Règles de la Somme, de la Différence, du Produit et du Quotient

Exemple 6.1. Si nous prenons maintenant l'exemple du paragraphe précédent, et insérons les valeurs des deux fonctions, nous aurons, en utilisant la notation montrée \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align} exactement comme avant.

Exemple 6.2. Nous voulons différencier le produit $$(x^2+c)\times (a{x}^4+b).$$

Appelons $(x^2+c)=u$; et $(a{x}^4+b)=v$.

Ensuite, par la règle générale récemment établie, nous pouvons écrire: \begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align} $$\frac{dy}{dx}=6a{x}^5+4ac{x}^3+2bx,$$

exactement comme avant.

Exemple 6.3. Revenons à notre exemple $y={\displaystyle \frac{b{x}^5+c}{x^2+a}}$,

écrivons $$b{x}^5+c=u;$$ et $$x^2+a=v.$$

Ensuite \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Réponse}.)} \end{align}

Exemple 6.4. Différenciez $y={\displaystyle \frac{a}{b^2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$.

Solution. Étant une constante, ${\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$ s'annule, et nous avons $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{b^2}\times 3\times x^{3-1}-\frac{a^2}{b}\times 1\times x^{1-1}.$$

Mais $x^{1-1}=x^0=1$; donc nous obtenons: $$\frac{dy}{dx}=\frac{3a}{b^2}{x}^2-\frac{a^2}{b}.$$

Exemple 6.5. Différenciez $y=2a\sqrt{b{x}^3}-{\displaystyle \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x}}-2\sqrt{ab}$.

Solution. En mettant $x$ sous forme d'indice, nous obtenons $$y=2a\sqrt{b}{x}^{\frac{3}{2}}-3b\sqrt[3]{a}{x}^{-1}-2\sqrt{ab}.$$

Maintenant $$\frac{dy}{dx}=2a\sqrt{b}\times \frac{3}{2}\times x^{\frac{3}{2}-1}-3b\sqrt[3]{a}\times (-1)\times x^{-1-1};$$ ou, $$\frac{dy}{dx}=3a\sqrt{bx}+\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.$$

Exemple 6.6. Différenciez $z=1.8\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{{\theta }^2}}}-{\displaystyle \frac{4.4}{\sqrt[5]{\theta }}}-27$.

Solution. Cela peut être écrit: $z=1.8{\theta }^{-\frac{2}{3}}-4.4{\theta }^{-\frac{1}{5}}-27$.

Le $27$ s'annule, et nous avons $$\frac{dz}{d\theta }=1.8\times -\frac{2}{3}\times {\theta }^{-\frac{2}{3}-1}-4.4\times (-\frac{1}{5}){\theta }^{-\frac{1}{5}-1};$$ ou, $$\frac{dz}{d\theta }=-1.2{\theta }^{-\frac{5}{3}}+0.88{\theta }^{-\frac{6}{5}};$$ or, $$\frac{dz}{d\theta }=\frac{0.88}{\sqrt[5]{{\theta }^6}}-\frac{1.2}{\sqrt[3]{{\theta }^5}}.$$

Exemple 6.7. Différenciez $v=(3t^2-1.2t+1{)}^3$.

Solution. Une méthode directe pour faire cela sera expliquée plus tard; mais nous pouvons néanmoins le faire maintenant sans aucune difficulté.

En développant le cube, nous obtenons $$v=27t^6-32.4t^5+39.96t^4-23.328t^3+13.32t^2-3.6t+1;$$ donc $$\frac{dv}{dt}=162t^5-162t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6.$$

Exemple 6.8. Différenciez $y=(2x-3)(x+1{)}^2$.

Solution. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align} ou, plus simplement, développez et dérivez ensuite.

Exemple 6.9. Différenciez $y=0.5x^3(x-3)$.

Solution. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}

Mêmes remarques que pour l'exemple précédent.

Exemple 6.10. Différenciez $w=(\theta +{\displaystyle \frac{1}{\theta }})(\sqrt{\theta }+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\theta }}})$.

Solution. Cela peut être écrit $$w=(\theta +{\theta }^{-1})({\theta }^{\frac{1}{2}}+{\theta }^{-\frac{1}{2}}).$$ \begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}

Cela, à nouveau, pourrait être obtenu plus simplement en multipliant d'abord les deux facteurs, puis en dérivant par la suite. Cela n'est cependant pas toujours possible; voir, par exemple, l'Exemple 15.8, dans lequel la règle pour différencier un produit doit être utilisée.

Exemple 6.11. Différenciez $y={\displaystyle \frac{a}{1+a\sqrt{x}+a^{2}x}}$.

Solution. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}

Exemple 6.12. Différenciez $y={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$.

Solution. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)2x-x^2\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

Exemple 6.13. Différenciez $y={\displaystyle \frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}}$.

Solution. Sous forme indexée, $y={\displaystyle \frac{a+x^{\frac{1}{2}}}{a-x^{\frac{1}{2}}}}$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(a-x^{\frac{1}{2}})(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})-(a+x^{\frac{1}{2}})(-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})}{(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2}=\frac{a-x^{\frac{1}{2}}+a+x^{\frac{1}{2}}}{2(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2{x}^{\frac{1}{2}}};$$ donc $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{(a-\sqrt{x}{)}^2\sqrt{x}}.$$

Exemple 6.14. Différenciez $$\theta =\frac{1-a\sqrt[3]{t^2}}{1+a\sqrt[2]{t^3}}.$$

Solution. Maintenant \begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}

Exemple 6.15. Un réservoir de section carrée a des côtés inclinés à un angle de ${45}^{\circ }$ avec la verticale. Le côté du fond mesure $200$ pieds. Trouvez une expression pour la quantité entrant ou sortant lorsque la profondeur de l'eau varie de $1$ pied; trouvez ensuite, en gallons, la quantité retirée à l'heure lorsque la profondeur est réduite de $14$ à $10$ pieds en $24$ heures.

Le volume d'un tronc de pyramide (voir la figure suivante) de hauteur $H$, et de bases $A$ et $a$, est $V={\displaystyle \frac{H}{3}}(A+a+\sqrt{Aa})$.

Solution. Il est facile de voir que, la pente étant ${45}^{\circ }$, si la profondeur est $h$, la longueur du côté de la surface carrée de l'eau est de $200+2h$ pieds (voir la figure suivante), de sorte que le volume d'eau est $$\frac{h}{3}[{200}^2+(200+2h{)}^2+200(200+2h)]=40,000h+400h^2+\frac{4h^3}{3}.$$

${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=40,000+800h+4h^2=$ pieds cubes par pied de variation de profondeur. Le niveau moyen, de $14$ à $10$ pieds, est de $12$ pieds, lorsque $h=12$, ${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=50,176$ pieds cubes.

Gallons par heure correspondant à une variation de profondeur de $4$ pieds en $24$ heures $={\displaystyle \frac{4\times 50,176\times 6.25}{24}}=52,267$ gallons.

Exemple 6.16. La pression absolue, en atmosphères, $P$, de la vapeur saturée à la température $T$ mesurée en degrés Celsius est donnée par Dulong comme étant $P={\left({\displaystyle \frac{40+T}{140}}\right)}^5$ tant que $T$ est supérieur à $80{}^{\circ }$C. Trouvez le taux de variation de la pression avec la température à $100{}^{\circ }$C.

Solution. Développez le numérateur par le théorème binomial (voir l'appendice). $$P=\frac{1}{{140}^5}({40}^5+5\times {40}^{4}T+10\times {40}^3{T}^2+10\times {40}^2{T}^3+5\times 40T^4+T^5);$$

donc \begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align} quand $T=100$ cela devient $0.036$ atmosphère par degré de variation de température.