Parametrização

Sumário

11.1 INTRODUÇÃO
- 11.1.1 Desvendando Formas: A Mágica da Parametrização
11.2 AULA
11.3 EXEMPLOS
- 11.3.1 Observação: Tensores Métricos e Geometria Riemanniana
- 11.3.2 Maneiras de Representar uma Variedade
11.4 ILUSTRAÇÃO
EXERCÍCIOS

11.1 INTRODUÇÃO

11.1.1 Desvendando Formas: A Mágica da Parametrização

Vimos que, ao parametrizar curvas $r (t)$ , temos muito mais controle do que ao olhar para curvas dadas por equações. Seria difícil descrever uma hélice $r (t) = [\cos (t), \sin (t), t]$ em termos de equações, por exemplo. Para superfícies também, é bom ter tantas coordenadas quanto a dimensão. Vivemos em uma esfera bidimensional $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , mas não usamos as coordenadas $x, y, z$ para descrever um ponto na superfície. Usamos duas coordenadas (longitude e latitude). Euler usou primeiro a parametrização $[x, y, z] = [\cos (t) \cos (s), \sin (t) \sin (s), \sin (s)]$ onde $t$ , $s$ são ângulos. Você pode verificar rapidamente que $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ soma $1$ , de modo que, quaisquer que sejam os ângulos $t$ , $s$ escolhidos, sempre estamos na esfera.

**Figura 1.** Esta superfície é um exemplo de uma superfície de Calabi-Yau. Ela é parametrizada $r (u, v)$ . Desenhamos algumas curvas de grade, onde $u$ é constante ou $v$ é constante.

11.2 AULA

11.2.1 Jacobianos e Área de Superfície

Um mapa $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ é chamado de parametrização. Vimos mapas $r$ de $ℝ$ para $ℝ^{n}$ , que eram curvas. Depois vimos mapas $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ que eram mudanças de coordenadas. Em cada caso definimos a matriz Jacobiana $d f (x)$ . No caso da curva $r : ℝ \to ℝ^{n}$ , era a velocidade d r(t)=r^{\prime}(t). No caso de mudanças de coordenadas, a matriz Jacobiana $d f (x)$ foi usada para obter o fator de distorção de volume $\det (d f (x)) = \sqrt{\det (d f^{T} d f)}$ . Hoje, olhamos para o caso $m < n$ . Em particular para $m = 2$ , $n = 3$ . Como no caso das curvas, usamos a letra $r$ para descrever o mapa. A imagem de um mapa $r : R \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ é então uma superfície $𝒎$ -dimensional em $ℝ^{n}$ . O fator de distorção $‖ d r ‖$ definido como $‖ d r ‖^{2} = \det (d r^{T} d r)$ será usado mais tarde para calcular a área da superfície.¹

**Figura 2.** Um elipsoide, meio elipsoide, um bulbo, um coração e um gato.

11.2.2 Superfícies e Mapas

Discutimos aqui principalmente o caso $m = 2$ e $n = 3$ , já que nós mesmos somos feitos de superfícies bidimensionais, como células, membranas, pele ou tecido. Um mapa $r : R \subset ℝ^{2} \to$ $ℝ^{3}$ , escrito como $r ([\begin{array}{l} u \\ v \end{array}]) = [\begin{array}{l} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{array}]$ define uma superfície bidimensional. Para economizar espaço, também escrevemos simplesmente $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]$ . Em computação gráfica, o $r$ é chamado de mapa $𝒖 𝒗$ . O plano $u v$ é onde você desenha uma textura. O mapa $r$ a coloca sobre a superfície. Em geografia, o mapa $r$ é chamado (surpresa!) de mapa. Vários mapas definem um atlas. As curvas $u \to r (u, v)$ e $v \to r (u, v)$ são chamadas de curvas de grade.

11.2.3 Uma Olhada na Parametrização de Esferas e Elipsoides

A parametrização $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ produz a esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . A esfera completa tem $0 \leq ϕ \leq π$ , $0 \leq θ < 2 π$ . Modificando as coordenadas, obtemos um elipsoide $r (ϕ, θ) = [a \sin (ϕ) \cos (θ), b \sin (ϕ) \sin (θ), c \cos (ϕ)]$ satisfazendo $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ . Permitindo que $a, b, c$ sejam funções de $ϕ, θ$ , obtemos "esferas irregulares" como $r (ϕ, θ) = (3 + \cos (3 ϕ) \sin (4 θ)) [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)] .$

11.2.4 Planos e Curvas de Grade

Planos são descritos por mapas lineares $r (x) = A x + b$ com $A \in M (3, 2)$ e $b \in M (3, 1)$ . O mapa Jacobiano é $d r = A$ . Sejam $r_{u}, r_{v}$ os dois vetores coluna de $A$ . Na verdade, $r_{u}$ é uma abreviação para $\partial_{u} r (u, v)$ , que é o vetor velocidade da curva de grade $u \to r (u, v)$ .

11.2.5 Exemplo de Parametrização de Plano

Um exemplo é a parametrização $r (u, v) = [u + v - 1, u - v + 3, 3 u - 5 v + 7]$ . Neste caso $b = [\begin{array}{r} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}], r_{u} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}], r_{v} = [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}]$ e $A = d r = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 3 & - 5 \end{array}] .$ Vemos $A^{T} A = [\begin{array}{lr} 11 & - 15 \\ - 15 & 27 \end{array}]$ que tem determinante $72$ . Também temos ${| r_{u} \times r_{v} |}^{2} = {| [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}] \times [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}] |}^{2} = {| [\begin{array}{r} - 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}] |}^{2} = 72.$

11.2.6 Revelando o Fator de Distorção: Uma Conexão com o Produto Vetorial

O cálculo anterior sugere uma relação entre o vetor normal e a forma fundamental $g = d r^{T} d r$ . Em três dimensões, o fator de distorção de uma parametrização $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ pode de fato sempre ser reescrito usando o produto vetorial:

Teorema 1. $\det (d r^{T} d r) = | r_{u} \times r_{v} |^{2}$ .

Prova. Como $d r^{T} d r = [\begin{array}{ll} r_{u} \cdot r_{u} & r_{u} \cdot r_{v} \\ r_{v} \cdot r_{u} & r_{v} \cdot r_{v} \end{array}],$ a identidade é a identidade de Cauchy-Binet $| r_{u} \times r_{v} |^{2} = | r_{u} |^{2} | r_{v} |^{2} - | r_{u} \cdot r_{v} |^{2}$ que se reduz a $\sin^{2} (θ) = 1 - \cos^{2} (θ)$ , onde $θ$ é o ângulo entre $r_{u}$ e $r_{v}$ . Este é o ângulo entre as curvas de grade que você vê nas figuras. ◻

**Figura 3.** Um plano, gráfico, superfície de revolução e helicoide.

11.3 EXEMPLOS

Exemplo 1. Para a esfera unitária $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ e $A = d r$ : \begin{aligned} g&=A^{T}A\\ &=\begin{bmatrix} \cos (\phi) \cos (\theta) & \cos (\phi) \sin (\theta) & -\sin (\phi) \\ -\sin (\phi) \sin (\theta) & \sin (\phi) \cos (\theta) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos (\phi) \cos (\theta) & -\sin (\phi) \sin (\theta) \\ \cos (\phi) \sin (\theta) & \sin (\phi) \cos (\theta) \\ -\sin (\phi) & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} Isso é $g = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} (ϕ) \end{matrix}]$ e $\sqrt{\det (g)} = \sin (ϕ)$ é o fator de distorção.

Exemplo 2. Uma classe importante de superfícies são os gráficos $z = f (x, y)$ . Sua parametrização mais natural é $r (x, y) = [x, y, f (x, y)]$ , onde o mapa $r$ simplesmente eleva a parte inferior para a versão elevada. Um exemplo é o paraboloide elíptico $r (x, y) = [x, y, x^{2} + y^{2}]$ e o paraboloide hiperbólico $r (x, y) = [x, y, x^{2} - y^{2}]$ . Poderíamos, é claro, também ter escrito $r (u, v) = [u, v, u^{2} - v^{2}]$ .

Exemplo 3. Uma superfície de revolução é parametrizada como $r (θ, z) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z] .$ Note que podemos usar quaisquer variáveis. Neste caso, $u = θ$ , $v = z$ são usadas. Um exemplo é o cone $r (θ, z) = [z \cos (θ), z \sin (θ), z]$ ou o hiperboloide de uma folha $r (θ, z) = [\sqrt{z^{2} + 1} \cos (θ), \sqrt{z^{2} + 1} \sin (θ), z] .$

Exemplo 4. O toro é dado em coordenadas cilíndricas como $(r - 3)^{2} + z^{2} = 1$ . Podemos parametrizá-lo usando o ângulo polar $θ$ e o ângulo polar centrado no centro do círculo como $r (θ, ϕ) = [(3 + \cos (ϕ)) \cos (θ), (3 + \cos (ϕ)) \sin (θ), \sin (ϕ)] .$ Ambos os ângulos $θ$ e $ϕ$ variam de $0$ a $2 π$ . Vemos agora também a relação com as coordenadas torais.

Exemplo 5. O helicoide é a superfície que você vê como uma escada ou parafuso. A parametrização é $r (θ, p) = [p \cos (θ), p \sin (θ), θ]$ . Como podemos entender isso? A chave é olhar para as curvas de grade. Se $p = 1$ , obtemos uma curva $r (θ) = [\cos (θ), \sin (θ), θ]$ que identificamos como uma hélice. Por outro lado, se você fixar $θ$ , então você obtém linhas.

11.3.1 Observação: Tensores Métricos e Geometria Riemanniana

A primeira forma fundamental $g = d r^{T} d r$ também é chamada de tensor métrico. Na geometria Riemanniana, considera-se uma variedade $M$ equipada com uma métrica $g$ . O caso mais simples é quando $g$ vem de uma parametrização, como fizemos aqui. Na física, sabemos que é a massa que deforma o espaço-tempo. A quantidade $‖ g ‖^{2} = \det (g)$ é um análogo multiplicativo de $| g |^{2} = tr (g)$ . Para uma matriz quadrada definida positiva invertível $A$ , veremos mais tarde a identidade $\log \det (A) = tr \log (A)$ que ilustra como tanto o determinante quanto o traço são quantidades numéricas fundamentais derivadas de uma matriz. O traço é aditivo por causa de $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ e o determinante é multiplicativo $\det (A B) = \det (A) \det (B)$ como veremos mais tarde.

11.3.2 Maneiras de Representar uma Variedade

Para resumir, vimos até agora que existem duas maneiras fundamentalmente diferentes de descrever uma variedade. A primeira é escrevê-la como uma superfície de nível $f = c$ que é um núcleo de um mapa $g (x) = f - c$ . A segunda é escrevê-la como a imagem de algum mapa $r$ .

11.4 ILUSTRAÇÃO

**Figura 4.** Tema "Veritas na Terra e na Lua" (renderizado no Povray).

**Figura 5.** Uma fruta e math-candy $^{\copyright}$ math-candy.com (renderizado no Mathematica)

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Parametrize a parte superior do hiperboloide de duas folhas $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ , $z > 0$ como uma superfície de revolução.

Exercício 2.

Parametrize o plano $x + 2 y + 3 z - 6 = 0$ usando um mapa $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ .
Agora encontre a matriz $A = d r$ e compute $g = A^{T} A$ assim como o fator de distorção $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ .
Também compute $r_{u}$ , $r_{v}$ e $r_{u} \times r_{v}$ e então compute $| r_{u} \times r_{v} |$ . Você deve obter o mesmo número.

Exercício 3. Dada uma parametrização $r (θ, ϕ) = [(7 + 2 \cos (ϕ)) \cos (θ), (7 + 2 \cos (ϕ)) \sin (θ), 2 \sin (ϕ)]$ do $2$ -toro, encontre a equação implícita $g (x, y, z) = 0$ que descreve este toro.

Exercício 4. Parametrize o paraboloide hiperbólico $z = x^{2} - y^{2}$ . Qual é a primeira forma fundamental $g = d r^{T} d r$ que é \begin{aligned} g = \begin{bmatrix} r_{x} \cdot r_{x} & r_{x} \cdot r_{y} \\ r_{y} \cdot r_{x} & r_{y} \cdot r_{y} \end{bmatrix}? \end{aligned} Qual é o fator de distorção $\sqrt{\det (g)}$ ?

Exercício 5. A matriz $g = d r^{T} d r$ também é chamada de primeira forma fundamental. Se $r : ℝ^{4} \to ℝ^{4}$ é uma parametrização do espaço-tempo então $g$ é o tensor métrico do espaço-tempo. As entradas da matriz $g$ aparecem na relatividade geral. Por algumas razões, os físicos usam símbolos gregos para acessar as entradas da matriz. Eles escrevem $g_{μ ν}$ para a entrada na linha $μ$ e coluna $ν$ . Isso aparece, por exemplo, nas equações de campo de Einstein $R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν} .$ Nós apenas queremos que você pesquise a equação e diga, para cada uma das variáveis, como é chamada e se é uma matriz, uma função escalar ou uma constante.

Distinga $‖ A ‖^{2} = \det (A^{T} A)$ e $| A |^{2} = tr (A^{T} A)$ em $M (n, m)$ . Elas só coincidem para $m = 1$ .↩︎