和、差、积、商法则

例 6.1. 现在，如果我们采用上一段的例子，并代入两个函数的值，使用所示的记号，我们将得到 与之前完全一致。

例 6.2. 我们想对乘积 $$(x^2+c)\times (a{x}^4+b).$$ 进行微分。

令 $(x^2+c)=u$；以及 $(a{x}^4+b)=v$。

然后，根据刚刚建立的一般法则，我们可以写出： $$\frac{dy}{dx}=6a{x}^5+4ac{x}^3+2bx,$$

与之前完全一致。

例 6.3. 回到我们的例子 $y={\displaystyle \frac{b{x}^5+c}{x^2+a}}$，

写出 $$b{x}^5+c=u;$$ 以及 $$x^2+a=v.$$

那么

例 6.4. 对 $y={\displaystyle \frac{a}{b^2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$ 求导。

解. 作为常数，${\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}$ 消失，我们得到 $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{b^2}\times 3\times x^{3-1}-\frac{a^2}{b}\times 1\times x^{1-1}.$$

但 $x^{1-1}=x^0=1$；所以我们得到：$$\frac{dy}{dx}=\frac{3a}{b^2}{x}^2-\frac{a^2}{b}.$$

例 6.5. 对 $y=2a\sqrt{b{x}^3}-{\displaystyle \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x}}-2\sqrt{ab}$ 求导。

解. 将 $x$ 写成指数形式，得到 $$y=2a\sqrt{b}{x}^{\frac{3}{2}}-3b\sqrt[3]{a}{x}^{-1}-2\sqrt{ab}.$$

现在 $$\frac{dy}{dx}=2a\sqrt{b}\times \frac{3}{2}\times x^{\frac{3}{2}-1}-3b\sqrt[3]{a}\times (-1)\times x^{-1-1};$$ 或，$$\frac{dy}{dx}=3a\sqrt{bx}+\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}.$$

例 6.6. 对 $z=1.8\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{{\theta }^2}}}-{\displaystyle \frac{4.4}{\sqrt[5]{\theta }}}-27$ 求导。

解. 这可以写成：$z=1.8{\theta }^{-\frac{2}{3}}-4.4{\theta }^{-\frac{1}{5}}-27$.

$27$ 消失，我们得到 $$\frac{dz}{d\theta }=1.8\times -\frac{2}{3}\times {\theta }^{-\frac{2}{3}-1}-4.4\times (-\frac{1}{5}){\theta }^{-\frac{1}{5}-1};$$ 或，$$\frac{dz}{d\theta }=-1.2{\theta }^{-\frac{5}{3}}+0.88{\theta }^{-\frac{6}{5}};$$ 或，$$\frac{dz}{d\theta }=\frac{0.88}{\sqrt[5]{{\theta }^6}}-\frac{1.2}{\sqrt[3]{{\theta }^5}}.$$

例 6.7. 对 $v=(3t^2-1.2t+1{)}^3$ 求导。

解. 一种直接的方法将在后面解释；但我们现在仍然可以毫无困难地处理它。

展开立方，得到 $$v=27t^6-32.4t^5+39.96t^4-23.328t^3+13.32t^2-3.6t+1;$$ 因此 $$\frac{dv}{dt}=162t^5-162t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6.$$

例 6.8. 对 $y=(2x-3)(x+1{)}^2$ 求导。

解. 或者，更简单的方法是先乘开再求导。

例 6.9. 对 $y=0.5x^3(x-3)$ 求导。

解.

与前例相同的说明。

例 6.10. 对 $w=(\theta +{\displaystyle \frac{1}{\theta }})(\sqrt{\theta }+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\theta }}})$ 求导。

解. 这可以写成 $$w=(\theta +{\theta }^{-1})({\theta }^{\frac{1}{2}}+{\theta }^{-\frac{1}{2}}).$$

同样，这也可以通过先将两个因子相乘，然后再求导来更简单地得到。然而，这并非总是可行；例如，参见例15.8，其中必须使用乘积的求导法则。

例 6.11. 对 $y={\displaystyle \frac{a}{1+a\sqrt{x}+a^{2}x}}$ 求导。

解.

例 6.12. 对 $y={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$ 求导。

解. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)2x-x^2\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

例 6.13. 对 $y={\displaystyle \frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}}$ 求导。

解. 用指数形式表示，$y={\displaystyle \frac{a+x^{\frac{1}{2}}}{a-x^{\frac{1}{2}}}}$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(a-x^{\frac{1}{2}})(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})-(a+x^{\frac{1}{2}})(-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}})}{(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2}=\frac{a-x^{\frac{1}{2}}+a+x^{\frac{1}{2}}}{2(a-x^{\frac{1}{2}}{)}^2{x}^{\frac{1}{2}}};$$ 因此 $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{(a-\sqrt{x}{)}^2\sqrt{x}}.$$

例 6.14. 对 $$\theta =\frac{1-a\sqrt[3]{t^2}}{1+a\sqrt[2]{t^3}}.$$ 求导。

解. 现在

例 6.15. 一个方形横截面的水库，其侧壁与垂直方向成 ${45}^{\circ }$ 角倾斜。底部边长为 $200$ 英尺。求当水深变化 $1$ 英尺时，流入或流出水量的表达式；进而求出，当水深在 $24$ 小时内从 $14$ 英尺降至 $10$ 英尺时，每小时排出的水量（以加仑计）。

棱台（见下图）的体积为 $V={\displaystyle \frac{H}{3}}(A+a+\sqrt{Aa})$，其中 $H$ 为高，$A$ 和 $a$ 为底面积。

解. 容易看出，由于坡度为 ${45}^{\circ }$，如果水深为 $h$，则水面正方形的边长为 $200+2h$ 英尺（见下图），因此水的体积为 $$\frac{h}{3}[{200}^2+(200+2h{)}^2+200(200+2h)]=40,000h+400h^2+\frac{4h^3}{3}.$$

${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=40,000+800h+4h^2=$ 立方英尺每英尺深度变化。从 $14$ 英尺到 $10$ 英尺的平均深度为 $12$ 英尺，当 $h=12$ 时，${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=50,176$ 立方英尺。

对应于 $24$ 小时内深度变化 $4$ 英尺的每小时加仑数 $={\displaystyle \frac{4\times 50,176\times 6.25}{24}}=52,267$ 加仑。

例 6.16. 饱和蒸汽的绝对压力 $P$（以大气压为单位）与温度 $T$（以摄氏度测量）的关系由杜隆给出为 $P={\left({\displaystyle \frac{40+T}{140}}\right)}^5$，只要 $T$ 高于 $80{}^{\circ }$C。求在 $100{}^{\circ }$C 时压力随温度的变化率。

解. 使用二项式定理展开分子（参见附录）。$$P=\frac{1}{{140}^5}({40}^5+5\times {40}^{4}T+10\times {40}^3{T}^2+10\times {40}^2{T}^3+5\times 40T^4+T^5);$$

因此 当 $T=100$ 时，这变为每摄氏度温度变化 $0.036$ 大气压。