قانون زنجیره‌ای

مثال 9.1. از $y=\sqrt{a+x}$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. فرض کنید $a+x=u$. $$\frac{du}{dx}=1;y=u^{\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(a+x{)}^{-\frac{1}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{a+x}}.$$

مثال 9.2. از $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+x^2}}}$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. فرض کنید $a+x^2=u$. $$\frac{du}{dx}=2x;y=u^{-\frac{1}{2}};\frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}{u}^{-\frac{3}{2}}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(a+x^2{)}^3}}.$$

مثال 9.3. از $y={(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}})}^a$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. فرض کنید $m-n{x}^{\frac{2}{3}}+p{x}^{-\frac{4}{3}}=u$. $$\frac{du}{dx}=-\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}};$$ $$y=u^a;\frac{dy}{du}=a{u}^{a-1}.$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-a{(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^{a-1}(\frac{2}{3}n{x}^{-\frac{1}{3}}+\frac{4}{3}p{x}^{-\frac{7}{3}}).$$

مثال 9.4. از $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3-a^2}}}$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. فرض کنید $u=x^3-a^2$.

مثال 9.5. از $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}}$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. این عبارت را به صورت $y={\displaystyle \frac{(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}}$ بنویسید. $$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}-(1-x{)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}}}{1+x}.$$

(همچنین می‌توانیم $y=(1-x{)}^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ بنویسیم و به صورت یک ضرب مشتق بگیریم.)

با ادامه دادن مشابه مثال 9.1 در بالا، به دست می‌آوریم $$\frac{d(1-x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}};\text{and}\frac{d(1+x{)}^{\frac{1}{2}}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.$$

بنابراین یا $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.$$

مثال 9.6. از $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^3}{1+x^2}}}$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. می‌توانیم این را به صورت $$\begin{array}{c}y=x^{\frac{3}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}};\\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\times \frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}.\end{array}$$

با مشتق‌گیری از $(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$، همان‌طور که در مثال (2) در بالا نشان داده شد، به دست می‌آوریم $$\frac{d[(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}]}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}};$$ به طوری که $$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}}-\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2{)}^3}}=\frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2{)}^3}}.$$

مثال 9.7. از $y={(x+\sqrt{x^2+x+a})}^3$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. فرض کنید $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$. $$\begin{array}{c}\frac{du}{dx}=1+\frac{d[(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}]}{dx}.\\ y=u^3;\text{and}\frac{dy}{du}=3u^2=3{(x+\sqrt{x^2+x+a})}^2.\end{array}$$

حال فرض کنید $(x^2+x+a{)}^{\frac{1}{2}}=v$ و $(x^2+x+a)=w$. بنابراین

مثال 9.8. از $y=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}}$ مشتق بگیرید.

راه‌حل. به دست می‌آوریم $$y=\frac{(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{3}}}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{3}}}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}.$$  $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{d[(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}]}{dx}+\frac{d[(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}]}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}dx}.$$

فرض کنید $u=(a^2-x^2{)}^{-\frac{1}{6}}$ و $v=(a^2-x^2)$. $$u=v^{-\frac{1}{6}};\frac{du}{dv}=-\frac{1}{6}{v}^{-\frac{7}{6}};\frac{dv}{dx}=-2x.$$ $$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\times \frac{dv}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2-x^2{)}^{-\frac{7}{6}}.$$

فرض کنید $w=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}$ و $z=(a^2+x^2)$. $$w=z^{\frac{1}{6}};\frac{dw}{dz}=\frac{1}{6}{z}^{-\frac{5}{6}};\frac{dz}{dx}=2x.$$  $$\frac{dw}{dx}=\frac{dw}{dz}\times \frac{dz}{dx}=\frac{1}{3}x(a^2+x^2{)}^{-\frac{5}{6}}.$$

بنابراین $$\frac{dy}{dx}=(a^2+x^2{)}^{\frac{1}{6}}\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{7}{6}}}+\frac{x}{3(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{6}}(a^2+x^2{)}^{\frac{5}{6}}};$$  یا $$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3}[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2{)}^7}}+\frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2{)}^5]}}].$$

مثال 9.9. از $y^n$ نسبت به $y^5$ مشتق بگیرید.

راه‌حل.

$$\frac{d(y^n)}{d(y^5)}=\frac{{\displaystyle \frac{d(y^n)}{dy}}}{{\displaystyle \frac{d(y^5)}{dy}}}=\frac{n{y}^{n-1}}{5y^{5-1}}=\frac{n}{5}{y}^{n-5}.$$

مثال 9.10. مشتقات اول و دوم $y={\displaystyle \frac{x}{b}}\sqrt{(a-x)x}$ را پیدا کنید.

راه‌حل.

فرض کنید $[(a-x)x{]}^{\frac{1}{2}}=u$ و $(a-x)x=w$; سپس $u=w^{\frac{1}{2}}$. $$\frac{du}{dw}=\frac{1}{2}{w}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}.$$

بنابراین $$\frac{dy}{dx}=\frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}+\frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}=\frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}.$$

حال

(بعداً به این دو مشتق آخر نیاز خواهیم داشت. به تمرین 11 از فصل 12 مراجعه کنید.)

مثال 9.11. استوانه‌ای که ارتفاع آن دو برابر شعاع قاعده است، در حال افزایش حجم است، به طوری که تمام اجزای آن همواره نسبت‌های یکسانی با یکدیگر دارند؛ یعنی در هر لحظه، استوانه مشابه استوانه اصلی است. وقتی شعاع قاعده $r$ فوت باشد، مساحت سطح با نرخ $20$ اینچ مربع در ثانیه افزایش می‌یابد؛ در آن لحظه حجم آن با چه نرخی افزایش می‌یابد؟¹

راه‌حل. $$\text{مساحت}=S=2(\pi r^2)+2\pi r\times 2r=6\pi r^2.$$ $$\text{حجم}=V=\pi r^2\times 2r=2\pi r^3.$$ $$\frac{dS}{dt}=12\pi r\frac{dr}{dt}=20,\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{20}{12\pi r},$$ $$\frac{dV}{dt}=6\pi r^2\frac{dr}{dt}=6\pi r^2\times \frac{20}{12\pi r}=10r.$$

حجم با نرخ $10r$ اینچ مکعب تغییر می‌کند.