Intuición

9.1 INTRODUCCIÓN

9.1.1 La esencia de la intuición

La intuición es una noción misteriosa en psicología. Pregunta a una escuela de psicología diferente o ve a una cultura diferente y la intuición se entenderá de maneras distintas. A veces incluso se vincula con la espiritualidad o la religión. En matemáticas, la buena intuición se suele considerar como la capacidad de "obtener perspicacia" o "ver estructuras", a veces una capacidad de ser "creativo". Un intento de definición es "comprensión sin razonamiento consciente". La intuición también puede ser peligrosa. Un argumento intuitivo no es una prueba, por ejemplo, aunque eventualmente pueda conducir a una prueba rigurosa. Los pensadores extremadamente intuitivos a veces también son autoengañosos. Esto se ilustra con la existencia de pruebas extremadamente intuitivas de grandes problemas abiertos, pero generalmente son simplemente erróneas.

9.1.2 Intuición matemática

¿Qué es entonces la intuición? René Descartes intentó formularla en su tratado "Reglas para la dirección de la mente" escrito entre 1619 y 1628. La regla 12 de ese documento dice: "Finalmente debemos emplear toda la ayuda del entendimiento, la imaginación, el sentido y la memoria, primero con el propósito de tener una intuición distinta de las proposiciones simples". Para Descartes, por lo tanto, la intuición tiene varios componentes que incluyen el entendimiento, la imaginación, el sentido y la memoria. Esta es una noción bastante moderna. Un científico de la computación puede argumentar que las computadoras ya pueden ser intuitivas: la prueba es solo por evidencia, pero hemos visto en el ajedrez, por ejemplo, que las computadoras han superado a cualquier jugador humano de ajedrez. Los últimos intentos de los campeones mundiales de ajedrez por ganar contra una máquina fracasaron. Desde entonces, los enfrentamientos de ajedrez entre humanos y máquinas son todas variantes con desventaja, donde al humano se le da una ventaja sustancial. Y el ajedrez es un juego donde la intuición es importante.¹

9.2 SEMINARIO

9.2.1 La intuición en perspectiva histórica

A pesar de todo lo dicho en la introducción, es importante en matemáticas ganar "intuición" sobre los objetos, sobre las definiciones y sobre los teoremas y las demostraciones. Una forma de ver la intuición es verla como un dispositivo mnemotécnico que permite entender las cosas de una manera que es más fácil de recordar. También nos da indicadores de dónde debemos tener cuidado. Los resultados no intuitivos también pueden conducir a la intuición en otras áreas. Un ejemplo de la teoría de la probabilidad es el resultado no intuitivo de que si tienes una clase de $23$ estudiantes, la probabilidad de que dos tengan el mismo cumpleaños es más de la mitad. Esta es la paradoja del cumpleaños. De hecho, la probabilidad de que ninguno de ellos tenga el mismo cumpleaños es $$(365/365)(364/365)\cdots (343/365)=0.4927.$$ Ahora, una vez que has visto esto, has ganado intuición sobre las coincidencias. Ocurren mucho más de lo que creemos razonable. Ahora podemos aprovechar esto y diseñar algoritmos que nos den un resultado si dos eventos colisionan. Esto se ha utilizado en criptología, por ejemplo. Podemos diseñar algoritmos que pueden abrir una cerradura mucho más rápido de lo que creemos posible.²

9.2.2 El papel de la intuición en las matemáticas

Ahora, en lugar de decir cómo obtener intuición, tal vez sea mejor observar casos en los que la intuición falla. Esto luego se puede revertir y nos permite elevar nuestra comprensión intuitiva. Ilustraremos las trampas de la intuición mostrando que las nociones intuitivas también pueden engañar. Podemos enunciar "teoremas falsos" que creeríamos que son verdaderos pero que son falsos. Comenzamos con la noción de "continuidad" para la cual una definición intuitiva dice: podemos "dibujar la gráfica de una función continua sin tener que levantar el lápiz". Por supuesto, no podemos trabajar con esta definición para demostrar teoremas. Sin embargo, es una buena noción intuitiva y proporciona una especie de "proto-comprensión". Si quieres sondear tu noción de comprensión sobre la continuidad, pregúntate si la función $f(x)=x\sin (1/x)$ es continua en todas partes o no.

9.2.3 La naturaleza engañosa de la intuición

Comenzando con Cauchy y fuertemente impulsada por Weierstrass, la continuidad se define con precisión utilizando la infame definición $ϵ-\delta$: $f$ es continua en $x$, si para todo existe tal que si $|x-y|\le \delta$, entonces $|f(x)-f(y)|\le ϵ$. Usando una notación matemática más elegante con cuantificadores $\mathrm{\forall }$ (para todo) y $\mathrm{\exists }$ (existe) y $\Rightarrow$ (implica) y $ϵ$ (es elemento de) puedes impresionar a tus amigos (y molestar a los lectores y calificadores) escribiendo El hecho de que esta definición no sea en absoluto intuitiva y que la mayoría de los estudiantes simplemente aprendan esta "epsilóntica" por intimidación se ilustra con la siguiente variación de Ed Nelson³ Lo convertimos en nuestro primer ejercicio:

9.2.4 Definiendo la continuidad más allá de la intuición

En la conferencia del lunes hemos visto cómo una aproximación poligonal de una curva permite calcular la longitud de arco de una curva. Aquí hay un primer "anti-teorema". Tu tarea es averiguar qué está mal.

9.2.5 Desafiando nuestra comprensión intuitiva

Calculamos la circunferencia de un círculo mediante una aproximación poligonal. La siguiente afirmación utiliza la intuición de que si un polígono está cerca de una curva, entonces su longitud está cerca de la curva:

9.2.6 La circunferencia de un círculo revisitada

Esto conduce al siguiente anti-teorema:⁴ Una curva plana continua es una función $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$, donde ambas funciones $x(t),y(t)$ son funciones continuas.

9.2.7 Longitud de arco de curvas continuas

También podríamos pensar que la longitud de arco de una curva continua es finita.

9.2.8 Desafiando curvas continuas

Si una curva $t\to r(t)=[x(t),y(t)]$ tiene la propiedad de que $x(t)$ e $y(t)$ permanecen acotadas y no tienen discontinuidades de salto, pensaríamos que la curva es continua.

9.2.9 El peine del diablo

Un contraejemplo es el peine del diablo $r(t)=[t,\sin (1/t)]$ para $t\in [0,1]$. No tiene una discontinuidad de salto y está acotada. La función no está definida en $t=0$ pero podemos definir $r(0)=[0,0]$ para que esté definida en todo $[0,1]$.

9.2.10 Continuidad y diferenciabilidad

Finalmente, podríamos pensar:

9.2.11 Función de Weierstrass

Un contraejemplo fue dado por Weierstrass. Se llama la función de Weierstrass. G.H. Hardy demostró en 1916 que la función $$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-n}\cos \left(a^{n}x\right)$$ no tiene ningún punto de diferenciabilidad si .

9.2.12 El desafío del teorema de Morley

Veamos el teorema de Morley en geometría plana. Dice que en cualquier triángulo, las intersecciones de las trisectrices de los ángulos forman un triángulo equilátero. ¿Puedes encontrar una demostración? No lo intentes. Sin buscarlo, encontrar una demostración intuitiva es muy, muy difícil.

9.2.13 Continuidad de $x\sin (1/x)$: Una mirada más cercana

Finalmente volvemos a la pregunta inicial de si la función $$f(x)=x\sin (1/x)$$ es continua. La respuesta es sí. La función $g(x)=\sin (1/x)$ no es continua ya que podemos encontrar $x$ arbitrariamente pequeños $x=1/(\pi /2+2k\pi )$ para los cuales la función es $g(x)=1$ y $x$ arbitrariamente pequeños $x=1/(2k\pi -\pi /2)$ para los cuales la función es $g(x)=-1$. Sin embargo, para la función $f(x)$ podemos decir que $|f(x)|\le |x|$. Así que, si $x$ es pequeño, también $|f(x)|$ es pequeño. Si quieres comprobar tu intuición con afirmaciones formales: dado cualquier podemos encontrar un (a saber, $\delta =ϵ$) tal que si $|x|\le \delta$ entonces $|f(x)|\le ϵ$.

EJERCICIOS