Reglas De Suma, Diferencia, Producto Y Cociente

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Las Reglas de Suma y Diferencia

Hemos aprendido a diferenciar funciones algebraicas simples tales como \(x^2 + c\) o \(ax^4\), y ahora tenemos que considerar cómo abordar la suma de dos o más funciones.

Por ejemplo, sea \[y = (x^2+c) + (ax^4+b);\] ¿cuál será su \(\dfrac{dy}{dx}\)? ¿Cómo debemos abordar este nuevo trabajo?

La respuesta a esta pregunta es bastante simple: simplemente diferéncialos, uno tras otro, así: \[\dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3.\quad (\text{Resp}.)\]

Si tienes alguna duda de si esto es correcto, intenta un caso más general, trabajándolo desde primeros principios. Y esta es la forma.

Sea \(y = u+v\), donde \(u\) es cualquier función de \(x\), y \(v\) es cualquier otra función de \(x\). Entonces, dejando que \(x\) aumente a \(x+dx\), \(y\) aumentará a \(y+dy\); y \(u\) aumentará a \(u+du\); y \(v\) a \(v+dv\).

Y tendremos: \[y+dy = u+du + v+dv.\] Restando el original \(y = u+v\), obtenemos \[dy = du+dv,\] y dividiendo todo por \(dx\), obtenemos: \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}.\]

Esto justifica el procedimiento. Se diferencia cada función por separado y se suman los resultados. A esto se le llama la Regla de la Suma.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u+v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}}\tag{Regla de la Suma}\]

Ejemplo 6.1. Si ahora tomamos el ejemplo del párrafo anterior, y ponemos los valores de las dos funciones, tendremos, usando la notación muestra \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ &= 2x + 4ax^3, \end{align}\] exactamente como antes.

Si hubiera tres funciones de \(x\), que podemos llamar \(u\), \(v\) y \(w\), de modo que \[\begin{align} y &= u+v+w; \end{align}\] entonces \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align}\]

En cuanto a la resta, sigue de inmediato; porque si la función \(v\) hubiera tenido por sí misma un signo negativo, su derivada también sería negativa; así que al diferenciar \[\begin{align} y &= u-v, \end{align}\] obtendríamos \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align}\] Esto se llama la Regla de la Diferencia. \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u-v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-\dfrac{dv}{dx}}\tag{Regla de la Diferencia}\]

La Regla del Producto

Cuando llegamos a tratar con Productos, la cosa no es tan simple.

Supongamos que nos pidieron diferenciar la expresión \[y = (x^2+c) \times (ax^4+b),\] ¿qué debemos hacer? El resultado ciertamente no será \(2x \times 4ax^3\); porque es fácil ver que ni \(c \times ax^4\), ni \(x^2 \times b\), habrían formado parte de ese producto.

Ahora hay dos formas en las que podemos trabajar.

Hacemos primero la multiplicación y, una vez terminada, entonces diferenciamos.

Por lo tanto, multiplicaremos \(x^2 + c\) y \(ax^4 + b\).

Esto da \[ax^6 + acx^4 + bx^2 + bc.\]

Ahora diferenciamos, y obtenemos: \[\dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx.\]

Volviendo a los primeros principios, consideremos la ecuación \[y = u \times v;\] donde \(u\) es una función de \(x\), y \(v\) es cualquier otra función de \(x\). Entonces, si \(x\) crece hasta ser \(x+dx\); y \(y\) hasta ser \(y+dy\); y \(u\) se convierte en \(u+du\), y \(v\) en \(v+dv\), tendremos: \[\begin{align} y + dy &= (u + du) \times (v + dv) \\ &= u \cdot v + u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv. \end{align}\]

Ahora \(du \cdot dv\) es una cantidad pequeña del segundo orden de pequeñez, por lo tanto en el límite puede ser descartado, dejando \[y + dy = u \cdot v + u \cdot dv + v \cdot du.\]

Entonces, restando el original \(y = u\cdot v\), nos queda \[dy = u \cdot dv + v \cdot du;\] y, dividiendo todo por \(dx\), obtenemos el resultado: \[\dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}.\]

Esto muestra que nuestras instrucciones serán las siguientes: Para diferenciar el producto de dos funciones, multiplica cada función por la derivada de la otra, y suma juntos los dos productos así obtenidos. Esto se llama la Regla del Producto.

Debes notar que este proceso implica lo siguiente: Trata \(u\) como constante mientras diferencias \(v\); luego trata \(v\) como constante mientras diferencias \(u\); y toda la derivada \(\dfrac{dy}{dx}\) será la suma de estos dos tratamientos.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=u\times v\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}}\tag{Regla del Producto}\]

Ahora, habiendo encontrado esta regla, aplícala al ejemplo concreto que se consideró anteriormente.

Ejemplo 6.2. Queremos diferenciar el producto \[(x^2 + c) \times (ax^4 + b).\]

Llámese \((x^2 + c) = u\); y \((ax^4 + b) = v\).

Entonces, por la regla general recién establecida, podemos escribir: \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \end{align}\] \[\dfrac{dy}{dx}= 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx,\]

exactamente como antes.

La Regla del Cociente

Por último, tenemos que diferenciar cocientes.

Piense en este ejemplo, \(y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}\). En tal caso, no sirve de nada intentar trabajar la división de antemano, porque \(x^2 + a\) no dividirá en \(bx^5 + c\), ni tienen ningún factor común. Así que no queda más remedio que volver a los primeros principios, y encontrar una regla.

Pongamos entonces \[y = \frac{u}{v};\] donde \(u\) y \(v\) son dos funciones diferentes de la variable independiente \(x\). Entonces, cuando \(x\) se convierte en \(x + dx\), \(y\) se convertirá en \(y + dy\); y \(u\) se convertirá en \(u + du\); y \(v\) se convertirá en \(v + dv\). Así que entonces \[y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}.\] Ahora realice la división algebraica, de esta manera:

imagen

Como ambos restos son cantidades pequeñas del segundo orden, pueden ser ignorados, y la división puede detenerse aquí, ya que cualquier resto adicional sería de magnitud aún menor.

Así que hemos obtenido: \[y + dy = \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u\cdot dv}{v^2};\] lo que puede escribirse como \[= \dfrac{u}{v} + \dfrac{v\cdot du - u\cdot dv}{v^2}.\] Ahora reste el original \(y = \dfrac{u}{v}\), y nos queda: \[dy = \dfrac{v\cdot du - u\cdot dv}{v^2};\] por lo tanto, \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}.\]

Un enfoque diferente para obtener la Regla del Cociente es escribir el cociente \[y=\frac{u}{v}\] como \[u=yv.\] Si diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\), por la Regla del Producto obtenemos \[\frac{du}{dx}=y\frac{dv}{dx}+v\frac{dy}{dx}.\] Resolviendo para \(\dfrac{dy}{dx}\) obtenemos \[\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}-y\dfrac{dv}{dx}}{v}\] Ahora si hacemos la sustitución \(y=\dfrac{u}{v}\) en el lado derecho de la fórmula anterior, obtenemos \[\begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{v}\dfrac{dv}{dx}}{v} \end{align}\] o \[\begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}, \end{align}\] como antes.

Esto nos da nuestras instrucciones sobre cómo diferenciar un cociente de dos funciones. Multiplica la función divisor por la derivada de la función dividendo; luego multiplica la función dividendo por la derivada de la función divisor; y resta. Finalmente, divide por el cuadrado de la función divisor. Esto se llama la Regla del Cociente.

\[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{y=\dfrac{u}{v}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}}\tag{Regla del Cociente}\]

Ejemplo 6.3. Volviendo a nuestro ejemplo \(y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}\),

escribamos \[bx^5 + c = u;\] y \[x^2 + a = v.\]

Entonces \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad {(\text{Respuesta}.)} \end{align}\]

El cálculo de cocientes es a menudo tedioso, pero no hay nada difícil en ello.

Se proporcionan algunos ejemplos adicionales completos más adelante.

 

Ejemplo 6.4. Diferenciar \(y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}\).

Solución. Al ser una constante, \(\dfrac{a^2}{b^2}\) se desvanece, y tenemos \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} \times 3 \times x^{3-1} - \frac{a^2}{b} \times 1 \times x^{1-1}.\]

Pero \(x^{1-1} = x^0 = 1\); así que obtenemos: \[\frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}.\]

Ejemplo 6.5. Diferenciar \(y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}\).

Solución. Poniendo \(x\) en forma de índice, obtenemos \[y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}.\]

Ahora \[\frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} \times \dfrac{3}{2} \times x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} \times (-1) \times x^{-1-1};\] o, \[\frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.\]

Ejemplo 6.6. Diferenciar \(z = 1.8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27\).

Solución. Esto se puede escribir: \(z= 1.8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4.4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27\).

El \(27\) desaparece, y tenemos \[\frac{dz}{d\theta} = 1.8 \times -\dfrac{2}{3} \times \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4.4 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1};\] o, \[\frac{dz}{d\theta} = -1.2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0.88\, \theta^{-\frac{6}{5}};\] o, \[\frac{dz}{d\theta} = \frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}.\]

Ejemplo 6.7. Diferenciar \(v = (3 t^2 - 1.2 t + 1)^3\).

Solución. Se explicará una forma directa de hacer esto más adelante; pero podemos manejarlo ahora sin ninguna dificultad.

Desarrollando el cubo, obtenemos \[v = 27 t^6 - 32.4 t^5 + 39.96 t^4 - 23.328 t^3 + 13.32 t^2 - 3.6 t + 1;\] por lo tanto \[\frac{dv}{dt} = 162 t^5 - 162 t^4 + 159.84 t^3 - 69.984 t^2 + 26.64 t - 3.6.\]

Ejemplo 6.8. Diferenciar \(y = (2x - 3)(x + 1)^2\).

Solución. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx}+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}+(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] + (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr]\\ & = 2(x + 1)(3x - 2); \end{align}\] o, más simplemente, multiplica y luego diferencia.

Ejemplo 6.9. Diferenciar \(y = 0.5 x^3(x-3)\).

Solución. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align}\]

Mismas observaciones que en el ejemplo anterior.

Ejemplo 6.10. Diferenciar \(w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\).

Solución. Esto se puede escribir \[w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}).\] \[\begin{align} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\  &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\  &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\&= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{align}\]

Esto, nuevamente, podría obtenerse más fácilmente multiplicando primero los dos factores, y diferenciando después. Sin embargo, esto no siempre es posible; véase, por ejemplo, el Ejemplo 15.8, en el que la regla para diferenciar un producto debe ser utilizada.

Ejemplo 6.11. Diferenciar \(y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}\).

Solución. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align}\]

Ejemplo 6.12. Diferenciar \(y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}\).

Solución. \[\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}.\]

Ejemplo 6.13. Diferenciar \(y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}\).

Solución. En la forma indexada, \(y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}\). \[\frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}};\] por lo tanto \[\frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}.\]

Ejemplo 6.14. Diferenciar \[\theta = \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}.\]

Solución. Ahora \[\begin{align} \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \\[9pt] \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{{t^3}})^2}. \end{align}\]

Ejemplo 6.15. Un depósito de sección transversal cuadrada tiene lados inclinados a un ángulo de \(45^\circ\) con la vertical. El lado del fondo es \(200\) pies. Encuentra una expresión para la cantidad que entra o sale cuando la profundidad de agua varía en \(1\) pie; por lo tanto encuentra, en galones, la cantidad retirada por hora cuando la profundidad se reduce de \(14\) a \(10\) pies en \(24\) horas.

El volumen de un tronco de pirámide (véase la figura siguiente) de altura \(H\), y de bases \(A\) y \(a\), es \(V = \dfrac{H}{3} \left(A + a + \sqrt{Aa} \right)\).

 

Solución. Se ve fácilmente que, siendo la pendiente de \(45^\circ\), si la profundidad es \(h\), la longitud del lado de la superficie cuadrada del agua es \(200 + 2h\) pies (véase la figura siguiente), de modo que el volumen de agua es \[\dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40,000 h + 400 h^2 + \dfrac{4 h^3}{3}.\]

 

\(\dfrac{dV}{dh} = 40,000 + 800h + 4h^2 = {}\) pies cúbicos por pie de variación de profundidad. El nivel promedio desde \(14\) hasta \(10\) pies es \(12\) pies, cuando \(h = 12\), \(\dfrac{dV}{dh} = 50,176\) pies cúbicos.

Galones por hora correspondientes a un cambio de profundidad de \(4\) ft en \(24\) horas \({} = \dfrac{4 \times 50,176 \times 6.25}{24} = 52,267\) galones.

Ejemplo 6.16. La presión absoluta, en atmósferas, \(P\), del vapor saturado a la temperatura \(T\) medida en Centígrados es dada por Dulong como \(P = \left( \dfrac{40 + T}{140} \right)^5\) mientras que \(T\) esté por encima de \(80\,^\circ\)C. Encuentra la tasa de variación de la presión con la temperatura a \(100\,^\circ\)C.

Solución. Expande el numerador usando el teorema binomial (ver el apéndice). \[P = \frac{1}{140^5}\left (40^5 + 5\times40^4 T+ 10 \times 40^3 T^2 + 10 \times 40^2 T^3 + 5 \times 40 T^4 + T^5\right);\]

por lo tanto \[\begin{align} \dfrac{dP}{dT} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\left(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 T + 30 \times 40^2 T^2 + 20 \times 40 T^3 + 5 T^4\right), \end{align}\] cuando \(T = 100\) esto se convierte en \(0.036\) atmósfera por grado cambio de temperatura.

Ejercicios

Ejercicio 6.1. Diferenciar

\(u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb\).

\(y = ax^2 + bx + c\).

\(y = (x + a)^2\).

\(y = (x + a)^3\).

 

Respuesta

(1) \(1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \ldots\).

 

(2) \(2ax + b\).

(3) \(2x + 2a\).

(4) \(3x^2 + 6ax + 3a^2\).

 

 

Solución

(1)

 

\[\begin{align} & u=1+x+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\cdots \\ & \frac{d u}{d x}=1+x+\frac{x^{2}}{1 \times 2}+\frac{x^{3}}{1 \times 2 \times 3}+\cdots=u \end{align}\]

(2)

\[\begin{align} & y=a x^{2}+b x+c \\ & \frac{d y}{d x}=2 a x+b \end{align}\]

(3)

\[\begin{align} & y=(x+a)^{2} \\ & y=x^{2}+2 a x+a^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=2 x+2 a=2(x+a) \end{align}\]

(4)

\[\begin{align} y & =(x+a)^{3} \\ y & =x^{3}+3 x^{2} a+3 x a+a^{3} \\ \frac{d y}{d x} & =3 x^{2}+6 x a+3 a^{2} \\ & =3\left(x^{2}+2 a x+a^{2}\right) \\ & =3(x+a)^{2} \end{align}\]

 

Ejercicio 6.2. Si \(w = at - \frac{1}{2}bt^2\), encuentra \(\dfrac{dw}{dt}\).

 

Respuesta

\(\dfrac{dw}{dt} = a - bt\).

 

 

Solución

 

\[\begin{align} w & =a t-\frac{1}{2} b t^{2} \\ \frac{d w}{d t} & =a-b t \end{align}\]

 

Ejercicio 6.3. Encuentra la derivada de \[y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}).\]

 

Respuesta

\(\dfrac{dy}{dx} = 2x\).

 

 

Solución

\[y=(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1})\]

 

Método 1) Usando la Regla del Producto, obtenemos

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =1 \times(x-\sqrt{-1})+1 \times(x+\sqrt{-1}) \\ & =2 x \end{align}\]

Método 2) Primero, simplifiquemos la expresión \[\begin{align} y & =(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1}) \\ & =x^{2}-(\sqrt{-1})^{2} \\ & =x^{2}-(-1)=x^{2}+1 \end{align}\] Ahora podemos diferenciarla fácilmente: \[\frac{d y}{d x} =2 x\]

 

Ejercicio 6.4. Diferenciar \[y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3).\]

 

Respuesta

\(14110x^4 - 65404x^3 - 2244x^2 + 8192x + 1379\).

 

 

Solución

\[y=\left(197 x-34 x^{2}\right) \times\left(7+22 x-83 x^{3}\right)\] Método a) Usar la Regla del Producto \[\begin{gathered} \frac{d y}{d x}=(197-68 x)\left(7+22 x-83 x^{3}\right)+\left(197 x-34 x^{2}\right)\left(22-249 x^{2}\right) \\ =1379+4334 x-16351 x^{3}-476 x-1496 x^{2}+5644 x^{4} \\ +4334 x-49053 x^{3}-748 x^{2}+8466 x^{4} \end{gathered}\] Por lo tanto,

 

\[\frac{d y}{d x}=14110 x^{4}-65404 x^{3}-22404 x^{2}+8192 x+1379\]

Método b) Expande la expresión dada y luego diferencia

\[\begin{align} y & =\left(197 x-34 x^{2}\right)\left(7+22 x-83 x^{3}\right) \\ & =2822 x^{5}-16351 x^{4}-748 x^{3}+4096 x^{2}+1379 x \\ \frac{d y}{d x} & =14110 x^{4}-65404 x^{3}-2244 x^{2}+8192 x+1379 \end{align}\]

 

Ejercicio 6.5. Si \(x = (y + 3) \times (y + 5)\), encuentra \(\dfrac{dx}{dy}\).

 

Respuesta

\(\dfrac{dx}{dy} = 2y + 8\).

 

 

Solución

\[x=(y+3)(y+5)\]

 

Usando la Regla del Producto, obtenemos: \[\begin{align} \frac{d x}{d y}&=\frac{d(y+3)}{dy}(y+5)+\frac{d(y+5)}{dy}(y+3) \\ &=1(y+5)+1(y+3)\\ & =2 y+8 \end{align}\]

 

Ejercicio 6.6. Diferenciar \(y = 1.3709x \times (112.6 + 45.202x^2)\).

 

Respuesta

\(185.9022654x^2 + 154.36334\).

 

 

Solución

 

\[\begin{gathered} y=1.3709 x \times\left(112.6+45.202 x^{2}\right) \\ \frac{d y}{d x}=1.3709\left(112.6+45.202 x^{2}\right)+1.3709 x(90.404 x) \\ =154.36334+61.9674218 x^{2}+123.9348436 x^{2} \\ =185.9022654 x^{2}+154.36334 \end{gathered}\]

 

Encuentra las derivadas de

Ejercicio 6.7. \(y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}\).

 

Respuesta

\(\dfrac{-5}{(3x + 2)^2}\).

 

 

Solución

 

\[y=\frac{2 x+3}{3 x+2}\]

Usando la Regla del Cociente, obtenemos:

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{\dfrac{d(2x+3)}{dx}(3x+2)-\dfrac{d(3x+2)}{dx}(2x+3)}{(3x+2)^2}\\ &=\frac{2(3 x+2)-3(2 x+3)}{(3 x+2)^{2}} \\ & =-\frac{5}{(3 x+2)^{2}} \end{align}\]

 

Ejercicio 6.8. \(y = \dfrac{1 + x + 2x^2 + 3x^3}{1 + x + 2x^2}\).

 

Respuesta

\(\dfrac{6x^4 + 6x^3 + 9x^2}{(1 + x + 2x^2)^2}\).

 

 

Solución

 

\[y=\frac{1+x+2 x^{2}+3 x^{3}}{1+x+2 x^{2}}\] Usando la Regla del Cociente, obtenemos

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & = \frac{\dfrac{d(1+x+2 x^{2}+3 x^{3})}{dx}\left(1+x+2 x^{2}\right)-\dfrac{d(1+x+2 x^{2})}{dx}(1+x+2 x^{2}+3 x^{3})}{\left(1+x+2 x^{2}\right)^2}\\ &=\frac{\left(1+4 x+9 x^{2}\right)\left(1+x+2 x^{2}\right)-(1+4 x)\left(1+x+2 x^{2}+3 x^{3}\right)}{(1+x+2 x)^{2}} \\ & =\frac{6 x^{4}+6 x^{3}+9 x^{2}}{(1+x+2 x)^{2}} \end{align}\]

 

Ejercicio 6.9. \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\).

 

Respuesta

\(\dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}\).

 

 

Solución

 

\[\begin{gathered} y=\frac{a x+b}{c x+d} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{a(c x+d)-c(a x+b)}{(c x+d)^{2}} \\ =\frac{a d-c b}{(c x+d)^{2}} \end{gathered}\]

 

Ejercicio 6.10. \(y = \dfrac{x^n + a}{x^{-n} + b}\).

 

Respuesta

\(\dfrac{anx^{-n-1} + bnx^{n-1} + 2nx^{-1}}{(x^{-n} + b)^2}\).

 

 

Solución

\[\begin{align} \frac{dy}{d x}&= \frac{n x^{n-1}\left(x^{-n}+b\right)-(-n) x^{-n-1}\left(x^{n}+a\right)}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \\ &= \frac{n x^{-1}+n b x^{n-1}+n x^{-1}+a n x^{-n-1}}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \\ &= \frac{a n x^{-n-1}+b n x^{n-1}+2 n x^{-1}}{\left(x^{-n}+b\right)^{2}} \end{align}\]

 

Ejercicio 6.11. La temperatura \(T\) del filamento de una lámpara eléctrica incandescente está conectada con la corriente que pasa a través de la lámpara por la relación \[C = a + b T + c T^2.\] Encuentra una expresión que dé la variación de la corriente correspondiente a una variación de temperatura.

 

Respuesta

\(b + 2 c T\).

 

 

Solución

 

\[\begin{align} C&=a+b T+c T^{2} \\ \frac{d C}{d T}&=b+2 c T \end{align}\]

 

Ejercicio 6.12. Las siguientes fórmulas han sido propuestas para expresar la relación entre la resistencia eléctrica \(R\) de un alambre a la temperatura \(T\) medida en \(^\circ\)C., y la resistencia \(R_0\) de ese mismo alambre a \(0\) centígrados, \(a\), \(b\), \(c\) siendo constantes. \[\begin{align} R &= R_0\left(1 + a T + bT^2\right). \\ R &= R_0\left(1 + a T + b\sqrt{T}\right). \\ R &= R_0\left(1 + a T + bT^2\right)^{-1}. \end{align}\] Encuentra la tasa de variación de la resistencia respecto a la temperatura según lo dado por cada una de estas fórmulas.

 

Respuesta

\(R_0(a + 2 b T)\),\(R_0 \left(a + \dfrac{b}{2\sqrt{T}}\right)\), \(-\dfrac{R_0(a + 2bT)}{(1 + a T + b T^2)^2}\)o\(\dfrac{R^2 (a + 2 b T)}{R_0}\).

 

 

Solución

Si \(R = R_0\left(1 + a T + bT^2\right)\): \[\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d\left\{R_{0}\left(1+a T+b T^{2}\right)\right\}}{d T}\\ &=R_0\ \frac{d\left(1+a T+b T^{2}\right)}{d T}\\ &=R_{0}\,(a+2 b T) \end{align}\]

 

Si \(R=R_0\left(1 + a T + b\sqrt{T}\right)\)

\[\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d\left\{R_{0}\left(1+a T+b T^{\frac{1}{2}}\right)\right\}}{d T}\\ &= R_0 \frac{d\left(1+a T+b T^{\frac{1}{2}}\right)}{d T}\\ &=R_{0}\left(a+\frac{b}{2} T^{-\frac{1}{2}}\right)\\ &=R_{0}\left(a+\frac{b}{2 \sqrt{T}}\right) \end{align}\]

Si \(R=R_0\left(1 + a T + bT^2\right)^{-1}\) \[\begin{align} \frac{d R}{d T}&=\frac{d}{d T}\left(\frac{R_{0}}{1+a T+b T^{2}}\right)\\ &=R_{0} \frac{-(a+2 b T)}{\left(1+a T+b T^{2}\right)^{2}} \end{align}\]

Ya que \(R=\dfrac{R_{0}}{\left(1+a T+b T^{2}\right)}\), el resultado también puede escribirse como

\[\frac{d R}{d T}=-\frac{R^{2}(a+2 b T)}{R_{0}}\]

 

 

Ejercicio 6.13. Se ha encontrado que la fuerza electromotriz \(E\) de un cierto tipo de celda estándar varía con la temperatura \(T\) según la relación \[E = 1.4340 \bigl[1 - 0.000814(T-15)+ 0.000007(T-15)^2\bigr] \text{ voltios}.\] Encuentra el cambio de la fuerza electromotriz por grado, a \(15\,^\circ\)C, \(20\ ^\circ\)C y \(25\,^\circ\)C.

 

Respuesta

\(1.4340(0.000014 T - 0.001024)\),\(-0.00117\),\(-0.00107\),\(-0.00097\).

 

 

Solución

 

\[E=1.4340\left[1-0.000814(T-15)+0.000007(T-15)^{2}\right]\] o \[E=1.4340\left[-0.000814 T+0.01221+0.000007\left(T^{2}-30 T+225\right)\right]\] Por lo tanto,

\[\begin{align} & \frac{d E}{d T}=1.4340[-0.000814-0.00021+0.000014 T] \\ & =1.4340[-0.001024+0.000014 T] \end{align}\]

Cuando \(T=15\),

\[\frac{d E}{d T}=-0.001167\]

Cuando \(T=20\),

\[\frac{d E}{d T}=-0.001067\]

Cuando \(T=25\),

\[\frac{d E}{d T}=-0.000967\]

 

Ejercicio 6.14. Se ha encontrado que la fuerza electromotriz necesaria para mantener un arco eléctrico de longitud \(l\) con una corriente de intensidad \(i\) es \[E = a + bl + \frac{c + kl}{i},\] donde \(a\), \(b\), \(c\), \(k\) son constantes.

Encuentra una expresión para la variación de la fuerza electromotriz (a) con respecto a la longitud del arco; (b) con respecto a la intensidad de la corriente.

 

Respuesta

\(\dfrac{dE}{dl} = b + \dfrac{k}{i}\),\(\dfrac{dE}{di} = -\dfrac{c + kl}{i^2}\).

 

 

Solución

\[E =a+b l+\frac{c+k l}{i}\] La variación de la fuerza electromotriz con respecto a la longitud del arco: \[\frac{d E}{d l} =b+\frac{k}{i}\]

 

Para encontrar la variación de la fuerza electromotriz respecto a la corriente o \(\dfrac{d E}{d i}\), reescribamos \(E\) como \[E=a+b l+(c+k l) i^{-1}.\] Entonces \[\begin{align} \frac{d E}{d i} & =-(c+k l) i^{-2} \\ & =-\frac{c+k l}{i^{2}} \end{align}\]

 

 

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