مشتقات مراتب بالاتر

بیایید تأثیر تکرار چندین بارهٔ عمل مشتق‌گیری از یک تابع را امتحان کنیم (نگاه کنید به مفهوم تابع). با یک مورد مشخص شروع کنید.

فرض کنید $y = x^{5}$ .

یک نماد خاصی وجود دارد که ما قبلاً با آن آشنا هستیم و توسط برخی نویسندگان استفاده می‌شود و بسیار مناسب است. این یعنی استفاده از نماد عمومی $f (x)$ برای هر تابعی از $x$ . در اینجا نماد $f ()$ به‌صورت «تابعی از» خوانده می‌شود، بدون اینکه بگوید کدام تابع خاص مد نظر است. بنابراین عبارت $y = f (x)$ صرفاً به ما می‌گوید که $y$ تابعی از $x$ است، می‌تواند $x^{2}$ یا $a x^{n}$ ، یا $\cos x$ یا هر تابع پیچیدهٔ دیگری از $x$ باشد.

نماد متناظر برای مشتق است که نوشتن آن ساده‌تر از $\frac{d y}{d x}$ است. این مشتق $𝒚$ نسبت به $𝒙$ ، مشتق تابع $𝒇$ ، یا به‌سادگی تابع مشتق نامیده می‌شود. گاهی به‌جای $\frac{d y}{d x}$ یا ، به‌سادگی می‌نویسیم.

فرض کنید دوباره مشتق بگیریم، آنگاه مشتق دوم $𝒇$ یا مشتق دوم $𝒚$ نسبت به $𝒙$ را به‌دست می‌آوریم، که با یا نشان داده می‌شود؛ و به همین ترتیب.

اکنون بیایید تعمیم دهیم.

فرض کنید $y = f (x) = x^{n}$ .

به‌طور کلی، پس از مشتق‌گیری از تابع اصلی به تعداد $n$ بار، مشتق $n$ -اُم $f$ یا $y$ نسبت به $x$ را به‌دست می‌آوریم که به آن مشتق مرتبهٔ $n$ نیز گفته می‌شود. وقتی مرتبهٔ مشتق‌گیری به چهار یا بیشتر برسد، به‌جای استفادهٔ مکرر از پریم (که به آن اَکسان هم می‌گویند)، اغلب از روش ساده‌تری استفاده می‌شود. مرتبهٔ مشتق‌گیری با استفاده از پرانتز نشان داده می‌شود، به‌طوری که مرتبهٔ مشتق به‌صورت بالانویس برای $f$ یا $y$ نوشته می‌شود. این نماد نه‌تنها واضح‌تر است، بلکه کمک می‌کند تا خطر اشتباه در شمارش تعداد پریم‌ها کاهش یابد. برای نمونه، اغلب $y^{(4)}$ یا $f^{(4)} (x)$ را به‌جای و می‌نویسیم.

روش دیگری نیز برای نشان‌دادن مشتق‌گیری‌های متوالی وجود دارد. زیرا و این به‌طور راحت‌تری به‌صورت $\frac{d^{2} y}{(d x)^{2}}$ ، یا معمول‌تر $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ نوشته می‌شود. به‌طور مشابه، می‌توانیم نتیجهٔ سه بار مشتق‌گیری را به‌صورت بنویسیم.

نحوهٔ خواندن نمادهای مشتق

	اِف پرایم اِکس
	اِف دابل پرایم اِکس
	اِف تریپل پرایم اِکس
$f^{(n)} (x)$	اِف سوپر اِن اِکس (یا مشتق اِن‌اُم f نسبت به x)
	وای پرایم
	وای دابل پرایم
	وای تریپل پرایم
$y^{(n)}$	وای سوپر اِن (یا مشتق اِن‌اُم y)
$\frac{d y}{d x}$	دِی وای روی دِی اِکس
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$	دِی اسکوئرد وای روی دِی اِکس اسکوئرد

مثال‌ها

اکنون بیایید $y = f (x) = 7 x^{4} + 3.5 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x - 2$ را امتحان کنیم.

به روشی مشابه اگر $y = ϕ (x) = 3 x (x^{2} - 4)$ باشد،

تمرین‌ها

$\frac{d y}{d x}$ و $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ را برای عبارات زیر بیابید:

تمرین 7.1. $y = 17 x + 12 x^{2}$ .

پاسخ

$17 + 24 x$ ; $24$ .

راه‌حل

تمرین 7.2. $y = \frac{x^{2} + a}{x + a}$ .

پاسخ

$\frac{x^{2} + 2 a x - a}{(x + a)^{2}}$ ; $\frac{2 a (a + 1)}{(x + a)^{3}}$ .

راه‌حل

$y = \frac{x^{2} + a}{x + a}$ با استفاده از قاعدهٔ خارج‌قسمت

برای یافتن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ، دوباره از قاعدهٔ خارج‌قسمت استفاده می‌کنیم.

تمرین 7.3. $y = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \frac{x^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$ .

پاسخ

$1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}$ ; $1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2}$ .

راه‌حل

تمرین 7.4. مشتق‌های دوم و سوم را در تمرین‌های فصل ۶، شماره‌های ۱ تا ۷ بیابید:

عبارات:

اولین تمرین:
1. $u = 1 + x + \frac{x^{2}}{1 \times 2} + \frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \dots$ .
2. $y = a x^{2} + b x + c$ .
3. $y = (x + a)^{2}$ .
4. $y = (x + a)^{3}$ .
$w = a t - \frac{1}{2} b t^{2}$ .
$y = (x + \sqrt{- 1}) \times (x - \sqrt{- 1}) .$
$y = (197 x - 34 x^{2}) \times (7 + 22 x - 83 x^{3}) .$
$x = (y + 3) \times (y + 5)$ .
$y = 1.3709 x \times (112.6 + 45.202 x^{2})$ .
$y = \frac{2 x + 3}{3 x + 2}$ .

و در مثال 6.4 تا مثال 6.10:

مثال 6.4: $y = \frac{a}{b^{2}} x^{3} - \frac{a^{2}}{b} x + \frac{a^{2}}{b^{2}}$ .

مثال 6.5: $y = 2 a \sqrt{b x^{3}} - \frac{3 b \sqrt[3]{a}}{x} - 2 \sqrt{a b}$

مثال 6.6: $z = 1.8 \sqrt[3]{\frac{1}{θ^{2}}} - \frac{4.4}{\sqrt[5]{θ}} - 27$ .

مثال 6.7: $v = (3 t^{2} - 1.2 t + 1)^{3}$

مثال 6.8: $y = (2 x - 3) (x + 1)^{2}$ .

مثال 6.9: $y = 0.5 x^{3} (x - 3)$ .

مثال 6.10: $w = (θ + \frac{1}{θ}) (\sqrt{θ} + \frac{1}{\sqrt{θ}})$ .

پاسخ

(تمرین‌های فصل ۶):

(1) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \dots$ .
(2) $2 a$ ، $0$ .
(3) $2$ ، $0$ .
(4) $6 x + 6 a$ ، $6$ .

$- b$ ، $0$ .

$2$ ، $0$ .

$\begin{matrix} 56440 x^{3} - 196212 x^{2} - 4488 x + 8192. \\ 169320 x^{2} - 392424 x - 4488. \end{matrix}$

$2$ ، $0$ .

$371.80453 x$ ، $371.80453$ .

$\frac{30}{(3 x + 2)^{3}}$ ، $- \frac{270}{(3 x + 2)^{4}}$ .

مثال 6.4: $\frac{6 a}{b^{2}} x$ ، $\frac{6 a}{b^{2}}$ .

مثال 6.5: $\frac{3 a \sqrt{b}}{2 \sqrt{x}} - \frac{6 b \sqrt[3]{a}}{x^{3}}$ ، $\frac{18 b \sqrt[3]{a}}{x^{4}} - \frac{3 a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^{3}}}$ .

مثال 6.6: $\frac{2}{\sqrt[3]{θ^{8}}} - \frac{1.056}{\sqrt[5]{θ^{11}}}$ ، $\frac{2.3232}{\sqrt[5]{θ^{16}}} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{θ^{11}}}$ .

مثال 6.7: $810 t^{4} - 648 t^{3} + 479.52 t^{2} - 139.968 t + 26.64 .$ ، $3240 t^{3} - 1944 t^{2} + 959.04 t - 139.968 .$

مثال 6.8: $12 x + 2$ ، $12$ .

مثال 6.9: $6 x^{2} - 9 x$ ، $12 x - 9$ .

مثال 6.10:

راه‌حل

(1)

(a) آموختیم که

$\frac{d u}{d x} = u$

بنابراین،

$\frac{d^{2} u}{d x^{2}} = \frac{d (\frac{d u}{d x})}{d x} = \frac{d u}{d x} = u$

$\frac{d^{3} u}{d x^{3}} = \frac{d (\frac{d^{2} u}{d x^{2}})}{d x} = \frac{d u}{d x} = u .$

(b) از آنجا که $\frac{d y}{d x} = 2 a x + b$ آنگاه

(c) از آنجا که $\frac{d y}{d x} = 2 (x + a) = 2 x + 2 a$

(d) از آنجا که

(2) از آنجا که $\frac{d w}{d t} = a - b t$

(3) از آنجا که $\frac{d y}{d x} = 2 x,$

(4) از آنجا که $\frac{d y}{d x} = 14110 x^{4} - 65404 x^{3} - 22404 x^{2} + 8192 x + 1379$ ،

(5) از آنجا که $\frac{d x}{d y} = 2 y + 5$

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = 2 and \frac{d^{3} x}{d y^{3}} = 0$

(6) از آنجا که $\frac{d y}{d x} = 185.9022654 x^{2} + 154.36334$

(7) چون $\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{(3 x + 2)^{2}}$ ،

مثال 19. چون $\frac{d y}{d x} = \frac{3 a}{b^{2}} x^{2} - \frac{a^{2}}{b}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{6 a}{b^{2}} x و \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{6 a}{b^{2}}$

مثال 20. چون $\frac{d y}{d x} = 3 a \sqrt{b x} + \frac{3 b \sqrt[3]{a}}{x^{2}}$ . می‌توانیم آن را به‌صورت $\frac{d y}{d x} = 3 a \sqrt{b} x^{\frac{1}{2}} + 3 b \sqrt[3]{a} x^{- 2}$ بنابراین و

مثال 21. چون $\frac{d z}{d θ} = - 1.2 θ^{- \frac{5}{3}} + 0.88 θ^{- \frac{6}{5}}$

مثال 22. چون $\frac{d v}{d t} = 162 t^{5} - 162 t^{4} + 159.84 t^{3} - 69.984 t^{2} + 26.64 t$

مثال 23. چون $\frac{d y}{d x} = 2 (x + 1) (3 x - 2)$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (3 x - 2) + 6 (x + 1) = 12 x + 2$

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 12$

مثال 24. چون $\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} - 4.5 x^{2}$

مثال 25. چون $\frac{d ω}{d θ} = \frac{3}{2} (\sqrt{θ} - \frac{1}{\sqrt{θ^{5}}}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{θ}} - \frac{1}{\sqrt{θ^{3}}})$ ، می‌توانیم آن را به‌صورت

$\frac{d w}{d θ} = \frac{3}{2} (θ^{\frac{1}{2}} - θ^{- \frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (θ^{- \frac{1}{2}} - θ^{- \frac{3}{2}})$ بنابراین