Essayons maintenant $y = f (x) = 7 x^{4} + 3.5 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x - 2$ .

De manière similaire si $y = ϕ (x) = 3 x (x^{2} - 4)$ ,

Exercices

Trouvez $\frac{d y}{d x}$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ pour les expressions suivantes :

Exercice 7.1. $y = 17 x + 12 x^{2}$ .

Réponse

$17 + 24 x$ ; $24$ .

Solution

Exercice 7.2. $y = \frac{x^{2} + a}{x + a}$ .

Réponse

$\frac{x^{2} + 2 a x - a}{(x + a)^{2}}$ ; $\frac{2 a (a + 1)}{(x + a)^{3}}$ .

Solution

$y = \frac{x^{2} + a}{x + a}$ En utilisant la règle du quotient

Pour trouver $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , nous utilisons à nouveau la règle du quotient.

Exercice 7.3. $y = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \frac{x^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$ .

Réponse

$1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}$ ; $1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2}$ .

Solution

Exercice 7.4. Trouvez les 2^ème et 3^ème dérivées dans les exercices du Chapitre 6, No. 1 à No. 7 :

Expressions :

Premier exercice :
1. $u = 1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \dots$ .
2. $y = a x^{2} + b x + c$ .
3. $y = (x + a)^{2}$ .
4. $y = (x + a)^{3}$ .
$w = a t - \frac{1}{2} b t^{2}$ .
$y = (x + \sqrt{- 1}) \times (x - \sqrt{- 1}) .$
$y = (197 x - 34 x^{2}) \times (7 + 22 x - 83 x^{3}) .$
$x = (y + 3) \times (y + 5)$ .
$y = 1.3709 x \times (112.6 + 45.202 x^{2})$ .
$y = \frac{2 x + 3}{3 x + 2}$ .

et dans l'Exemple 6.4 à l'Exemple 6.10 :

Exemple 6.4 : $y = \frac{a}{b^{2}} x^{3} - \frac{a^{2}}{b} x + \frac{a^{2}}{b^{2}}$ .

Exemple 6.5 : $y = 2 a \sqrt{b x^{3}} - \frac{3 b \sqrt[3]{a}}{x} - 2 \sqrt{a b}$

Exemple 6.6 : $z = 1.8 \sqrt[3]{\frac{1}{θ^{2}}} - \frac{4.4}{\sqrt[5]{θ}} - 27$ .

Exemple 6.7 : $v = (3 t^{2} - 1.2 t + 1)^{3}$

Exemple 6.8 : $y = (2 x - 3) (x + 1)^{2}$ .

Exemple 6.9 : $y = 0.5 x^{3} (x - 3)$ .

Exemple 6.10 : $w = (θ + \frac{1}{θ}) (\sqrt{θ} + \frac{1}{\sqrt{θ}})$ .

Réponse

(Exercices du Chapitre 6) :

(1) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \dots$ .
(2) $2 a$ , $0$ .
(3) $2$ , $0$ .
(4) $6 x + 6 a$ , $6$ .

$- b$ , $0$ .

$2$ , $0$ .

$\begin{matrix} 56440 x^{3} - 196212 x^{2} - 4488 x + 8192. \\ 169320 x^{2} - 392424 x - 4488. \end{matrix}$

$2$ , $0$ .

$371.80453 x$ , $371.80453$ .

$\frac{30}{(3 x + 2)^{3}}$ , $- \frac{270}{(3 x + 2)^{4}}$ .

Exemple 6.4 : $\frac{6 a}{b^{2}} x$ , $\frac{6 a}{b^{2}}$ .

Exemple 6.5 : $\frac{3 a \sqrt{b}}{2 \sqrt{x}} - \frac{6 b \sqrt[3]{a}}{x^{3}}$ , $\frac{18 b \sqrt[3]{a}}{x^{4}} - \frac{3 a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^{3}}}$ .

Exemple 6.6 : $\frac{2}{\sqrt[3]{θ^{8}}} - \frac{1.056}{\sqrt[5]{θ^{11}}}$ , $\frac{2.3232}{\sqrt[5]{θ^{16}}} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{θ^{11}}}$ .

Exemple 6.7 : $810 t^{4} - 648 t^{3} + 479.52 t^{2} - 139.968 t + 26.64 .$ , $3240 t^{3} - 1944 t^{2} + 959.04 t - 139.968 .$

Exemple 6.8 : $12 x + 2$ , $12$ .

Exemple 6.9 : $6 x^{2} - 9 x$ , $12 x - 9$ .

Exemple 6.10 :

Solution

(1)

(a) Nous avons appris que

$\frac{d u}{d x} = u$

Donc,

$\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{d (\frac{d u}{d x})}{d x} = \frac{d u}{d x} = u$

$\frac{d^{3} u}{d x^{3}} = \frac{d (\frac{d^{2} u}{d x^{2}})}{d x} = \frac{d u}{d x} = u .$

(b) Puisque $\frac{d y}{d x} = 2 a x + b$ alors

(c) Puisque $\frac{d y}{d x} = 2 (x + a) = 2 x + 2 a$

(d) Puisque

(2) Puisque $\frac{d w}{d t} = a - b t$

(3) Puisque $\frac{d y}{d x} = 2 x,$

(4) Puisque $\frac{d y}{d x} = 14110 x^{4} - 65404 x^{3} - 22404 x^{2} + 8192 x + 1379$ ,

(5) Puisque $\frac{d x}{d y} = 2 y + 5$

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = 2 et \frac{d^{3} x}{d y^{3}} = 0$

(6) Puisque $\frac{d y}{d x} = 185.9022654 x^{2} + 154.36334$

(7) Puisque $\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{(3 x + 2)^{2}}$ ,

Exemple 19. Since $\frac{d y}{d x} = \frac{3 a}{b^{2}} x^{2} - \frac{a^{2}}{b}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{6 a}{b^{2}} x and \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{6 a}{b^{2}}$

Exemple 20. Since $\frac{d y}{d x} = 3 a \sqrt{b x} + \frac{3 b \sqrt[3]{a}}{x^{2}}$ . On peut le réécrire comme $\frac{d y}{d x} = 3 a \sqrt{b} x^{\frac{1}{2}} + 3 b \sqrt[3]{a} x^{- 2}$ Donc et

Exemple 21. Since $\frac{d z}{d θ} = - 1.2 θ^{- \frac{5}{3}} + 0.88 θ^{- \frac{6}{5}}$

Exemple 22. Since $\frac{d v}{d t} = 162 t^{5} - 162 t^{4} + 159.84 t^{3} - 69.984 t^{2} + 26.64 t$

Exemple 23. Since $\frac{d y}{d x} = 2 (x + 1) (3 x - 2)$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (3 x - 2) + 6 (x + 1) = 12 x + 2$

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 12$

Exemple 24. Since $\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} - 4.5 x^{2}$

Exemple 25. Since $\frac{d ω}{d θ} = \frac{3}{2} (\sqrt{θ} - \frac{1}{\sqrt{θ^{5}}}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{θ}} - \frac{1}{\sqrt{θ^{3}}})$ , on peut le réécrire comme

$\frac{d w}{d θ} = \frac{3}{2} (θ^{\frac{1}{2}} - θ^{- \frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (θ^{- \frac{1}{2}} - θ^{- \frac{3}{2}})$ Donc