Parametrización

Tabla de Contenidos

11.1 INTRODUCCIÓN
- 11.1.1 Desenvolviendo Formas: La Magia de la Parametrización
11.2 LECCIÓN
11.3 EJEMPLOS
- 11.3.1 Comentario Adicional: Tensores Métricos y Geometría Riemanniana
- 11.3.2 Formas de Representar una Variedad
11.4 ILUSTRACIÓN
EJERCICIOS

11.1 INTRODUCCIÓN

11.1.1 Desenvolviendo Formas: La Magia de la Parametrización

Hemos visto que al parametrizar curvas $r (t)$ , tenemos mucho más control que al observar curvas dadas por ecuaciones. Sería difícil describir una hélice $r (t) = [\cos (t), \sin (t), t]$ en términos de ecuaciones, por ejemplo. Para las superficies también, es bueno tener tantas coordenadas como la dimensión. Vivimos en una esfera bidimensional $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ pero no usamos las coordenadas $x, y, z$ para describir un punto en la superficie. Usamos dos coordenadas (longitud y latitud). Euler usó primero la parametrización $[x, y, z] = [\cos (t) \cos (s), \sin (t) \sin (s), \sin (s)]$ donde $t$ , $s$ son ángulos. Puedes verificar rápidamente que $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ suma $1$ , de modo que cualesquiera que sean los ángulos $t$ , $s$ que elijamos, siempre estamos en la esfera.

**Figura 1.** Esta superficie es un ejemplo de una superficie de Calabi-Yau. Está parametrizada $r (u, v)$ . Dibujamos algunas curvas de cuadrícula, donde $u$ es constante o $v$ es constante.

11.2 LECCIÓN

11.2.1 Jacobianos y Área de Superficie

Un mapa $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ se llama una parametrización. Hemos visto mapas $r$ de $ℝ$ a $ℝ^{n}$ , que eran curvas. Luego hemos visto mapas $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ que eran cambios de coordenadas. En cada caso definimos la matriz jacobiana $d f (x)$ . En el caso de la curva $r : ℝ \to ℝ^{n}$ , era la velocidad d r(t)=r^{\prime}(t). En el caso de cambios de coordenadas, la matriz jacobiana $d f (x)$ se usó para obtener el factor de distorsión de volumen $\det (d f (x)) = \sqrt{\det (d f^{T} d f)}$ . Hoy, examinamos el caso $m < n$ . En particular en $m = 2$ , $n = 3$ . Como en el caso de las curvas, usamos la letra $r$ para describir el mapa. La imagen de un mapa $r : R \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ es entonces una superficie $𝒎$ -dimensional en $ℝ^{n}$ . El factor de distorsión $‖ d r ‖$ definido como $‖ d r ‖^{2} = \det (d r^{T} d r)$ se usará más adelante para calcular el área de superficie.¹

**Figura 2.** Un elipsoide, medio elipsoide, un bulbo, un corazón y un gato.

11.2.2 Superficies y Mapas

Aquí discutimos principalmente el caso $m = 2$ y $n = 3$ , ya que nosotros mismos estamos hechos de superficies bidimensionales, como células, membranas, piel o tejido. Un mapa $r : R \subset ℝ^{2} \to$ $ℝ^{3}$ , escrito como $r ([\begin{array}{l} u \\ v \end{array}]) = [\begin{array}{l} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{array}]$ define una superficie bidimensional. Para ahorrar espacio, también escribimos simplemente $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]$ . En gráficos por computadora, la $r$ se llama mapa $𝒖 𝒗$ . El plano $u v$ es donde se dibuja una textura. El mapa $r$ la coloca sobre la superficie. En geografía, el mapa $r$ se llama (¡sorpresa!) un mapa. Varios mapas definen un atlas. Las curvas $u \to r (u, v)$ y $v \to r (u, v)$ se llaman curvas de cuadrícula.

11.2.3 Una Mirada a la Parametrización de Esferas y Elipsoides

La parametrización $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ produce la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . La esfera completa tiene $0 \leq ϕ \leq π$ , $0 \leq θ < 2 π$ . Modificando las coordenadas, obtenemos un elipsoide $r (ϕ, θ) = [a \sin (ϕ) \cos (θ), b \sin (ϕ) \sin (θ), c \cos (ϕ)]$ que satisface $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ . Permitiendo que $a, b, c$ sean funciones de $ϕ, θ$ obtenemos "esferas con protuberancias" como $r (ϕ, θ) = (3 + \cos (3 ϕ) \sin (4 θ)) [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)] .$

11.2.4 Planos y Curvas de Cuadrícula

Los planos se describen mediante mapas lineales $r (x) = A x + b$ con $A \in M (3, 2)$ y $b \in M (3, 1)$ . El mapa jacobiano es $d r = A$ . Sean $r_{u}, r_{v}$ los dos vectores columna de $A$ . En realidad, $r_{u}$ es una abreviatura de $\partial_{u} r (u, v)$ , que es el vector velocidad de la curva de cuadrícula $u \to r (u, v)$ .

11.2.5 Ejemplo de Parametrización de un Plano

Un ejemplo es la parametrización $r (u, v) = [u + v - 1, u - v + 3, 3 u - 5 v + 7]$ . En este caso $b = [\begin{array}{r} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}], r_{u} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}], r_{v} = [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}]$ y $A = d r = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 3 & - 5 \end{array}] .$ Vemos $A^{T} A = [\begin{array}{lr} 11 & - 15 \\ - 15 & 27 \end{array}]$ que tiene determinante $72$ . También tenemos ${| r_{u} \times r_{v} |}^{2} = {| [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}] \times [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}] |}^{2} = {| [\begin{array}{r} - 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}] |}^{2} = 72.$

11.2.6 Revelando el Factor de Distorsión: Una Conexión con el Producto Cruz

El cálculo anterior sugiere una relación entre el vector normal y la forma fundamental $g = d r^{T} d r$ . En tres dimensiones, el factor de distorsión de una parametrización $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ siempre puede reescribirse usando el producto cruz:

Teorema 1. $\det (d r^{T} d r) = | r_{u} \times r_{v} |^{2}$ .

Demostración. Como $d r^{T} d r = [\begin{array}{ll} r_{u} \cdot r_{u} & r_{u} \cdot r_{v} \\ r_{v} \cdot r_{u} & r_{v} \cdot r_{v} \end{array}],$ la identidad es la identidad de Cauchy-Binet $| r_{u} \times r_{v} |^{2} = | r_{u} |^{2} | r_{v} |^{2} - | r_{u} \cdot r_{v} |^{2}$ que se reduce a $\sin^{2} (θ) = 1 - \cos^{2} (θ)$ , donde $θ$ es el ángulo entre $r_{u}$ y $r_{v}$ . Este es el ángulo entre las curvas de cuadrícula que ves en las imágenes. ◻

**Figura 3.** Un plano, gráfica, superficie de revolución y helicoide.

11.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. Para la esfera unitaria $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ y $A = d r$ : \begin{aligned} g&=A^{T}A\\ &=\begin{bmatrix} \cos (\phi) \cos (\theta) & \cos (\phi) \sin (\theta) & -\sin (\phi) \\ -\sin (\phi) \sin (\theta) & \sin (\phi) \cos (\theta) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos (\phi) \cos (\theta) & -\sin (\phi) \sin (\theta) \\ \cos (\phi) \sin (\theta) & \sin (\phi) \cos (\theta) \\ -\sin (\phi) & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} Esto es $g = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} (ϕ) \end{matrix}]$ y $\sqrt{\det (g)} = \sin (ϕ)$ es el factor de distorsión.

Ejemplo 2. Una clase importante de superficies son las gráficas $z = f (x, y)$ . Su parametrización más natural es $r (x, y) = [x, y, f (x, y)]$ , donde el mapa $r$ simplemente eleva la parte inferior a la versión elevada. Un ejemplo es el paraboloide elíptico $r (x, y) = [x, y, x^{2} + y^{2}]$ y el paraboloide hiperbólico $r (x, y) = [x, y, x^{2} - y^{2}]$ . Por supuesto, también podríamos haber escrito $r (u, v) = [u, v, u^{2} - v^{2}]$ .

Ejemplo 3. Una superficie de revolución se parametriza como $r (θ, z) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z] .$ Nota que podemos usar cualquier variable. En este caso, se usan $u = θ$ , $v = z$ . Un ejemplo es el cono $r (θ, z) = [z \cos (θ), z \sin (θ), z]$ o el hiperboloide de una hoja $r (θ, z) = [\sqrt{z^{2} + 1} \cos (θ), \sqrt{z^{2} + 1} \sin (θ), z] .$

Ejemplo 4. El toro está dado en coordenadas cilíndricas como $(r - 3)^{2} + z^{2} = 1$ . Podemos parametrizar esto usando el ángulo polar $θ$ y el ángulo polar centrado en el centro del círculo como $r (θ, ϕ) = [(3 + \cos (ϕ)) \cos (θ), (3 + \cos (ϕ)) \sin (θ), \sin (ϕ)] .$ Ambos ángulos $θ$ y $ϕ$ van de $0$ a $2 π$ . Ahora también vemos la relación con las coordenadas toroidales.

Ejemplo 5. El helicoide es la superficie que ves como una escalera o un tornillo. La parametrización es $r (θ, p) = [p \cos (θ), p \sin (θ), θ]$ . ¿Cómo podemos entender esto? La clave es mirar las curvas de cuadrícula. Si $p = 1$ , obtenemos una curva $r (θ) = [\cos (θ), \sin (θ), θ]$ que habíamos identificado como una hélice. Por otro lado, si fijas $θ$ , entonces obtienes líneas.

11.3.1 Comentario Adicional: Tensores Métricos y Geometría Riemanniana

La primera forma fundamental $g = d r^{T} d r$ también se llama un tensor métrico. En geometría riemanniana se estudia una variedad $M$ equipada con una métrica $g$ . El caso más simple es cuando $g$ proviene de una parametrización, como hicimos aquí. En física, sabemos que es la masa la que deforma el espacio-tiempo. La cantidad $‖ g ‖^{2} = \det (g)$ es un análogo multiplicativo de $| g |^{2} = tr (g)$ . Para una matriz cuadrada definida positiva invertible $A$ , veremos más adelante la identidad $\log \det (A) = tr \log (A)$ que ilustra cómo tanto el determinante como la traza son cantidades numéricas fundamentales derivadas de una matriz. La traza es aditiva debido a $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ y el determinante es multiplicativo $\det (A B) = \det (A) \det (B)$ como veremos más adelante.

11.3.2 Formas de Representar una Variedad

Para resumir, hemos visto hasta ahora que hay dos formas fundamentalmente diferentes de describir una variedad. La primera es escribirla como una superficie de nivel $f = c$ que es un núcleo de un mapa $g (x) = f - c$ . La segunda es escribirla como la imagen de algún mapa $r$ .

11.4 ILUSTRACIÓN

**Figura 4.** Tema "Veritas en la Tierra y la Luna" (renderizado en Povray).

**Figura 5.** Una fruta y math-candy $^{\copyright}$ math-candy.com (renderizado en Mathematica)

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Parametrice la parte superior del hiperboloide de dos hojas $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ , $z > 0$ como superficie de revolución.

Ejercicio 2.

Parametrice el plano $x + 2 y + 3 z - 6 = 0$ usando una aplicación $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ .
Ahora encuentre la matriz $A = d r$ y calcule $g = A^{T} A$ así como el factor de distorsión $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ .
También calcule $r_{u}$ , $r_{v}$ y $r_{u} \times r_{v}$ y luego calcule $| r_{u} \times r_{v} |$ . Debería obtener el mismo número.

Ejercicio 3. Dada una parametrización $r (θ, ϕ) = [(7 + 2 \cos (ϕ)) \cos (θ), (7 + 2 \cos (ϕ)) \sin (θ), 2 \sin (ϕ)]$ del $2$ -toro, encuentre la ecuación implícita $g (x, y, z) = 0$ que describe este toro.

Ejercicio 4. Parametrice el paraboloide hiperbólico $z = x^{2} - y^{2}$ . ¿Cuál es la primera forma fundamental $g = d r^{T} d r$ que es \begin{aligned} g = \begin{bmatrix} r_{x} \cdot r_{x} & r_{x} \cdot r_{y} \\ r_{y} \cdot r_{x} & r_{y} \cdot r_{y} \end{bmatrix}? \end{aligned} ¿Cuál es el factor de distorsión $\sqrt{\det (g)}$ ?

Ejercicio 5. La matriz $g = d r^{T} d r$ también se llama la primera forma fundamental. Si $r : ℝ^{4} \to ℝ^{4}$ es una parametrización del espacio-tiempo entonces $g$ es el tensor métrico del espacio-tiempo. Las entradas de la matriz de $g$ aparecen en la relatividad general. Ahora, por alguna razón, los físicos usan símbolos griegos para acceder a las entradas de la matriz. Escriben $g_{μ ν}$ para la entrada en la fila $μ$ y columna $ν$ . Esto aparece por ejemplo en las ecuaciones de campo de Einstein $R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν} .$ Solo queremos que busque la ecuación y diga de cada una de las variables, cómo se llama y si es una matriz, una función escalar o una constante.

Distinga $‖ A ‖^{2} = \det (A^{T} A)$ y $| A |^{2} = tr (A^{T} A)$ en $M (n, m)$ . Solo coinciden para $m = 1$ .↩︎