A Regra da Cadeia

Exemplo 9.1. Derive $y=\sqrt{a+x}$.

Solução. Seja $a+x=u$. $$\frac{du}{dx}=1;y=u^{\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(a+x{)}^{-\frac{1}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{a+x}}.$$

Exemplo 9.2. Derive $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+x^2}}}$.

Solução. Seja $a+x^2=u$. $$\frac{du}{dx}=2x;y=u^{-\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}{u}^{-\frac{3}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(a+x^2{)}^3}}.$$

Exemplo 9.3. Derive $y={(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}})}^a$.

Solução. Seja $m-n{x}^{\frac{2}{3}}+p{x}^{-\frac{4}{3}}=u$. $$\frac{du}{dx}=-\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}};$$ $$y=u^a;\frac{dy}{du}=a{u}^{a-1}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-a{(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^{a-1}(\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}+\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}}).$$

Exemplo 9.4. Derive $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3-a^2}}}$.

Solução. Seja $u=x^3-a^2$. \begin{align} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align}

Exemplo 9.5. Derive $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}}$.

Solução. Escreva isto como $y={\displaystyle \frac{(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}}$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}-(1-x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}}{1+x}.$$

(Também podemos escrever $y=(1-x{)}^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ e diferenciar como um produto.)

Procedendo como no exemplo 9.1 acima, obtemos $$\frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}};\text{e}\frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.$$

Portanto \begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \end{align} ou $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.$$

Exemplo 9.6. Derive $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^3}{1+x^2}}}$.

Solução. Podemos escrever isto $$\begin{array}{c}y=x^{\frac{3}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}};\\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\times \frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}.\end{array}$$

Diferenciando $(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$, como mostrado no exemplo (2) acima, obtemos $$\frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}};$$ de modo que $$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}}-\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}}=\frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2{)}^3}}.$$

Exemplo 9.7. Derive $y={(x+\sqrt{x^2+x+a})}^3$.

Solução. Seja $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$. $$\begin{array}{c}\frac{du}{dx}=1+\frac{d[(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}]}{dx}.\\ y=u^3;\text{e}\frac{dy}{du}=3u^2=3{(x+\sqrt{x^2+x+a})}^2.\end{array}$$

Agora seja $(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}=v$ e $(x^2+x+a)=w$. \begin{align} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \end{align} Portanto \begin{align} \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align}

Exemplo 9.8. Derive $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}}$.

Solução. Obtemos $$y=\frac{(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{3}}}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{3}}}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}.$$  $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{d[(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}]}{dx}+\frac{d[(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}]}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}dx}.$$

Seja $u=(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}$ e $v=(a^2-x^2)$. $$u=v^{-\frac{1}{6}};\frac{du}{dv}=-\frac{1}{6}{v}^{-\frac{7}{6}};\frac{dv}{dx}=-2x.$$ $$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2-x^2{)}^{-\frac{7}{6}}.$$

Seja $w=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}$ e $z=(a^2+x^2)$. $$w=z^{\frac{1}{6}};\frac{dw}{dz}=\frac{1}{6}{z}^{-\frac{5}{6}};\frac{dz}{dx}=2x.$$  $$\frac{dw}{dx}=\frac{dw}{dz}\times \frac{dz}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2+x^2{)}^{-\frac{5}{6}}.$$

Portanto $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{7}{6}}}+\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2+x^2{)}^{\frac{5}{6}}};$$  ou $$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3}[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2{)}^7}}+\frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2{)}^5]}}].$$

Exemplo 9.9. Derive $y^n$ com respeito a $y^5$.

Solução.

$$\frac{d(y^n)}{d(y^5)}=\frac{{\displaystyle \frac{d(y^n)}{dy}}}{{\displaystyle \frac{d(y^5)}{dy}}}=\frac{n{y}^{n-1}}{5y^{5-1}}=\frac{n}{5}{y}^{n-5}.$$

Exemplo 9.10. Encontre a primeira e segunda derivadas de $y={\displaystyle \frac{x}{b}}\sqrt{(a-x)x}$.

Solução. \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}.\tag{Regra do Produto}

Seja $[(a-x)x{]}^{\frac{1}{2}}=u$ e seja $(a-x)x=w$; então $u=w^{\frac{1}{2}}$. $$\frac{du}{dw}=\frac{1}{2}{w}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}.$$ \begin{align} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}

Portanto $$\frac{dy}{dx}=\frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}+\frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}=\frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.$$

Agora \begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align}

(Precisaremos dessas duas últimas derivadas mais adiante. Veja o exercício 11 do Capítulo 12.)

Exemplo 9.11. Um cilindro cuja altura é duas vezes o raio da base está aumentando em volume, de modo que todas as suas partes mantêm sempre a mesma proporção umas com as outras; ou seja, em qualquer instante, o cilindro é similar ao cilindro original. Quando o raio da base é $r$ feet, a área da superfície está aumentando à taxa de $20$ square inches por segundo; a qual taxa seu volume está aumentando então?¹

Solução. $$\text{Área}=S=2(\pi r^2)+2\pi r\times 2r=6\pi r^2.$$ $$\text{Volume}=V=\pi r^2\times 2r=2\pi r^3.$$ $$\frac{dS}{dt}=12\pi r\frac{dr}{dt}=20,\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{20}{12\pi r},$$ $$\frac{dV}{dt}=6\pi r^2\frac{dr}{dt}=6\pi r^2\times \frac{20}{12\pi r}=10r.$$

O volume muda à taxa de $10r$ cubic inches.

Exemplo 9.12. Se $z=3x^4$;$v={\displaystyle \frac{7}{z^2}}$;$y=\sqrt{1+v}$, encontre ${\displaystyle \frac{dv}{dx}}$.

Solução. Temos $$\frac{dy}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{1+v}};\frac{dv}{dz}=-\frac{14}{z^3};\frac{dz}{dx}=12x^3.$$  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3}=-\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}.$$

Exemplo 9.13. Se $t={\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{\theta }}}$;$x=t^3+{\displaystyle \frac{t}{2}}$;$v={\displaystyle \frac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}}$, encontre ${\displaystyle \frac{dv}{d\theta }}$.

Solução. Como $$\frac{dv}{d\theta }=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}\cdot \frac{dt}{d\theta }$$ para calcular ${\displaystyle \frac{dv}{d\theta }}$, primeiro precisamos encontrar ${\displaystyle \frac{dv}{dx}}$, ${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$, e ${\displaystyle \frac{dt}{d\theta }}$.

Diferenciando $v$ com respeito a $x$ obtém \frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}\dfrac{d(7x^{2})}{dx}-7x^{2}\dfrac{d(\sqrt[3]{x-1})}{dx}}{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^{2}} \tag{Regra do Quociente} Colocando ${\displaystyle \frac{d(7x^2)}{dx}}=14x$ e ${\displaystyle \frac{d(\sqrt[3]{x-1}))}{dx}}={\displaystyle \frac{d((x-1{)}^{\frac{1}{3}})}{dx}}=\frac{1}{3}(x-1{)}^{-\frac{2}{3}}$ na expressão acima, obtemos $$\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}(14x)-\frac{7}{3}{x}^2(x-1{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)}^2}$$ Para simplificar, multiplique tanto o numerador quanto o denominador por $3(x-1{)}^{\frac{2}{3}}$: \begin{align} \frac{dv}{dx} &=\frac{7x\left[2(x-1)^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x(x-1)^{-\frac{2}{3}}\right]}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}\times\frac{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}{3(x-1)^{\frac{2}{3}}}\\[9pt] &=\frac{7x\left[6(x-1)-x\right]}{3(x-1)^{\frac{4}{3}}}\\ &=\frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}}. \end{align}

$$x=t^3+\frac{t}{2}\Rightarrow \frac{dx}{dt}=3t^2+\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{1}{5\sqrt{\theta }}=\frac{1}{5}{\theta }^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow \frac{dt}{d\theta }=\frac{1}{5}\times (-\frac{1}{2}){\theta }^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{10\sqrt{{\theta }^3}}$$

Então $$\begin{array}{c}\frac{dv}{dx}=\frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1{)}^4}};\frac{dx}{dt}=3t^2+\frac{1}{2};\frac{dt}{d\theta }=-\frac{1}{10\sqrt{{\theta }^3}}.\end{array}$$ Portanto $$\begin{array}{c}\frac{dv}{d\theta }=-\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})}{30\sqrt[3]{(x-1{)}^4}\sqrt{{\theta }^3}},\end{array}$$ uma expressão na qual $x$ deve ser substituído por seu valor, e $t$ por seu valor em termos de $\theta$.

Exemplo 9.14. Se $\theta ={\displaystyle \frac{3a^{2}x}{\sqrt{x^3}}}$;$\omega ={\displaystyle \frac{\sqrt{1-{\theta }^2}}{1+\theta }}$;e $\varphi =\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{\omega \sqrt{2}}}$, encontre ${\displaystyle \frac{d\varphi }{dx}}$.

Solução. Obtemos $$\theta =3a^2{x}^{-\frac{1}{2}};\omega =\frac{\sqrt{(1-\theta )(1+\theta )}}{1+\theta }=\sqrt{\frac{1-\theta }{1+\theta }};\text{e}\varphi =\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}{\omega }^{-1}.$$ $$\frac{d\theta }{dx}=-\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\frac{d\omega }{d\theta }=-\frac{1}{(1+\theta )\sqrt{1-{\theta }^2}}$$ (veja exemplo 9.5); e $$\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{1}{\sqrt{2}{\omega }^2}.$$

Portanto ${\displaystyle \frac{d\theta }{dx}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}\times {\omega }^2}}\times {\displaystyle \frac{1}{(1+\theta )\sqrt{1-{\theta }^2}}}\times {\displaystyle \frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}}$.

Substitua agora primeiro $\omega$, depois $\theta$ por seu valor.