قواعد جمع، تفاضل، ضرب و خارج قسمت

قوانین مجموع و تفاضل

ما یاد گرفته‌ایم که چگونه توابع جبری ساده‌ای مانند $x^2+c$ یا $a{x}^4$ را مشتق بگیریم، و اکنون باید بررسی کنیم که چگونه با مجموع دو یا چند تابع برخورد کنیم.

برای مثال، فرض کنیم $$y=(x^2+c)+(a{x}^4+b);$$ آنگاه ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ آن چه خواهد بود؟ چگونه باید این کار جدید را انجام دهیم؟

پاسخ این پرسش کاملاً ساده است: فقط آن‌ها را یکی پس از دیگری مشتق بگیرید، به این صورت: $$\frac{dy}{dx}=2x+4a{x}^3.(\text{پاسخ})$$

اگر شک دارید که آیا این درست است، یک حالت کلی‌تر را امتحان کنید، و آن را از اصول اولیه حل کنید. و روش کار این است.

فرض کنید $y=u+v$، که در آن $u$ تابعی دلخواه از $x$، و $v$ تابعی دلخواه دیگر از $x$ است. سپس، با افزایش $x$ به $x+dx$، $y$ به $y+dy$ افزایش می‌یابد؛ و $u$ به $u+du$ افزایش می‌یابد؛ و $v$ به $v+dv$ افزایش می‌یابد.

و خواهیم داشت: $$y+dy=u+du+v+dv.$$ با کاستن مقدار اولیه $y=u+v$، به دست می‌آوریم $$dy=du+dv,$$ و با تقسیم بر $dx$، نتیجه می‌گیریم: $$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.$$

این کار روش را توجیه می‌کند. شما هر تابع را جداگانه مشتق می‌گیرید و نتایج را با هم جمع می‌کنید. این قانون، قانون مجموع نامیده می‌شود.

اگر سه تابع از $x$ داشته باشیم، که می‌توانیم آن‌ها را $u$، $v$ و $w$ بنامیم، به طوری که آنگاه

در مورد تفریق، فوراً نتیجه می‌شود؛ زیرا اگر خود تابع $v$ علامت منفی داشته باشد، مشتق آن نیز منفی خواهد بود؛ به طوری که با مشتق‌گیری از به دست می‌آوریم این قانون، قانون تفاضل نامیده می‌شود.

قانون ضرب

وقتی به ضرب‌ها می‌رسیم، موضوع به این سادگی نیست.

فرض کنید از ما خواسته شود عبارت $$y=(x^2+c)\times (a{x}^4+b),$$ را مشتق بگیریم، چه باید بکنیم؟ نتیجه قطعاً $2x\times 4a{x}^3$ نخواهد بود؛ زیرا به راحتی می‌توان دید که نه $c\times a{x}^4$، و نه $x^2\times b$، در آن ضرب در نظر گرفته شده‌اند.

اکنون دو راه برای انجام کار وجود دارد.

ابتدا ضرب را انجام دهید، و پس از ساده‌سازی، مشتق بگیرید.

بر این اساس، $x^2+c$ و $a{x}^4+b$ را در هم ضرب می‌کنیم.

این می‌دهد $$a{x}^6+ac{x}^4+b{x}^2+bc.$$

اکنون مشتق بگیرید، و به دست می‌آوریم: $$\frac{dy}{dx}=6a{x}^5+4ac{x}^3+2bx.$$

به اصول اولیه بازگردید، و معادله $$y=u\times v;$$ را در نظر بگیرید که در آن $u$ تابعی از $x$، و $v$ تابعی دلخواه دیگر از $x$ است. آنگاه، اگر $x$ به $x+dx$ افزایش یابد؛ و $y$ به $y+dy$؛ و $u$ به $u+du$ تبدیل شود، و $v$ به $v+dv$، خواهیم داشت:

اکنون $du\cdot dv$ کمیتی کوچک از مرتبه دوم کوچکی است، و بنابراین در حد می‌توان از آن صرف‌نظر کرد، و باقی می‌ماند $$y+dy=u\cdot v+u\cdot dv+v\cdot du.$$

سپس، با کاستن مقدار اولیه $y=u\cdot v$، باقی می‌ماند $$dy=u\cdot dv+v\cdot du;$$ و با تقسیم بر $dx$، نتیجه را به دست می‌آوریم: $$\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.$$

این نشان می‌دهد که دستورالعمل‌های ما به شرح زیر خواهد بود: برای مشتق‌گیری از حاصل‌ضرب دو تابع، هر تابع را در مشتق دیگری ضرب کنید، و دو حاصل‌ضرب به‌دست‌آمده را با هم جمع کنید. این قانون، قانون ضرب نامیده می‌شود.

باید توجه داشته باشید که این فرآیند معادل زیر است: با $u$ ثابت فرض کردن، از $v$ مشتق بگیرید؛ سپس با $v$ ثابت فرض کردن، از $u$ مشتق بگیرید؛ و کل مشتق ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ برابر مجموع این دو عمل خواهد بود.

اکنون، پس از یافتن این قاعده، آن را برای مثال مشخصی که در بالا بررسی شد به کار ببرید.

قانون خارج‌قسمت

در نهایت، باید از خارج‌قسمت‌ها مشتق بگیریم.

این مثال را در نظر بگیرید، $y={\displaystyle \frac{b{x}^5+c}{x^2+a}}$. در چنین حالتی، تلاش برای انجام تقسیم از قبل بی‌فایده است، زیرا $x^2+a$ بر $b{x}^5+c$ بخش‌پذیر نیست، و همچنین هیچ عامل مشترکی ندارند. بنابراین چاره‌ای جز بازگشت به اصول اولیه و یافتن یک قاعده نیست.

بنابراین قرار می‌دهیم $$y=\frac{u}{v};$$ که در آن $u$ و $v$ دو تابع متفاوت از متغیر مستقل $x$ هستند. آنگاه، وقتی $x$ به $x+dx$ تبدیل شود، $y$ به $y+dy$ تبدیل خواهد شد؛ و $u$ به $u+du$ تبدیل خواهد شد؛ و $v$ به $v+dv$ تبدیل خواهد شد. بنابراین $$y+dy=\frac{u+du}{v+dv}.$$ اکنون تقسیم جبری را به این صورت انجام دهید:

از آنجایی که هر دوی این باقی‌مانده‌ها کمیت‌های کوچکی از مرتبه دوم هستند، می‌توان از آن‌ها صرف‌نظر کرد، و تقسیم می‌تواند در اینجا متوقف شود، چرا که هر باقی‌مانده بعدی از مرتبه‌های کوچک‌تری خواهد بود.

بنابراین به دست آورده‌ایم: $$y+dy=\frac{u}{v}+\frac{du}{v}-\frac{u\cdot dv}{v^2};$$ که می‌توان نوشت $$=\frac{u}{v}+\frac{v\cdot du-u\cdot dv}{v^2}.$$ اکنون مقدار اولیه $y={\displaystyle \frac{u}{v}}$ را کم کنید، و باقی می‌ماند: $$dy=\frac{v\cdot du-u\cdot dv}{v^2};$$ بنابراین، $$\frac{dy}{dx}=\frac{v{\displaystyle \frac{du}{dx}}-u{\displaystyle \frac{dv}{dx}}}{v^2}.$$

یک روش متفاوت برای به‌دست‌آوردن قانون خارج‌قسمت این است که خارج‌قسمت $$y=\frac{u}{v}$$ را به صورت $$u=yv.$$ بنویسیم. اگر از هر دو طرف نسبت به $x$ مشتق بگیریم، با استفاده از قانون ضرب به دست می‌آوریم $$\frac{du}{dx}=y\frac{dv}{dx}+v\frac{dy}{dx}.$$ با حل برای ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ نتیجه می‌دهد $$\frac{dy}{dx}=\frac{{\displaystyle \frac{du}{dx}}-y{\displaystyle \frac{dv}{dx}}}{v}$$ اکنون اگر جایگذاری $y={\displaystyle \frac{u}{v}}$ را در سمت راست فرمول بالا انجام دهیم، به دست می‌آوریم یا مانند قبل.

این به ما دستورالعمل مشتق‌گیری از خارج‌قسمت دو تابع را می‌دهد. تابع مخرج را در مشتق تابع صورت ضرب کنید؛ سپس تابع صورت را در مشتق تابع مخرج ضرب کنید؛ و تفریق کنید. در نهایت بر مربع تابع مخرج تقسیم کنید. این قانون، قانون خارج‌قسمت نامیده می‌شود.

محاسبه خارج‌قسمت‌ها اغلب خسته‌کننده است، اما هیچ چیز دشواری در آن نیست.

چند مثال بیشتر که کاملاً حل شده‌اند در ادامه آورده شده است.

این، مجدداً، می‌توانست با ضرب اول دو عامل و سپس مشتق‌گیری، ساده‌تر به‌دست آید. با این حال، این کار همیشه ممکن نیست؛ برای مثال، به مثال 15.8 مراجعه کنید، که در آن قاعده مشتق‌گیری از ضرب باید استفاده شود.