Intuition

9.1 INTRODUCTION

9.1.1 L’essence de l’intuition

L’intuition est une notion mystérieuse en psychologie. Demandez à une école de psychologie différente ou allez dans une autre culture et l’intuition sera comprise de manières différentes. Elle est parfois même liée à la spiritualité ou à la religion. En mathématiques, une bonne intuition est généralement considérée comme la capacité à « acquérir une compréhension profonde » ou à « voir des structures », parfois une capacité à être « créatif ». Une tentative de définition est « la compréhension sans raisonnement conscient ». L’intuition peut aussi être dangereuse. Un argument intuitif n’est pas une preuve, par exemple, même s’il peut éventuellement mener à une preuve rigoureuse. Les penseurs extrêmement intuitifs sont parfois aussi enclins à l’auto-illusion. Cela est illustré par l’existence de preuves extrêmement intuitives de grands problèmes ouverts, mais elles sont généralement tout simplement fausses.

9.1.2 L’intuition mathématique

Qu’est-ce donc que l’intuition ? René Descartes a tenté de la formuler dans son traité « Règles pour la direction de l’esprit » écrit entre 1619 et 1628. La règle 12 de ce document dit « Enfin nous devons employer toute l’aide de l’entendement, de l’imagination, des sens et de la mémoire, d’abord pour avoir une intuition distincte des propositions simples ». Pour Descartes, l’intuition a donc diverses composantes dont l’entendement, l’imagination, les sens et la mémoire. C’est une notion assez moderne. Un informaticien peut soutenir que les ordinateurs peuvent déjà être intuitifs : la preuve n’est qu’empirique, mais nous avons vu aux échecs, par exemple, que les ordinateurs ont surpassé tout joueur d’échecs humain. Les dernières tentatives des champions du monde d’échecs pour gagner contre une machine ont échoué. Depuis lors, les matchs d’échecs homme-machine sont tous des variantes avec handicap, où l’humain reçoit un avantage substantiel. Et les échecs sont un jeu où l’intuition est importante.¹

9.2 SÉMINAIRE

9.2.1 L’intuition dans une perspective historique

Malgré tout ce qui a été dit dans l’introduction, il est important en mathématiques d’acquérir de l’« intuition » sur les objets, sur les définitions et sur les théorèmes et les preuves. Une façon de voir l’intuition est de la considérer comme un moyen mnémotechnique qui permet de comprendre les choses d’une manière plus facile à retenir. Elle nous donne aussi des indications sur les points où il faut être prudent. Des résultats non intuitifs peuvent aussi mener à l’intuition dans d’autres domaines. Un exemple de la théorie des probabilités est le résultat non intuitif selon lequel si vous avez une classe de $23$ élèves, la probabilité que deux aient le même anniversaire est supérieure à une moitié. C’est le paradoxe des anniversaires. En effet, la probabilité qu’aucun d’eux n’ait le même anniversaire est $$(365/365)(364/365)\cdots (343/365)=0,4927.$$ Maintenant, une fois que vous avez vu cela, vous avez acquis de l’intuition sur les coïncidences. Elles se produisent bien plus souvent que nous ne le croyons raisonnable. Nous pouvons maintenant en tirer parti et concevoir des algorithmes qui donnent un résultat si deux événements entrent en collision. Cela a été utilisé en cryptologie, par exemple. Nous pouvons concevoir des algorithmes qui peuvent crocheter une serrure bien plus vite que nous ne le croyons possible.²

9.2.2 Le rôle de l’intuition en mathématiques

Maintenant, plutôt que de dire comment acquérir de l’intuition, il est peut-être préférable de regarder les cas où l’intuition échoue. Cela peut ensuite être retourné et nous permettre d’élever notre compréhension intuitive. Nous illustrerons les pièges de l’intuition en montrant que les notions intuitives peuvent aussi induire en erreur. Nous pouvons énoncer des « faux théorèmes » que nous croirions vrais mais qui sont faux. Nous commençons par la notion de « continuité » pour laquelle une définition intuitive dit : nous pouvons « tracer le graphe d’une fonction continue sans avoir à lever le stylo ». Bien sûr, nous ne pouvons pas travailler avec cette définition pour prouver des théorèmes. C’est néanmoins une bonne notion intuitive et elle fournit une sorte de « proto-compréhension ». Si vous voulez sonder votre notion de compréhension de la continuité, demandez-vous si la fonction $f(x)=x\sin (1/x)$ est continue partout ou non.

9.2.3 La nature trompeuse de l’intuition

À partir de Cauchy et poussée fortement par Weierstrass, la continuité est définie précisément en utilisant la fameuse définition $ϵ-\delta$ : $f$ est continue en $x$ si pour tout il existe tel que si $|x-y|\le \delta$, alors $|f(x)-f(y)|\le ϵ$. En utilisant la notation mathématique plus sophistiquée des quantificateurs $\mathrm{\forall }$ (pour tout) et $\mathrm{\exists }$ (il existe) et $\Rightarrow$ (implique) et $ϵ$ (est élément de), vous pouvez impressionner vos amis (et agacer les lecteurs et les correcteurs) en écrivant Le fait que cette définition ne soit pas du tout intuitive et que la plupart des étudiants apprennent simplement cette « epsilontique » par intimidation est illustré par la variation suivante d’Ed Nelson³ Nous en faisons notre premier exercice :

9.2.4 Définir la continuité au-delà de l’intuition

Dans le cours de lundi, nous avons vu comment une approximation polygonale d’une courbe permet de calculer la longueur d’arc d’une courbe. Voici un premier « anti-théorème ». Votre tâche est de trouver ce qui ne va pas.

9.2.5 Remettre en question notre compréhension intuitive

Nous calculons la circonférence d’un cercle par une approximation polygonale. L’énoncé suivant utilise l’intuition que si un polygone est proche d’une courbe, alors sa longueur est proche de celle de la courbe :

9.2.6 La circonférence d’un cercle revisitée

Cela conduit à l’anti-théorème suivant :⁴ Une courbe plane continue est une fonction $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$, où les deux fonctions $x(t),y(t)$ sont des fonctions continues.

9.2.7 Longueur d’arc des courbes continues

Nous pourrions aussi penser que la longueur d’arc d’une courbe continue est finie.

9.2.8 Courbes continues en question

Si une courbe $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$ a la propriété que $x(t)$ et $y(t)$ restent bornées et n’ont pas de discontinuités de saut, nous penserions que la courbe est continue.

Exercice 5. Dans la continuité de 9.4, il existe une construction de type lanterne chinoise qui montre que $\left|S_n\right|\to |S|$ est fausse en général. Recherchez la construction de la lanterne de Schwarz de 1880 et décrivez-la.