پارامتری‌سازی

فهرست مطالب

11.1 مقدمه
- 11.1.1 باز کردن اشکال: جادوی پارامتری‌سازی
11.2 سخنرانی
11.3 مثال‌ها
- 11.3.1 نکته جانبی: تانسورهای متریک و هندسه ریمانی
- 11.3.2 روش‌های نمایش یک منیفلد
11.4 تصویرسازی
تمرین‌ها

11.1 مقدمه

11.1.1 باز کردن اشکال: جادوی پارامتری‌سازی

دیده‌ایم که هنگام پارامتری‌سازی منحنی‌ها $r (t)$ ، کنترل بسیار بیشتری نسبت به نگاه کردن به منحنی‌های داده شده با معادلات داریم. برای مثال، توصیف یک مارپیچ $r (t) = [\cos (t), \sin (t), t]$ بر حسب معادلات دشوار خواهد بود. برای سطوح نیز، خوب است که به تعداد ابعاد مختصات داشته باشیم. ما روی یک کره دو بعدی $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ زندگی می‌کنیم اما از مختصات $x, y, z$ برای توصیف یک نقطه روی سطح استفاده نمی‌کنیم. ما از دو مختصات طول و عرض جغرافیایی استفاده می‌کنیم. اویلر ابتدا پارامتری‌سازی $[x, y, z] = [\cos (t) \cos (s), \sin (t) \sin (s), \sin (s)]$ را به کار برد که در آن $t$ ، $s$ زاویه هستند. می‌توانید به سرعت بررسی کنید که $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ برابر با $1$ می‌شود، بنابراین هر زاویه‌ای $t$ ، $s$ که انتخاب کنیم، همیشه روی کره هستیم.

**شکل 1.** این سطح نمونه‌ای از یک سطح کالابی-یائو است. با $r (u, v)$ پارامتری‌سازی شده است. برخی منحنی‌های شبکه‌ای را رسم کرده‌ایم، جایی که $u$ ثابت یا $v$ ثابت است.

11.2 سخنرانی

11.2.1 ژاکوبی‌ها و مساحت سطح

یک نگاشت $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ یک پارامتری‌سازی نامیده می‌شود. ما نگاشت‌های $r$ از $ℝ$ به $ℝ^{n}$ را دیده‌ایم که منحنی بودند. سپس نگاشت‌های $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ را دیده‌ایم که تغییر مختصات بودند. در هر مورد ماتریس ژاکوبی $d f (x)$ را تعریف کردیم. در مورد منحنی $r : ℝ \to ℝ^{n}$ ، این سرعت بود. در مورد تغییر مختصات، ماتریس ژاکوبی $d f (x)$ برای به دست آوردن ضریب اعوجاج حجم $\det (d f (x)) = \sqrt{\det (d f^{T} d f)}$ استفاده شد. امروز، به حالت $m < n$ نگاه می‌کنیم. به ویژه در $m = 2$ ، $n = 3$ . همانند منحنی‌ها، از حرف $r$ برای توصیف نگاشت استفاده می‌کنیم. تصویر یک نگاشت $r : R \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ یک سطح $𝒎$ -بعدی در $ℝ^{n}$ است. ضریب اعوجاج $‖ d r ‖$ که به صورت $‖ d r ‖^{2} = \det (d r^{T} d r)$ تعریف می‌شود، بعداً برای محاسبه مساحت سطح استفاده خواهد شد.¹

**شکل 2.** یک بیضی‌گون، نیمی از یک بیضی‌گون، یک پیاز، یک قلب و یک گربه.

11.2.2 سطوح و نگاشت‌ها

ما در اینجا بیشتر حالت $m = 2$ و $n = 3$ را بررسی می‌کنیم، زیرا خود ما از سطوح دو بعدی مانند سلول‌ها، غشاها، پوست یا بافت ساخته شده‌ایم. یک نگاشت $r : R \subset ℝ^{2} \to$ $ℝ^{3}$ ، که به صورت $r ([\begin{array}{l} u \\ v \end{array}]) = [\begin{array}{l} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{array}]$ نوشته می‌شود، یک سطح دو بعدی را تعریف می‌کند. برای صرفه‌جویی در فضا، همچنین به سادگی می‌نویسیم $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]$ . در گرافیک کامپیوتری، $r$ نگاشت $𝒖 𝒗$ نامیده می‌شود. صفحه $u v$ جایی است که شما یک بافت را رسم می‌کنید. نگاشت $r$ آن را روی سطح قرار می‌دهد. در جغرافیا، نگاشت $r$ (شگفت‌انگیز!) یک نقشه نامیده می‌شود. چندین نقشه یک اطلس را تعریف می‌کنند. منحنی‌های $u \to r (u, v)$ و $v \to r (u, v)$ منحنی‌های شبکه‌ای نامیده می‌شوند.

11.2.3 نگاهی به پارامتری‌سازی کره‌ها و بیضی‌گون‌ها

پارامتری‌سازی $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ کره $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ را تولید می‌کند. کره کامل دارای $0 \leq ϕ \leq π$ ، $0 \leq θ < 2 π$ است. با تغییر مختصات، یک بیضی‌گون به دست می‌آوریم: $r (ϕ, θ) = [a \sin (ϕ) \cos (θ), b \sin (ϕ) \sin (θ), c \cos (ϕ)]$ که در شرط $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ صدق می‌کند. با اجازه دادن به $a, b, c$ که توابعی از $ϕ, θ$ باشند، "کره‌های ناهموار" مانند $r (ϕ, θ) = (3 + \cos (3 ϕ) \sin (4 θ)) [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ به دست می‌آیند.

11.2.4 صفحات و منحنی‌های شبکه‌ای

صفحات با نگاشت‌های خطی $r (x) = A x + b$ با $A \in M (3, 2)$ و $b \in M (3, 1)$ توصیف می‌شوند. نگاشت ژاکوبی $d r = A$ است. فرض کنید $r_{u}, r_{v}$ دو بردار ستونی $A$ باشند. در واقع، $r_{u}$ مخفف $\partial_{u} r (u, v)$ است که بردار سرعت منحنی شبکه‌ای $u \to r (u, v)$ می‌باشد.

11.2.5 مثالی از پارامتری‌سازی صفحه

یک مثال پارامتری‌سازی $r (u, v) = [u + v - 1, u - v + 3, 3 u - 5 v + 7]$ است. در این حالت $b = [\begin{array}{r} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}], r_{u} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}], r_{v} = [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}]$ و $A = d r = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 3 & - 5 \end{array}] .$ می‌بینیم که $A^{T} A = [\begin{array}{lr} 11 & - 15 \\ - 15 & 27 \end{array}]$ که دترمینان آن $72$ است. همچنین داریم ${| r_{u} \times r_{v} |}^{2} = {| [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}] \times [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}] |}^{2} = {| [\begin{array}{r} - 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}] |}^{2} = 72.$

11.2.6 آشکارسازی ضریب اعوجاج: ارتباطی با ضرب خارجی

محاسبه قبلی رابطه‌ای بین بردار نرمال و فرم اساسی $g = d r^{T} d r$ را پیشنهاد می‌کند. در سه بعد، ضریب اعوجاج یک پارامتری‌سازی $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ در واقع همیشه می‌تواند با استفاده از ضرب خارجی بازنویسی شود:

قضیه 1. $\det (d r^{T} d r) = | r_{u} \times r_{v} |^{2}$ .

اثبات. از آنجایی که $d r^{T} d r = [\begin{array}{ll} r_{u} \cdot r_{u} & r_{u} \cdot r_{v} \\ r_{v} \cdot r_{u} & r_{v} \cdot r_{v} \end{array}],$ این اتحاد، اتحاد کوشی-بینه است: $| r_{u} \times r_{v} |^{2} = | r_{u} |^{2} | r_{v} |^{2} - | r_{u} \cdot r_{v} |^{2}$ که به $\sin^{2} (θ) = 1 - \cos^{2} (θ)$ ختم می‌شود، جایی که $θ$ زاویه بین $r_{u}$ و $r_{v}$ است. این زاویه بین منحنی‌های شبکه‌ای است که در تصاویر می‌بینید. ◻

**شکل 3.** یک صفحه، نمودار، سطح دورانی و هلیکوئید.

11.3 مثال‌ها

مثال 1. برای کره واحد $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ و $A = d r$ : این می‌شود $g = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} (ϕ) \end{matrix}]$ و $\sqrt{\det (g)} = \sin (ϕ)$ ضریب اعوجاج است.

مثال 2. یک کلاس مهم از سطوح نمودارها $z = f (x, y)$ هستند. طبیعی‌ترین پارامتری‌سازی آن $r (x, y) = [x, y, f (x, y)]$ است، جایی که نگاشت $r$ فقط بخش پایینی را به نسخه مرتفع بالا می‌برد. یک مثال سهمی‌گون بیضوی $r (x, y) = [x, y, x^{2} + y^{2}]$ و سهمی‌گون هذلولوی $r (x, y) = [x, y, x^{2} - y^{2}]$ است. البته می‌توانستیم همچنین بنویسیم $r (u, v) = [u, v, u^{2} - v^{2}]$ .

مثال 3. یک سطح دورانی به صورت $r (θ, z) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z]$ پارامتری‌سازی می‌شود. توجه کنید که می‌توانیم از هر متغیری استفاده کنیم. در این حالت، $u = θ$ ، $v = z$ استفاده شده‌اند. یک مثال مخروط $r (θ, z) = [z \cos (θ), z \sin (θ), z]$ یا هذلولوی یک‌پارچه $r (θ, z) = [\sqrt{z^{2} + 1} \cos (θ), \sqrt{z^{2} + 1} \sin (θ), z]$ است.

مثال 4. چنبره در مختصات استوانه‌ای به صورت $(r - 3)^{2} + z^{2} = 1$ داده می‌شود. می‌توانیم این را با استفاده از زاویه قطبی $θ$ و زاویه قطبی متمرکز در مرکز دایره به صورت $r (θ, ϕ) = [(3 + \cos (ϕ)) \cos (θ), (3 + \cos (ϕ)) \sin (θ), \sin (ϕ)]$ پارامتری‌سازی کنیم. هر دو زاویه $θ$ و $ϕ$ از $0$ تا $2 π$ می‌روند. اکنون همچنین رابطه با مختصات چنبره‌ای را می‌بینیم.

مثال 5. هلیکوئید سطحی است که به صورت پلکان یا پیچ می‌بینید. پارامتری‌سازی آن $r (θ, p) = [p \cos (θ), p \sin (θ), θ]$ است. چگونه می‌توانیم این را درک کنیم؟ کلید کار نگاه کردن به منحنی‌های شبکه‌ای است. اگر $p = 1$ باشد، منحنی $r (θ) = [\cos (θ), \sin (θ), θ]$ را به دست می‌آوریم که آن را به عنوان یک مارپیچ شناسایی کرده بودیم. از طرف دیگر، اگر $θ$ را ثابت کنید، آنگاه خطوطی به دست می‌آورید.

11.3.1 نکته جانبی: تانسورهای متریک و هندسه ریمانی

اولین فرم اساسی $g = d r^{T} d r$ همچنین یک تانسور متریک نامیده می‌شود. در هندسه ریمانی به یک منیفلد $M$ مجهز به یک متریک $g$ نگاه می‌شود. ساده‌ترین حالت وقتی است که $g$ از یک پارامتری‌سازی می‌آید، همانطور که در اینجا انجام دادیم. در فیزیک، می‌دانیم که این جرم است که فضا-زمان را تغییر شکل می‌دهد. کمیت $‖ g ‖^{2} = \det (g)$ یک آنالوگ ضربی از $| g |^{2} = tr (g)$ است. برای یک ماتریس مربعی معکوس‌پذیر مثبت معین $A$ ، بعداً اتحاد $\log \det (A) = tr \log (A)$ را خواهیم دید که نشان می‌دهد چگونه هم دترمینان و هم اثر، کمیت‌های عددی محوری مشتق شده از یک ماتریس هستند. اثر جمعی است به دلیل $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ و دترمینان ضربی است $\det (A B) = \det (A) \det (B)$ همانطور که بعداً خواهیم دید.

11.3.2 روش‌های نمایش یک منیفلد

به طور خلاصه، تاکنون دیده‌ایم که دو روش اساساً متفاوت برای توصیف یک منیفلد وجود دارد. اولی نوشتن آن به عنوان یک سطح تراز $f = c$ است که یک هسته از نگاشت $g (x) = f - c$ می‌باشد. دومی نوشتن آن به عنوان تصویر برخی نگاشت $r$ است.

11.4 تصویرسازی

**شکل 4.** تم "حقیقت بر روی زمین و ماه" (رندر شده در Povray).

**شکل ۵.** یک میوه و آبنبات ریاضی $^{\copyright}$ math-candy.com (رندر شده در Mathematica)

تمرین‌ها

تمرین ۱. بخش بالایی هذلولی دوپوسته $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ ، $z > 0$ را به‌عنوان یک رویه دورانی پارامتری‌سازی کنید.

تمرین ۲.

صفحه $x + 2 y + 3 z - 6 = 0$ را با استفاده از یک نگاشت $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ پارامتری‌سازی کنید.
اکنون ماتریس $A = d r$ را بیابید و $g = A^{T} A$ و نیز ضریب اعوجاج $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ را محاسبه کنید.
همچنین $r_{u}$ ، $r_{v}$ و $r_{u} \times r_{v}$ را محاسبه کنید و سپس $| r_{u} \times r_{v} |$ را به‌دست آورید. باید همان عدد را بگیرید.

تمرین ۳. با توجه به پارامتری‌سازی $r (θ, ϕ) = [(7 + 2 \cos (ϕ)) \cos (θ), (7 + 2 \cos (ϕ)) \sin (θ), 2 \sin (ϕ)]$ از چنبره $2$ -تایی، معادله ضمنی $g (x, y, z) = 0$ را بیابید که این چنبره را توصیف می‌کند.

تمرین ۴. سهمی‌وار هذلولی $z = x^{2} - y^{2}$ را پارامتری‌سازی کنید. اولین فرم بنیادی $g = d r^{T} d r$ که برابر است با چیست و ضریب اعوجاج $\sqrt{\det (g)}$ چه مقداری دارد؟

تمرین ۵. ماتریس $g = d r^{T} d r$ همچنین اولین فرم بنیادی نامیده می‌شود. اگر $r : ℝ^{4} \to ℝ^{4}$ یک پارامتری‌سازی از فضا-زمان باشد، آنگاه $g$ تانسور متریک فضا-زمان است. درایه‌های ماتریس $g$ در نسبیت عام ظاهر می‌شوند. اکنون به دلایلی، فیزیک‌پیشگان از نمادهای یونانی برای دسترسی به درایه‌های ماتریس استفاده می‌کنند. آن‌ها $g_{μ ν}$ را برای درایه در سطر $μ$ و ستون $ν$ می‌نویسند. این نماد برای مثال در معادلات میدان اینشتین $R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν} .$ دیده می‌شود. ما فقط می‌خواهیم که شما معادله را جستجو کنید و برای هر یک از متغیرها بگویید که چه نام دارد و آیا یک ماتریس، یک تابع اسکالر یا یک ثابت است.

بین $‖ A ‖^{2} = \det (A^{T} A)$ و $| A |^{2} = tr (A^{T} A)$ در $M (n, m)$ تمایز قائل شوید. آن‌ها تنها برای $m = 1$ یکسان هستند.↩︎