Intuição

9.1 INTRODUÇÃO

9.1.1 A Essência da Intuição

Intuição é uma noção misteriosa na psicologia. Pergunte a uma escola diferente de psicologia ou vá para uma cultura diferente e a intuição será entendida de maneiras diferentes. Às vezes, está até ligada à espiritualidade ou religião. Em matemática, boa intuição é geralmente considerada como a capacidade de "obter insight" ou "ver estruturas", às vezes uma capacidade de ser "criativo". Uma tentativa de definição é "compreensão sem raciocínio consciente". A intuição também pode ser perigosa. Um argumento intuitivo não é uma prova, por exemplo, mesmo que possa eventualmente levar a uma prova rigorosa. Pensadores extremamente intuitivos às vezes também são iludidos. Isso é ilustrado pela existência de provas extremamente intuitivas de grandes problemas em aberto, mas geralmente estão simplesmente erradas.

9.1.2 Intuição Matemática

O que é intuição então? René Descartes tentou formulá-la em seu tratado "Regras para a Direção da Mente" escrito entre 1619 e 1628. A Regra 12 desse documento afirma "Finalmente, devemos empregar toda a ajuda do entendimento, imaginação, sentido e memória, primeiro com o propósito de ter uma intuição distinta de proposições simples". Para Descartes, portanto, a intuição tem vários componentes, incluindo entendimento, imaginação, sentido e memória. Essa é uma noção bastante moderna. Um cientista da computação pode argumentar que os computadores já podem ser intuitivos: a prova é apenas por evidência, mas vimos no xadrez, por exemplo, que os computadores superaram qualquer jogador humano de xadrez. As últimas tentativas de campeões mundiais de xadrez de vencer uma máquina fracassaram. Desde então, as partidas de xadrez homem-máquina são todas variantes com handicap, onde o humano recebe uma vantagem substancial. E o xadrez é um jogo onde a intuição é importante.¹

9.2 SEMINÁRIO

9.2.1 Intuição em Perspectiva Histórica

Apesar de tudo o que foi dito na introdução, é importante em matemática ganhar "intuição" sobre objetos, sobre definições e sobre teoremas e provas. Uma maneira de ver a intuição é vê-la como um dispositivo mnemônico que permite entender as coisas de uma forma que seja mais fácil de lembrar. Ela também nos dá indicações de onde devemos ter cuidado. Resultados não intuitivos também podem levar à intuição em outras áreas. Um exemplo da teoria das probabilidades é o resultado não intuitivo de que, se você tem uma turma de $23$ alunos, a probabilidade de que dois tenham o mesmo aniversário é maior que metade. Este é o paradoxo do aniversário. De fato, a probabilidade de que nenhum deles tenha o mesmo aniversário é $$(365/365)(364/365)\cdots (343/365)=0.4927.$$ Agora, uma vez que você viu isso, você ganhou intuição sobre coincidências. Elas acontecem muito mais do que acreditamos ser razoável. Podemos agora tirar proveito disso e projetar algoritmos que nos dão um resultado se dois eventos colidem. Isso tem sido usado em criptologia, por exemplo. Podemos projetar algoritmos que podem abrir uma fechadura muito mais rápido do que acreditamos ser possível.²

9.2.2 O Papel da Intuição na Matemática

Agora, em vez de dizer como obter intuição, talvez seja melhor examinar casos em que a intuição falha. Isso pode ser revertido e nos permite elevar nossa compreensão intuitiva. Ilustraremos as armadilhas da intuição mostrando que noções intuitivas também podem enganar. Podemos enunciar "falsos teoremas" que acreditaríamos serem verdadeiros, mas que são falsos. Começamos com a noção de "continuidade", para a qual uma definição intuitiva diz: podemos "desenhar o gráfico de uma função contínua sem precisar levantar a caneta". Claro, não podemos trabalhar com essa definição para provar teoremas. No entanto, é uma boa noção intuitiva e fornece uma espécie de "proto compreensão". Se você quiser testar sua noção de compreensão sobre continuidade, pergunte-se se a função $f(x)=x\sin (1/x)$ é contínua em todos os pontos ou não.

9.2.3 Natureza Enganosa da Intuição

Começando com Cauchy e fortemente impulsionada por Weierstrass, a continuidade é definida precisamente usando a infame definição $ϵ-\delta$: $f$ é contínua em $x$ se, para todo , existe tal que, se $|x-y|\le \delta$, então $|f(x)-f(y)|\le ϵ$. Usando a notação mais elegante de quantificadores matemáticos $\mathrm{\forall }$ (para todo) e $\mathrm{\exists }$ (existe) e $\Rightarrow$ (implica) e $ϵ$ (é elemento de), você pode impressionar seus amigos (e irritar leitores e corretores) escrevendo O fato de essa definição não ser nada intuitiva e de a maioria dos alunos aprender essa "epsilôntica" por intimidação é ilustrado pela seguinte variação de Ed Nelson³. Tornamo-la nosso primeiro exercício:

9.2.4 Definindo Continuidade Além da Intuição

Na aula de segunda-feira, vimos como uma aproximação poligonal de uma curva permite calcular o comprimento do arco de uma curva. Aqui está um primeiro "anti-teorema". Sua tarefa é descobrir o que está errado.

9.2.5 Desafiando Nossa Compreensão Intuitiva

Calculamos a circunferência de um círculo por uma aproximação poligonal. A seguinte afirmação usa a intuição de que, se um polígono está próximo de uma curva, então seu comprimento está próximo da curva:

9.2.6 A Circunferência de um Círculo Revisitada

Isso leva ao seguinte anti-teorema:⁴ Uma curva plana contínua é uma função $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$, onde ambas as funções $x(t),y(t)$ são funções contínuas.

9.2.7 Comprimento de Arco de Curvas Contínuas

Poderíamos também pensar que o comprimento do arco de uma curva contínua é finito.

9.2.8 Desafiando Curvas Contínuas

Se uma curva $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$ tem a propriedade de que $x(t)$ e $y(t)$ permanecem limitadas e não têm descontinuidades de salto, pensaríamos que a curva é contínua.

9.2.9 O Pente do Diabo

Um contra-exemplo é o pente do diabo $r(t)=[t,\sin (1/t)]$ para $t\in [0,1]$. Ele não tem descontinuidade de salto e é limitado. A função não está definida em $t=0$, mas podemos definir $r(0)=[0,0]$ para torná-la definida em todo $[0,1]$.

9.2.10 Continuidade e Diferenciabilidade

Finalmente, poderíamos pensar:

9.2.11 Função de Weierstrass

Um contra-exemplo foi dado por Weierstrass. É chamada de função de Weierstrass. G.H. Hardy provou em 1916 que a função $$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-n}\cos \left(a^{n}x\right)$$ não tem nenhum ponto de diferenciabilidade se .

9.2.12 O Desafio do Teorema de Morley

Vamos examinar o teorema de Morley na geometria plana. Ele diz que, em qualquer triângulo, as interseções das trissecções dos ângulos formam um triângulo equilátero. Você consegue encontrar uma prova? Não tente. Sem consultar, encontrar uma prova intuitiva é muito, muito difícil.

9.2.13 Continuidade de $x\sin (1/x)$: Um Olhar Mais Atento

Finalmente, voltamos à questão inicial se a função $$f(x)=x\sin (1/x)$$ é contínua. A resposta é sim. A função $g(x)=\sin (1/x)$ não é contínua, pois podemos encontrar $x$ arbitrariamente pequenos $x=1/(\pi /2+2k\pi )$ para os quais a função é $g(x)=1$ e $x$ arbitrariamente pequenos $x=1/(2k\pi -\pi /2)$ para os quais a função é $g(x)=-1$. Para a função $f(x)$, no entanto, podemos dizer que $|f(x)|\le |x|$. Portanto, se $x$ é pequeno, $|f(x)|$ também é pequeno. Se você quiser verificar sua intuição com afirmações formais: dado qualquer , podemos encontrar um (a saber, $\delta =ϵ$) tal que, se $|x|\le \delta$, então $|f(x)|\le ϵ$.

EXERCÍCIOS