链式法则

示例 9.1。对 $y=\sqrt{a+x}$ 求导。

解。 令 $a+x=u$。 $$\frac{du}{dx}=1;y=u^{\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(a+x{)}^{-\frac{1}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{a+x}}.$$

示例 9.2。对 $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+x^2}}}$ 求导。

解。 令 $a+x^2=u$。 $$\frac{du}{dx}=2x;y=u^{-\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}{u}^{-\frac{3}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(a+x^2{)}^3}}.$$

示例 9.3。对 $y={(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}})}^a$ 求导。

解。 令 $m-n{x}^{\frac{2}{3}}+p{x}^{-\frac{4}{3}}=u$。 $$\frac{du}{dx}=-\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}};$$ $$y=u^a;\frac{dy}{du}=a{u}^{a-1}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-a{(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^{a-1}(\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}+\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}}).$$

示例 9.4。对 $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3-a^2}}}$ 求导。

解。 令 $u=x^3-a^2$。

示例 9.5。对 $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}}$ 求导。

解。 将其写成 $y={\displaystyle \frac{(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}}$。 $$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}-(1-x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}}{1+x}.$$

(我们也可以写成 $y=(1-x{)}^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ 并作为乘积求导。)

按照上述示例 9.1 中的方法进行，我们得到 $$\frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}};\text{和}\frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.$$

因此 或 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.$$

示例 9.6。对 $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^3}{1+x^2}}}$ 求导。

解。 我们可以将其写成 $$\begin{array}{c}y=x^{\frac{3}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}};\\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\times \frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}.\end{array}$$

对 $(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$ 求导，如上述示例 (2) 所示，我们得到 $$\frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}};$$ 所以 $$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}}-\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}}=\frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2{)}^3}}.$$

示例 9.7。对 $y={(x+\sqrt{x^2+x+a})}^3$ 求导。

解。 令 $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$。 $$\begin{array}{c}\frac{du}{dx}=1+\frac{d[(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}]}{dx}.\\ y=u^3;\text{和}\frac{dy}{du}=3u^2=3{(x+\sqrt{x^2+x+a})}^2.\end{array}$$

现在令 $(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}=v$ 和 $(x^2+x+a)=w$。 因此

示例 9.8。对 $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}}$ 求导。

解。 我们得到 $$y=\frac{(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{3}}}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{3}}}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}.$$  $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{d[(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}]}{dx}+\frac{d[(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}]}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}dx}.$$

令 $u=(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}$ 和 $v=(a^2-x^2)$。 $$u=v^{-\frac{1}{6}};\frac{du}{dv}=-\frac{1}{6}{v}^{-\frac{7}{6}};\frac{dv}{dx}=-2x.$$ $$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2-x^2{)}^{-\frac{7}{6}}.$$

令 $w=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}$ 和 $z=(a^2+x^2)$。 $$w=z^{\frac{1}{6}};\frac{dw}{dz}=\frac{1}{6}{z}^{-\frac{5}{6}};\frac{dz}{dx}=2x.$$  $$\frac{dw}{dx}=\frac{dw}{dz}\times \frac{dz}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2+x^2{)}^{-\frac{5}{6}}.$$

因此 $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{7}{6}}}+\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2+x^2{)}^{\frac{5}{6}}};$$  或 $$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3}[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2{)}^7}}+\frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2{)}^5]}}].$$

示例 9.9。对 $y^n$ 关于 $y^5$ 求导。

解。

$$\frac{d(y^n)}{d(y^5)}=\frac{{\displaystyle \frac{d(y^n)}{dy}}}{{\displaystyle \frac{d(y^5)}{dy}}}=\frac{n{y}^{n-1}}{5y^{5-1}}=\frac{n}{5}{y}^{n-5}.$$

示例 9.10。求 $y={\displaystyle \frac{x}{b}}\sqrt{(a-x)x}$ 的一阶和二阶导数。

解。

令 $[(a-x)x{]}^{\frac{1}{2}}=u$ 并令 $(a-x)x=w$；则 $u=w^{\frac{1}{2}}$。 $$\frac{du}{dw}=\frac{1}{2}{w}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}.$$

因此 $$\frac{dy}{dx}=\frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}+\frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}=\frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.$$

现在

(我们稍后会用到这两个最后的导数。参见第 12 章的练习 11。)

示例 9.11。一个高度等于底面半径两倍的圆柱体正在增大体积，使得其所有部分始终保持彼此相同的比例；也就是说，在任何时刻，圆柱体都与原始圆柱体相似。当底面半径为 $r$ 英尺时，表面积以每秒 $20$ 平方英寸的速率增加；此时其体积增加的速率是多少？¹

解。 $$\text{面积}=S=2(\pi r^2)+2\pi r\times 2r=6\pi r^2.$$ $$\text{体积}=V=\pi r^2\times 2r=2\pi r^3.$$ $$\frac{dS}{dt}=12\pi r\frac{dr}{dt}=20,\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{20}{12\pi r},$$ $$\frac{dV}{dt}=6\pi r^2\frac{dr}{dt}=6\pi r^2\times \frac{20}{12\pi r}=10r.$$

体积以每秒 $10r$ 立方英寸的速率变化。

示例 9.12. 如果 $z=3x^4$；$v={\displaystyle \frac{7}{z^2}}$；$y=\sqrt{1+v}$，求 ${\displaystyle \frac{dv}{dx}}$。

解答. 我们有 $$\frac{dy}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{1+v}};\frac{dv}{dz}=-\frac{14}{z^3};\frac{dz}{dx}=12x^3.$$  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3}=-\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}.$$

示例 9.13. 如果 $t={\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{\theta }}}$；$x=t^3+{\displaystyle \frac{t}{2}}$；$v={\displaystyle \frac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}}$，求 ${\displaystyle \frac{dv}{d\theta }}$。

解答. 由于 $$\frac{dv}{d\theta }=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}\cdot \frac{dt}{d\theta }$$ 要计算 ${\displaystyle \frac{dv}{d\theta }}$，首先需要求出 ${\displaystyle \frac{dv}{dx}}$、${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ 和 ${\displaystyle \frac{dt}{d\theta }}$。

对 $v$ 关于 $x$ 求导得 将 ${\displaystyle \frac{d(7x^2)}{dx}}=14x$ 和 ${\displaystyle \frac{d(\sqrt[3]{x-1}))}{dx}}={\displaystyle \frac{d((x-1{)}^{\frac{1}{3}})}{dx}}=\frac{1}{3}(x-1{)}^{-\frac{2}{3}}$ 代入上式，得 $$\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt[3]{x-1}(14x)-\frac{7}{3}{x}^2(x-1{)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)}^2}$$ 为简化，将分子和分母同时乘以 $3(x-1{)}^{\frac{2}{3}}$：