La règle de la chaîne

Exemple 9.1. Dériver $y=\sqrt{a+x}$.

Solution. Soit $a+x=u$. $$\frac{du}{dx}=1;y=u^{\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(a+x{)}^{-\frac{1}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{a+x}}.$$

Exemple 9.2. Dériver $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+x^2}}}$.

Solution. Soit $a+x^2=u$. $$\frac{du}{dx}=2x;y=u^{-\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}{u}^{-\frac{3}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(a+x^2{)}^3}}.$$

Exemple 9.3. Dériver $y={(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}})}^a$.

Solution. Soit $m-n{x}^{\frac{2}{3}}+p{x}^{-\frac{4}{3}}=u$. $$\frac{du}{dx}=-\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}};$$ $$y=u^a;\frac{dy}{du}=a{u}^{a-1}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-a{(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^{a-1}(\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}+\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}}).$$

Exemple 9.4. Dériver $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3-a^2}}}$.

Solution. Soit $u=x^3-a^2$. \begin{align} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align}

Exemple 9.5. Dériver $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}}$.

Solution. Écrivez ceci comme $y={\displaystyle \frac{(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}}$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}-(1-x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}}{1+x}.$$

(On peut aussi écrire $y=(1-x{)}^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ et dériver comme un produit.)

En procédant comme dans l'exemple 9.1 ci-dessus, nous obtenons $$\frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}};\text{et}\frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.$$

D'où \begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \end{align} ou $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.$$

Exemple 9.6. Dériver $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^3}{1+x^2}}}$.

Solution. Nous pouvons écrire ceci $$\begin{array}{c}y=x^{\frac{3}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}};\\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\times \frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}.\end{array}$$

En dérivant $(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$, comme montré dans l'exemple (2) ci-dessus, nous obtenons $$\frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}};$$ de sorte que $$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}}-\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}}=\frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2{)}^3}}.$$

Exemple 9.7. Dériver $y={(x+\sqrt{x^2+x+a})}^3$.

Solution. Soit $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$. $$\begin{array}{c}\frac{du}{dx}=1+\frac{d[(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}]}{dx}.\\ y=u^3;\text{et}\frac{dy}{du}=3u^2=3{(x+\sqrt{x^2+x+a})}^2.\end{array}$$

Soit maintenant $(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}=v$ et $(x^2+x+a)=w$. \begin{align} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \end{align} D'où \begin{align} \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align}

Exemple 9.8. Dériver $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}}$.

Solution. Nous obtenons $$y=\frac{(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{3}}}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{3}}}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}.$$  $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{d[(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}]}{dx}+\frac{d[(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}]}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}dx}.$$

Soit $u=(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}$ et $v=(a^2-x^2)$. $$u=v^{-\frac{1}{6}};\frac{du}{dv}=-\frac{1}{6}{v}^{-\frac{7}{6}};\frac{dv}{dx}=-2x.$$ $$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2-x^2{)}^{-\frac{7}{6}}.$$

Soit $w=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}$ et $z=(a^2+x^2)$. $$w=z^{\frac{1}{6}};\frac{dw}{dz}=\frac{1}{6}{z}^{-\frac{5}{6}};\frac{dz}{dx}=2x.$$  $$\frac{dw}{dx}=\frac{dw}{dz}\times \frac{dz}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2+x^2{)}^{-\frac{5}{6}}.$$

D'où $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{7}{6}}}+\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2+x^2{)}^{\frac{5}{6}}};$$  ou $$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3}[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2{)}^7}}+\frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2{)}^5]}}].$$

Exemple 9.9. Dériver $y^n$ par rapport à $y^5$.

Solution.

$$\frac{d(y^n)}{d(y^5)}=\frac{{\displaystyle \frac{d(y^n)}{dy}}}{{\displaystyle \frac{d(y^5)}{dy}}}=\frac{n{y}^{n-1}}{5y^{5-1}}=\frac{n}{5}{y}^{n-5}.$$

Exemple 9.10. Trouver les dérivées première et seconde de $y={\displaystyle \frac{x}{b}}\sqrt{(a-x)x}$.

Solution. \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}.\tag{Règle du produit}

Soit $[(a-x)x{]}^{\frac{1}{2}}=u$ et soit $(a-x)x=w$; alors $u=w^{\frac{1}{2}}$. $$\frac{du}{dw}=\frac{1}{2}{w}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}.$$ \begin{align} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}

D'où $$\frac{dy}{dx}=\frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}+\frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}=\frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.$$

Maintenant \begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}

(Nous aurons besoin de ces deux dernières dérivées plus tard. Voir exercice 11 du chapitre 12.)

Exemple 9.11. Un cylindre dont la hauteur est deux fois le rayon de la base augmente en volume, de sorte que toutes ses parties sont toujours dans les mêmes proportions les unes par rapport aux autres ; c'est-à-dire, à tout moment, le cylindre est similaire au cylindre original. Lorsque le rayon de la base est $r$ pieds, la surface augmente à la vitesse de $20$ pouces carrés par seconde ; à quelle vitesse son volume augmente-t-il à ce moment-là ?¹

Solution. $$\text{Surface}=S=2(\pi r^2)+2\pi r\times 2r=6\pi r^2.$$ $$\text{Volume}=V=\pi r^2\times 2r=2\pi r^3.$$ $$\frac{dS}{dt}=12\pi r\frac{dr}{dt}=20,\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{20}{12\pi r},$$ $$\frac{dV}{dt}=6\pi r^2\frac{dr}{dt}=6\pi r^2\times \frac{20}{12\pi r}=10r.$$

Le volume change à la vitesse de $10r$ pouces cubes.

Exemple 9.12. Si $z=3x^4$;$v={\displaystyle \frac{7}{z^2}}$;$y=\sqrt{1+v}$, trouvez ${\displaystyle \frac{dv}{dx}}$.

Solution. Nous avons $$\frac{dy}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{1+v}};\frac{dv}{dz}=-\frac{14}{z^3};\frac{dz}{dx}=12x^3.$$  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3}=-\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}.$$

Exemple 9.13. Si $t={\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{\theta }}}$;$x=t^3+{\displaystyle \frac{t}{2}}$;$v={\displaystyle \frac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}}$, trouvez ${\displaystyle \frac{dv}{d\theta }}$.

Solution. Puisque $$\frac{dv}{d\theta }=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}\cdot \frac{dt}{d\theta }$$ pour calculer ${\displaystyle \frac{dv}{d\theta }}$, nous devons d'abord trouver ${\displaystyle \frac{dv}{dx}}$, ${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ et ${\displaystyle \frac{dt}{d\theta }}$.

En dérivant $v$ par rapport à $x$ donne \frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}\dfrac{d(7x^{2})}{dx}-7x^{2}\dfrac{d(\sqrt[3]{x-1})}{dx}}{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}} \tag{Règle du quotient} En remplaçant ${\displaystyle \frac{d(7x^2)}{dx}}=14x$ et ${\displaystyle \frac{d(\sqrt[3]{x-1}))}{dx}}={\displaystyle \frac{d((x-1{)}^{\frac{1}{3}})}{dx}}=\frac{1}{3}(x-1{)}^{-\frac{2}{3}}$ dans l'expression ci-dessus, nous obtenons $$\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}(14x)-\frac{7}{3}{x}^2(x-1{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)}^2}$$ Pour simplifier, multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par $3(x-1{)}^{\frac{2}{3}}$ : \begin{align} \frac{dv}{dx} &=\frac{7x\left[2(x-1)^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x(x-1)^{-\frac{2}{3}}\right]}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}\times\frac{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}\\[9pt] &=\frac{7x\left[6(x-1)-x\right]}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}}\\ &=\frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}}. \end{align}

$$x=t^3+\frac{t}{2}\Rightarrow \frac{dx}{dt}=3t^2+\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{1}{5\sqrt{\theta }}=\frac{1}{5}{\theta }^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow \frac{dt}{d\theta }=\frac{1}{5}\times (-\frac{1}{2}){\theta }^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{10\sqrt{{\theta }^3}}$$

Alors $$\begin{array}{c}\frac{dv}{dx}=\frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1{)}^4}};\frac{dx}{dt}=3t^2+\frac{1}{2};\frac{dt}{d\theta }=-\frac{1}{10\sqrt{{\theta }^3}}.\end{array}$$ D'où $$\begin{array}{c}\frac{dv}{d\theta }=-\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})}{30\sqrt[3]{(x-1{)}^4}\sqrt{{\theta }^3}},\end{array}$$ une expression dans laquelle $x$ doit être remplacé par sa valeur, et $t$ par sa valeur en termes de $\theta$.

Exemple 9.14. Si $\theta ={\displaystyle \frac{3a^{2}x}{\sqrt{x^3}}}$;$\omega ={\displaystyle \frac{\sqrt{1-{\theta }^2}}{1+\theta }}$;et $\varphi =\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{\omega \sqrt{2}}}$, trouvez ${\displaystyle \frac{d\varphi }{dx}}$.

Solution. Nous avons $$\theta =3a^2{x}^{-\frac{1}{2}};\omega =\frac{\sqrt{(1-\theta )(1+\theta )}}{1+\theta }=\sqrt{\frac{1-\theta }{1+\theta }};\text{et}\varphi =\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}{\omega }^{-1}.$$ $$\frac{d\theta }{dx}=-\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\frac{d\omega }{d\theta }=-\frac{1}{(1+\theta )\sqrt{1-{\theta }^2}}$$ (voir exemple 9.5); et $$\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{1}{\sqrt{2}{\omega }^2}.$$

De sorte que ${\displaystyle \frac{d\theta }{dx}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}\times {\omega }^2}}\times {\displaystyle \frac{1}{(1+\theta )\sqrt{1-{\theta }^2}}}\times {\displaystyle \frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}}$.

Remplacez maintenant d'abord $\omega$, puis $\theta$ par sa valeur.