直觉

9.1 引言

9.1.1 直觉的本质

直觉是心理学中一个神秘的概念。询问不同的心理学派别或去往不同的文化，直觉就会被以不同的方式理解。它有时甚至与灵性或宗教相连。在数学中，好的直觉通常被认为是“获得洞见”或“看到结构”的能力，有时是一种“创造性”的能力。一种定义尝试是“不需要有意识推理的理解”。直觉也可能是危险的。例如，一个直觉性的论证并非证明，即便它最终可能通向一个严格的证明。极端直觉型的思考者有时也会自我欺骗。这可以通过一些关于重大公开问题的极其直觉性的“证明”存在来说明，但它们通常都是错误的。

9.1.2 数学直觉

那么直觉究竟是什么呢？勒内·笛卡尔在他写于1619年至1628年间的论著《指导心智的规则》中试图阐述它。该文献中的第12条规则写道：“最终我们应当运用理解、想象、感知和记忆的全部帮助，首先是为了对简单命题有一个清晰的直觉”。因此对笛卡尔而言，直觉包含理解、想象、感知和记忆等多种成分。这是一个相当现代的观念。一位计算机科学家可以论证计算机已经能够具有直觉：这个证明仅凭证据即可，但我们已经看到，例如在国际象棋中，计算机已经超越了所有人类棋手。世界象棋冠军对抗机器的最后尝试都失败了。从那以后，人机对弈都是让子棋，给人类巨大的优势。而象棋正是一项直觉至关重要的游戏。¹

9.2 研讨

9.2.1 历史视角下的直觉

尽管引言中说了那么多，在数学中获得关于对象、定义、定理和证明的“直觉”仍然很重要。一种看待直觉的方式是将其视为一种助记手段，它让我们能够以更便于记忆的方式来理解事物。它也给我们指出了需要小心的地方。非直觉的结果也可能在其他领域催生直觉。概率论中的一个非直觉例子是：如果一个班级有$23$名学生，那么有两人生日相同的概率超过一半。这就是生日悖论。确实，没有人同一天生日的概率是$$(365/365)(364/365)\cdots (343/365)=0.4927.$$现在，一旦你看到这一点，你就对巧合有了直觉。它们发生的频率远高于我们以为的合理范围。我们现在可以利用这一点来设计算法，当两个事件碰撞时给出结果。例如，这在密码学中已有应用。我们可以设计出比我们想象中更快地打开锁的算法。²

9.2.2 直觉在数学中的作用

现在，与其告诉如何获得直觉，不如看看直觉失效的例子。这可以反过来帮助我们提升直觉理解。我们将通过展示直觉概念也可能产生误导来说明直觉的陷阱。我们可以陈述一些我们原本会相信为真但实际上为假的“假定理”。我们从“连续性”的概念开始，它的直观定义是：我们可以“不用抬起笔就能画出连续函数的图形”。当然，我们不能用这个定义来证明定理。但它仍是一个很好的直观概念，提供了一种“原型理解”。如果你想检验自己对连续性的理解，问问自己函数$f(x)=x\sin (1/x)$是否处处连续。

9.2.3 直觉的误导性

从柯西开始，并由魏尔斯特拉斯大力推动，连续性通过那个著名的$ϵ-\delta$定义得到了精确定义：$f$在$x$处连续，如果对于每个都存在，使得如果$|x-y|\le \delta$，那么$|f(x)-f(y)|\le ϵ$。使用更花哨的数学量词记号$\mathrm{\forall }$（对所有）和$\mathrm{\exists }$（存在）以及$\Rightarrow$（蕴含）和$ϵ$（属于），你可以通过写下来给你的朋友们留下深刻印象（并惹恼读者和评分者）。这个定义一点也不直观，而且大多数学生只是通过威吓才学会这种“epsilon学”，这一点被埃德·内尔逊³的如下变形所表明。我们把它作为我们的第一个练习：

9.2.4 超越直觉定义连续性

在周一的讲座中，我们看到了如何通过曲线的多边形逼近来计算曲线的弧长。这是第一个“反定理”。你的任务是找出问题所在。

9.2.5 挑战我们的直觉理解

我们通过多边形逼近来计算圆的周长。下面的陈述用到了这样的直觉：如果一个多边形接近一条曲线，那么它的长度就接近曲线：

9.2.6 再探圆的周长

这引出以下反定理：⁴ 一条连续平面曲线是一个函数$t\to r(t)=[x(t),y(t)]$，其中$x(t)$和$y(t)$都是连续函数。

9.2.7 连续曲线的弧长

我们可能还会认为连续曲线的弧长是有限的。

9.2.8 挑战连续曲线

如果一条曲线$t\to r(t)=[x(t),y(t)]$具有$x(t)$和$y(t)$有界且无跳跃间断的性质，我们会认为该曲线是连续的。

9.2.9 魔鬼的梳子

一个反例是魔鬼的梳子$r(t)=[t,\sin (1/t)]$，其中$t\in [0,1]$。它没有跳跃间断且有界。该函数在$t=0$处没有定义，但我们可以定义$r(0)=[0,0]$使其在$[0,1]$上处处有定义。

9.2.10 连续性与可微性

最后，我们可能会想：

9.2.11 魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯给出了一个反例。它被称为魏尔斯特拉斯函数。G.H.哈代在1916年证明了函数$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-n}\cos \left(a^{n}x\right)$$当时没有任何可微点。

9.2.12 莫利定理的挑战

让我们看看平面几何中的莫利定理。它说在任何三角形中，角的三个三等分线的交点构成一个等边三角形。你能找到一个证明吗？别去尝试。在不看现有文献的情况下，找到一个直观的证明是非常非常困难的。

9.2.13 $x\sin (1/x)$ 的连续性：进一步探究

最后我们回到最初的问题：函数$$f(x)=x\sin (1/x)$$是否连续。答案是肯定的。函数$g(x)=\sin (1/x)$不连续，因为我们可以找到任意小的$x=1/(\pi /2+2k\pi )$使得函数值为$g(x)=1$，以及任意小的$x=1/(2k\pi -\pi /2)$使得函数值为$g(x)=-1$。然而对于$f(x)$，我们可以说$|f(x)|\le |x|$。所以，如果$x$小，那么$|f(x)|$也小。如果你想用形式语句来检验你的直觉：给定任意的，我们都能找到一个（即$\delta =ϵ$），使得如果$|x|\le \delta$，那么$|f(x)|\le ϵ$。

练习