Paramétrisation

Table des matières

11.1 INTRODUCTION
- 11.1.1 Dérouler des formes : La magie de la paramétrisation
11.2 COURS
11.3 EXEMPLES
- 11.3.1 Remarque : Tenseurs métriques et géométrie riemannienne
- 11.3.2 Manières de représenter une variété
11.4 ILLUSTRATION
EXERCICES

11.1 INTRODUCTION

11.1.1 Dérouler des formes : La magie de la paramétrisation

Nous avons vu que lorsque nous paramétrons des courbes $r (t)$ , nous avons beaucoup plus de contrôle que lorsque nous regardons des courbes données par des équations. Il serait difficile de décrire une hélice $r (t) = [\cos (t), \sin (t), t]$ en termes d'équations par exemple. Pour les surfaces également, il est bon d'avoir autant de coordonnées que la dimension. Nous vivons sur une sphère bidimensionnelle $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ mais nous n'utilisons pas les coordonnées $x, y, z$ pour décrire un point sur la surface. Nous utilisons deux coordonnées, longitude et latitude. Euler a d'abord utilisé la paramétrisation $[x, y, z] = [\cos (t) \cos (s), \sin (t) \sin (s), \sin (s)]$ où $t$ , $s$ sont des angles. Vous pouvez vérifier rapidement que $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ donne $1$ , de sorte que quels que soient les angles $t$ , $s$ choisis, nous sommes toujours sur la sphère.

**Figure 1.** Cette surface est un exemple de surface de Calabi-Yau. Elle est paramétrée $r (u, v)$ . Nous avons tracé quelques courbes de quadrillage, où $u$ est constant ou $v$ est constant.

11.2 COURS

11.2.1 Jacobiennes et aire de surface

Une application $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ est appelée une paramétrisation. Nous avons vu des applications $r$ de $ℝ$ dans $ℝ^{n}$ , qui étaient des courbes. Ensuite, nous avons vu des applications $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ qui étaient des changements de coordonnées. Dans chaque cas, nous avons défini la matrice jacobienne $d f (x)$ . Dans le cas de la courbe $r : ℝ \to ℝ^{n}$ , c'était la vitesse d r(t)=r^{\prime}(t). Dans le cas des changements de coordonnées, la matrice jacobienne $d f (x)$ a été utilisée pour obtenir le facteur de distorsion volumique $\det (d f (x)) = \sqrt{\det (d f^{T} d f)}$ . Aujourd'hui, nous examinons le cas $m < n$ . En particulier $m = 2$ , $n = 3$ . Comme dans le cas des courbes, nous utilisons la lettre $r$ pour décrire l'application. L'image d'une application $r : R \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ est alors une surface de dimension $𝒎$ dans $ℝ^{n}$ . Le facteur de distorsion $‖ d r ‖$ défini par $‖ d r ‖^{2} = \det (d r^{T} d r)$ sera utilisé plus tard pour calculer l'aire de la surface.¹

**Figure 2.** Un ellipsoïde, un demi-ellipsoïde, une ampoule, un cœur et un chat.

11.2.2 Surfaces et applications

Nous discutons surtout ici du cas $m = 2$ et $n = 3$ , car nous-mêmes sommes constitués de surfaces bidimensionnelles, comme les cellules, les membranes, la peau ou les tissus. Une application $r : R \subset ℝ^{2} \to$ $ℝ^{3}$ , écrite comme $r ([\begin{array}{l} u \\ v \end{array}]) = [\begin{array}{l} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{array}]$ définit une surface bidimensionnelle. Afin de gagner de la place, nous écrivons aussi simplement $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]$ . En infographie, $r$ est appelée $𝒖 𝒗$ -application. Le plan $u v$ est l'endroit où l'on dessine une texture. L'application $r$ la place sur la surface. En géographie, l'application $r$ est appelée (surprise !) une carte. Plusieurs cartes définissent un atlas. Les courbes $u \to r (u, v)$ et $v \to r (u, v)$ sont appelées courbes de quadrillage.

11.2.3 Un aperçu de la paramétrisation des sphères et des ellipsoïdes

La paramétrisation $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ produit la sphère $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . La sphère complète a $0 \leq ϕ \leq π$ , $0 \leq θ < 2 π$ . En modifiant les coordonnées, on obtient un ellipsoïde $r (ϕ, θ) = [a \sin (ϕ) \cos (θ), b \sin (ϕ) \sin (θ), c \cos (ϕ)]$ satisfaisant $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ . En permettant à $a, b, c$ d'être des fonctions de $ϕ, θ$ , on obtient des « sphères bosselées » comme $r (ϕ, θ) = (3 + \cos (3 ϕ) \sin (4 θ)) [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)] .$

11.2.4 Plans et courbes de quadrillage

Les plans sont décrits par des applications linéaires $r (x) = A x + b$ avec $A \in M (3, 2)$ et $b \in M (3, 1)$ . L'application jacobienne est $d r = A$ . Soient $r_{u}, r_{v}$ les deux vecteurs colonnes de $A$ . En fait, $r_{u}$ est un raccourci pour $\partial_{u} r (u, v)$ , qui est le vecteur vitesse de la courbe de quadrillage $u \to r (u, v)$ .

11.2.5 Exemple de paramétrisation plane

Un exemple est la paramétrisation $r (u, v) = [u + v - 1, u - v + 3, 3 u - 5 v + 7]$ . Dans ce cas $b = [\begin{array}{r} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}], r_{u} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}], r_{v} = [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}]$ et $A = d r = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 3 & - 5 \end{array}] .$ On voit $A^{T} A = [\begin{array}{lr} 11 & - 15 \\ - 15 & 27 \end{array}]$ qui a pour déterminant $72$ . On a aussi ${| r_{u} \times r_{v} |}^{2} = {| [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}] \times [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}] |}^{2} = {| [\begin{array}{r} - 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}] |}^{2} = 72.$

11.2.6 Dévoiler le facteur de distorsion : Un lien avec le produit vectoriel

Le calcul précédent suggère une relation entre le vecteur normal et la forme fondamentale $g = d r^{T} d r$ . En trois dimensions, le facteur de distorsion d'une paramétrisation $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ peut en effet toujours être réécrit en utilisant le produit vectoriel :

Théorème 1. $\det (d r^{T} d r) = | r_{u} \times r_{v} |^{2}$ .

Preuve. Comme $d r^{T} d r = [\begin{array}{ll} r_{u} \cdot r_{u} & r_{u} \cdot r_{v} \\ r_{v} \cdot r_{u} & r_{v} \cdot r_{v} \end{array}],$ l'identité est l'identité de Cauchy-Binet $| r_{u} \times r_{v} |^{2} = | r_{u} |^{2} | r_{v} |^{2} - | r_{u} \cdot r_{v} |^{2}$ qui se ramène à $\sin^{2} (θ) = 1 - \cos^{2} (θ)$ , où $θ$ est l'angle entre $r_{u}$ et $r_{v}$ . C'est l'angle entre les courbes de quadrillage que vous voyez sur les images. ◻

**Figure 3.** Un plan, un graphe, une surface de révolution et un hélicoïde.

11.3 EXEMPLES

Exemple 1. Pour la sphère unité $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ et $A = d r$ : \begin{aligned} g&=A^{T}A\\ &=\begin{bmatrix} \cos (\phi) \cos (\theta) & \cos (\phi) \sin (\theta) & -\sin (\phi) \\ -\sin (\phi) \sin (\theta) & \sin (\phi) \cos (\theta) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos (\phi) \cos (\theta) & -\sin (\phi) \sin (\theta) \\ \cos (\phi) \sin (\theta) & \sin (\phi) \cos (\theta) \\ -\sin (\phi) & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} Ce qui donne $g = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} (ϕ) \end{matrix}]$ et $\sqrt{\det (g)} = \sin (ϕ)$ est le facteur de distorsion.

Exemple 2. Une classe importante de surfaces sont les graphes $z = f (x, y)$ . Sa paramétrisation la plus naturelle est $r (x, y) = [x, y, f (x, y)]$ , où l'application $r$ soulève simplement la partie inférieure vers la version surélevée. Un exemple est le paraboloïde elliptique $r (x, y) = [x, y, x^{2} + y^{2}]$ et le paraboloïde hyperbolique $r (x, y) = [x, y, x^{2} - y^{2}]$ . On aurait pu bien sûr aussi écrire $r (u, v) = [u, v, u^{2} - v^{2}]$ .

Exemple 3. Une surface de révolution est paramétrée comme $r (θ, z) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z] .$ Notez que l'on peut utiliser n'importe quelles variables. Dans ce cas, $u = θ$ , $v = z$ sont utilisées. Un exemple est le cône $r (θ, z) = [z \cos (θ), z \sin (θ), z]$ ou l'hyperboloïde à une nappe $r (θ, z) = [\sqrt{z^{2} + 1} \cos (θ), \sqrt{z^{2} + 1} \sin (θ), z] .$

Exemple 4. Le tore est donné en coordonnées cylindriques par $(r - 3)^{2} + z^{2} = 1$ . On peut le paramétrer en utilisant l'angle polaire $θ$ et l'angle polaire centré au centre du cercle comme $r (θ, ϕ) = [(3 + \cos (ϕ)) \cos (θ), (3 + \cos (ϕ)) \sin (θ), \sin (ϕ)] .$ Les deux angles $θ$ et $ϕ$ vont de $0$ à $2 π$ . On voit maintenant aussi la relation avec les coordonnées toroïdales.

Exemple 5. L'hélicoïde est la surface que vous voyez comme un escalier ou une vis. La paramétrisation est $r (θ, p) = [p \cos (θ), p \sin (θ), θ]$ . Comment pouvons-nous comprendre cela ? La clé est de regarder les courbes de quadrillage. Si $p = 1$ , on obtient une courbe $r (θ) = [\cos (θ), \sin (θ), θ]$ que nous avions identifiée comme une hélice. D'un autre côté, si vous fixez $θ$ , alors vous obtenez des droites.

11.3.1 Remarque : Tenseurs métriques et géométrie riemannienne

La première forme fondamentale $g = d r^{T} d r$ est aussi appelée un tenseur métrique. En géométrie riemannienne, on considère une variété $M$ munie d'une métrique $g$ . Le cas le plus simple est lorsque $g$ provient d'une paramétrisation, comme nous l'avons fait ici. En physique, on sait que c'est la masse qui déforme l'espace-temps. La quantité $‖ g ‖^{2} = \det (g)$ est un analogue multiplicatif de $| g |^{2} = tr (g)$ . Pour une matrice carrée définie positive inversible $A$ , nous verrons plus tard l'identité $\log \det (A) = tr \log (A)$ qui illustre comment le déterminant et la trace sont tous deux des quantités numériques essentielles dérivées d'une matrice. La trace est additive à cause de $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ et le déterminant est multiplicatif $\det (A B) = \det (A) \det (B)$ comme nous le verrons plus tard.

11.3.2 Manières de représenter une variété

Pour résumer, nous avons vu jusqu'à présent qu'il existe deux manières fondamentalement différentes de décrire une variété. La première consiste à l'écrire comme une surface de niveau $f = c$ , qui est un noyau d'une application $g (x) = f - c$ . La seconde consiste à l'écrire comme l'image d'une application $r$ .

11.4 ILLUSTRATION

**Figure 4.** Thème « Veritas sur la Terre et la Lune » (rendu avec Povray).

**Figure 5.** Un fruit et des bonbons mathématiques $^{\copyright}$ math-candy.com (rendu dans Mathematica)

EXERCICES

Exercice 1. Paramétrez la partie supérieure de l'hyperboloïde à deux nappes $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ , $z > 0$ comme une surface de révolution.

Exercice 2.

Paramétrez le plan $x + 2 y + 3 z - 6 = 0$ en utilisant une application $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ .
Trouvez maintenant la matrice $A = d r$ et calculez $g = A^{T} A$ ainsi que le facteur de distorsion $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ .
Calculez aussi $r_{u}$ , $r_{v}$ et $r_{u} \times r_{v}$ puis calculez $| r_{u} \times r_{v} |$ . Vous devriez obtenir le même nombre.

Exercice 3. Étant donnée une paramétrisation $r (θ, ϕ) = [(7 + 2 \cos (ϕ)) \cos (θ), (7 + 2 \cos (ϕ)) \sin (θ), 2 \sin (ϕ)]$ du $2$ -tore, trouvez l'équation implicite $g (x, y, z) = 0$ qui décrit ce tore.

Exercice 4. Paramétrez le paraboloïde hyperbolique $z = x^{2} - y^{2}$ . Quelle est la première forme fondamentale $g = d r^{T} d r$ qui est \begin{aligned} g = \begin{bmatrix} r_{x} \cdot r_{x} & r_{x} \cdot r_{y} \\ r_{y} \cdot r_{x} & r_{y} \cdot r_{y} \end{bmatrix}? \end{aligned} Quel est le facteur de distorsion $\sqrt{\det (g)}$ ?

Exercice 5. La matrice $g = d r^{T} d r$ est aussi appelée la première forme fondamentale. Si $r : ℝ^{4} \to ℝ^{4}$ est une paramétrisation de l'espace-temps alors $g$ est le tenseur métrique de l'espace-temps. Les entrées de la matrice $g$ apparaissent en relativité générale. Pour certaines raisons, les physiciens utilisent des symboles grecs pour accéder aux entrées de la matrice. Ils écrivent $g_{μ ν}$ pour l'entrée à la ligne $μ$ et à la colonne $ν$ . Cela apparaît par exemple dans les équations de champ d'Einstein $R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν} .$ Nous voulons simplement que vous cherchiez l'équation et que vous disiez pour chacune des variables, comment elle s'appelle et si c'est une matrice, une fonction scalaire ou une constante.

Distinguer $‖ A ‖^{2} = \det (A^{T} A)$ et $| A |^{2} = tr (A^{T} A)$ dans $M (n, m)$ . Ils ne coïncident que pour $m = 1$ .↩︎